משוואת הישר: צורות שונות

מבוא

הישר הוא הצורה הבסיסית ביותר בהנדסה האנליטית, ובחטיבת הביניים כבר פגשתם את הפונקציה הקווית y = mx + b. כעת נעמיק: נלמד למצוא את משוואת הישר משני סוגי נתונים — שיפוע ונקודה, או שתי נקודות — ונכיר שתי צורות שונות לכתיבת אותו ישר: הצורה המפורשת והצורה הכללית. לכל צורה יתרונות משלה, ובמהלך הלימודים נבחר את הצורה הנוחה ביותר לכל בעיה.

מטרות השיעור

לחשב שיפוע של ישר לפי שתי נקודות: $m = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$
למצוא משוואת ישר לפי שיפוע ונקודה בעזרת $y - y_{1} = m (x - x_{1})$
למצוא משוואת ישר לפי שתי נקודות
לעבור בין הצורה המפורשת y = mx + b לבין הצורה הכללית ax + by + c = 0 ולהבין את היתרונות של כל אחת

הרעיון המרכזי

שיפוע וצורות הישר

שיפוע לפי שתי נקודות $A (x_{1}, y_{1})$ , $B (x_{2}, y_{2})$ : $m = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$

צורת נקודה-שיפוע (כשנתונים שיפוע m ונקודה $(x_{1}, y_{1})$ ): $y - y_{1} = m (x - x_{1})$

הצורה המפורשת: y = mx + b כאן m הוא השיפוע ו-b הוא נקודת החיתוך עם ציר ה-y.

הצורה הכללית: ax + by + c = 0 צורה זו מתאימה לכל ישר, כולל ישרים אנכיים מהצורה x = k.

יתרונות וחסרונות של כל צורה

הצורה המפורשת y = mx + b נוחה מאוד: רואים בה מיד את השיפוע ואת החיתוך עם ציר ה-y, וקל לחשב ערכי y מערכי x. החיסרון: היא לא מתאימה לישר אנכי x = k, שכן לישר כזה אין שיפוע מוגדר ואי אפשר לבטא בו את y כפונקציה של x.

הצורה הכללית ax + by + c = 0 כללית יותר ומתאימה לכל ישר במישור (אם b = 0 מקבלים ישר אנכי). החיסרון: השיפוע והחיתוך אינם גלויים לעין ודורשים בידוד של y.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: שיפוע לפי שתי נקודות

מצאו את שיפוע הישר דרך $A(1, 2)$ ו- $B(3, 8)$

m = \frac{8 - 2}{3 - 1} = \frac{6}{2} = 3

חשוב לשמור על אותו סדר נקודות במונה ובמכנה.

שלב 1 — הפרש ה-y

y_{2} - y_{1} = 8 - 2 = 6

דוגמה 2: משוואה לפי שיפוע ונקודה

מצאו את משוואת הישר דרך $(2, 1)$ עם שיפוע 4

y - 1 = 4 (x - 2) \Rightarrow y = 4 x - 7

שלב 1 — צורת נקודה-שיפוע

y - 1 = 4(x - 2)

דוגמה 3: משוואה לפי שתי נקודות

מצאו את משוואת הישר דרך $A(1, 2)$ ו- $B(3, 8)$

y = 3x - 1

אפשר היה להציב גם את B — מתקבלת אותה משוואה.

שלב 1 — שיפוע

m = \frac{8 - 2}{3 - 1} = 3

דוגמה 4: מהצורה הכללית לצורה המפורשת

המירו את $2x + 3y - 6 = 0$ לצורה מפורשת ומצאו שיפוע וחיתוך

2 x + 3 y - 6 = 0 \Rightarrow y = - \frac{2}{3} x + 2

שלב 1 — מעבירים אגף

3y = -2x + 6

בדיקה מהירה

מהו שיפוע הישר העובר דרך הנקודות $A(1, 2)$ ו- $B(3, 8)$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה קצרה

מצאו את משוואת הישר (בצורה מפורשת $y = mx + b)$ העובר דרך הנקודה $(2, 1)$ ושיפועו 4.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 5: ישר אנכי — למה צריך את הצורה הכללית

כתבו את משוואת הישר האנכי שעובר דרך $(5, 1)$ ו- $(5, 9)$

x = 5

ישר זה אי אפשר לכתוב בצורה y = mx + b — זו בדיוק הסיבה שצריך גם את הצורה הכללית.

שלב 1 — בודקים שיפוע

הפרש ה-x הוא

5 - 5 = 0

, ולכן

m = \frac{9-1}{0}

— לא מוגדר!

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: היפוך היחס בנוסחת השיפוע

טעות: $m = \frac{3 - 1}{8 - 2} = \frac{1}{3}$

נכון: $m = \frac{8 - 2}{3 - 1} = 3$

למה זה קורה?

תלמידים מתבלבלים מה במונה ומה במכנה.

איך מתקנים?

השיפוע הוא 'כמה עולים חלקי כמה הולכים ימינה' — הפרש ה-y במונה, הפרש ה-x במכנה.

טעות נפוצה: ערבוב בין השיפוע m לחיתוך b

טעות: ישר דרך (0, 3) בשיפוע 2 הוא y = 3x + 2

נכון: y = 2x + 3

למה זה קורה?

לא זוכרים מי מהם מוכפל ב-x.

איך מתקנים?

בצורה

y = mx + b

השיפוע m צמוד ל-x, ו-b הוא איבר חופשי. נקודה

(0, 3)

נותנת

b = 3

, לא m.

טעות נפוצה: חושבים שכל ישר ניתן לכתוב כ- $y = mx + b$

הישר x = 5 אינו ניתן לכתיבה כ-y = mx + b, אך כן בצורה הכללית x - 5 = 0.

למה זה קורה?

מתעלמים מישרים אנכיים.

איך מתקנים?

ישר אנכי

x = k

אין לו שיפוע ואי אפשר לכתוב אותו מפורשות. רק הצורה הכללית מתאימה לכל הישרים.

טעות נפוצה: שוכחים לפתוח את הסוגריים נכון בצורת נקודה-שיפוע

טעות: $y - 1 = 4 (x - 2) \Rightarrow y = 4 x - 2 + 1 = 4 x - 1$

נכון: $y - 1 = 4 x - 8 \Rightarrow y = 4 x - 7$

למה זה קורה?

מפתחים

m(x - x_{1})

בצורה שגויה.

איך מתקנים?

הכפילו את m בשני האיברים:

4(x - 2) = 4x - 8

, לא

4x - 2

בדיקה מהירה

תשובה מספרית

הישר נתון בצורה הכללית $2x + 3y - 6 = 0$ . מהי נקודת החיתוך שלו עם ציר ה-y (כלומר ערך b בצורה המפורשת $y = mx + b)$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

איזה מהישרים הבאים לא ניתן לכתוב בצורה המפורשת $y = mx + b$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

סיכום

מה למדנו?

מציאת משוואת ישר:

שיפוע מתוך שתי נקודות: $m = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$
נקודה-שיפוע: $y - y_{1} = m (x - x_{1})$
שתי נקודות: קודם שיפוע, ואז נקודה-שיפוע.

שתי צורות:

מפורשת y = mx + b — רואים מיד שיפוע וחיתוך, אך לא מתאימה לישר אנכי.
כללית ax + by + c = 0 — מתאימה לכל ישר, כולל אנכי.

טיפים:

שמרו על סדר אחיד של הנקודות בנוסחת השיפוע.
בדקו את התשובה בהצבת נקודה.
ישר אנכי x = k — רק בצורה כללית.

עכשיו אתם יכולים לתאר כל ישר במישור באלגברה!

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על מציאת משוואות ישרים בצורות שונות!

משוואת הישר: צורות שונות

משוואת הישר: צורות שונות

מבוא

הרעיון המרכזי

יתרונות וחסרונות של כל צורה

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: שיפוע לפי שתי נקודות

מצאו את שיפוע הישר דרך A(1,2)A(1, 2)A(1,2) ו-B(3,8)B(3, 8)B(3,8)

דוגמה 2: משוואה לפי שיפוע ונקודה

מצאו את משוואת הישר דרך (2,1)(2, 1)(2,1) עם שיפוע 4

דוגמה 3: משוואה לפי שתי נקודות

מצאו את משוואת הישר דרך A(1,2)A(1, 2)A(1,2) ו-B(3,8)B(3, 8)B(3,8)

דוגמה 4: מהצורה הכללית לצורה המפורשת

המירו את 2x+3y−6=02x + 3y - 6 = 02x+3y−6=0 לצורה מפורשת ומצאו שיפוע וחיתוך

בדיקה מהירה

דוגמה 5: ישר אנכי — למה צריך את הצורה הכללית

כתבו את משוואת הישר האנכי שעובר דרך (5,1)(5, 1)(5,1) ו-(5,9)(5, 9)(5,9)

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: היפוך היחס בנוסחת השיפוע

טעות נפוצה: ערבוב בין השיפוע m לחיתוך b

טעות נפוצה: חושבים שכל ישר ניתן לכתוב כ-y=mx+by = mx + by=mx+b

טעות נפוצה: שוכחים לפתוח את הסוגריים נכון בצורת נקודה-שיפוע

בדיקה מהירה

סיכום

תרגול נוסף

מצאו את שיפוע הישר דרך $A(1, 2)$ ו- $B(3, 8)$

מצאו את משוואת הישר דרך $(2, 1)$ עם שיפוע 4

מצאו את משוואת הישר דרך $A(1, 2)$ ו- $B(3, 8)$

המירו את $2x + 3y - 6 = 0$ לצורה מפורשת ומצאו שיפוע וחיתוך

כתבו את משוואת הישר האנכי שעובר דרך $(5, 1)$ ו- $(5, 9)$

טעות נפוצה: חושבים שכל ישר ניתן לכתוב כ- $y = mx + b$