זוויות מרכזיות וזוויות היקפיות

מבוא

מטרות השיעור

להגדיר במדויק את מושגי היסוד של המעגל: רדיוס, מיתר, קוטר, קשת, זווית מרכזית וזווית היקפית.
להבין את המשפט המרכזי: $זווית היקפית = \frac{1}{2} \cdot הזווית המרכזית על אותה קשת$ .
ליישם את המסקנה החשובה: זווית היקפית הנשענת על קוטר היא $9 0^{\circ}$ .
להבין מדוע זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות זו לזו.

הגדרות יסוד

מושגי המעגל

מעגל: אוסף כל הנקודות שמרחקן מנקודה קבועה (המרכז) שווה לאורך קבוע — אורך הרדיוס.
רדיוס: קטע המחבר את מרכז המעגל עם נקודה על המעגל.
מיתר: קטע המחבר שתי נקודות על המעגל.
קוטר: מיתר העובר דרך מרכז המעגל. אורכו d = 2r, והוא המיתר הארוך ביותר.
קשת: חלק מהמעגל המוגבל בין שתי נקודות. שתי נקודות מחלקות את המעגל לקשת קטנה ולקשת גדולה.
זווית מרכזית: זווית שקודקודה במרכז המעגל ושוקיה רדיוסים.
זווית היקפית: זווית שקודקודה על המעגל ושוקיה חותכים את המעגל (מיתרים).

בדיקה מהירה

איזו זווית נקראת זווית מרכזית במעגל?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

המשפט המרכזי

זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת: $∠_{היקפית} = \frac{1}{2} ∠_{מרכזית}$

ובאופן שקול, הזווית המרכזית גדולה פי שניים מהזווית ההיקפית הנשענת על אותה קשת.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: ממרכזית להיקפית

זווית מרכזית הנשענת על קשת AB היא $80^{\circ}$ . מצאו את הזווית ההיקפית הנשענת על אותה קשת.

∠_{היקפית} = \frac{1}{2} \cdot 8 0^{\circ} = 4 0^{\circ}

שלב 1 — מזהים את המשפט

זווית היקפית = מחצית הזווית המרכזית על אותה קשת.

תשובה מספרית

זווית מרכזית במעגל הנשענת על קשת AB שווה $80^{\circ}$ . מהי הזווית ההיקפית הנשענת על אותה קשת AB (במעלות)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: מהיקפית למרכזית

זווית היקפית הנשענת על קשת CD היא $35^{\circ}$ . מצאו את הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת.

∠_{מרכזית} = 2 \cdot 3 5^{\circ} = 7 0^{\circ}

שלב 1 — כיוון הפוך

אם ההיקפית היא מחצית המרכזית, אז המרכזית גדולה פי שניים.

דוגמה 3: זווית היקפית על קוטר

במשולש ABC החסום במעגל, AB הוא קוטר ו- $\angle BAC = 28^{\circ}$ . מצאו את ∠ABC.

∠ A CB = 9 0^{\circ} \Rightarrow ∠ A BC = 18 0^{\circ} - 9 0^{\circ} - 2 8^{\circ} = 6 2^{\circ}

שלב 1 — זווית על קוטר

AB קוטר, לכן הזווית ההיקפית ∠ACB הנשענת עליו היא

90^{\circ}

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: זווית היקפית הנשענת על קוטר המעגל היא תמיד זווית ישרה $(90^{\circ})$ .

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: זוויות היקפיות שוות

שתי זוויות היקפיות ∠ACB ו-∠ADB נשענות על אותה קשת AB. נתון $\angle ACB = 50^{\circ}$ . מצאו את ∠ADB.

∠ A D B = ∠ A CB = 5 0^{\circ}

שלב 1 — אותה קשת

שתי הזוויות נשענות על אותה קשת AB, ולכן שתיהן מחצית של אותה זווית מרכזית.

דוגמה 5: זווית היקפית על הקשת הגדולה

הזווית המרכזית ∠AOB הנשענת על הקשת הקטנה AB היא $130^{\circ}$ . נקודה C על הקשת הגדולה. מצאו את ∠ACB.

∠ A CB = \frac{1}{2} \cdot ∠ A OB = \frac{1}{2} \cdot 13 0^{\circ} = 6 5^{\circ}

שלב 1 — מזהים את הקשת

הקודקוד C על הקשת הגדולה, והזווית ∠ACB נשענת על הקשת הקטנה AB — בדיוק כמו הזווית המרכזית ∠AOB.

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מבלבלים בין זווית היקפית לזווית מרכזית

טעות: זווית מרכזית 80° ⟵ זווית היקפית 80°.

נכון: $∠_{היקפית} = \frac{1}{2} \cdot 8 0^{\circ} = 4 0^{\circ}$

למה זה קורה?

תלמידים חושבים שזווית היקפית שווה לזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת.

איך מתקנים?

זווית היקפית היא תמיד מחצית הזווית המרכזית על אותה קשת, לא שווה לה.

טעות נפוצה: לא כל זווית שקודקודה על המעגל היא זווית היקפית

זווית מרכזית: קודקוד במרכז, שוקיים רדיוסים.

זווית היקפית: קודקוד על המעגל, שתי שוקיים חותכות את המעגל.

למה זה קורה?

תלמידים מניחים שדי בכך שהקודקוד על המעגל.

איך מתקנים?

זווית היקפית דורשת ששתי השוקיים יחתכו את המעגל (יהיו מיתרים). אם שוק אחת אינה חותכת את המעגל — אין זו זווית היקפית.

טעות נפוצה: שוכחים שזווית היקפית על קוטר היא $90^{\circ}$

קוטר \Rightarrow ∠_{היקפית} = \frac{1}{2} \cdot 18 0^{\circ} = 9 0^{\circ}

למה זה קורה?

תלמידים מחפשים נתון נוסף במקום להשתמש בעובדה שהקוטר נשען על זווית מרכזית של

180^{\circ}

איך מתקנים?

כאשר אחת מצלעות המשולש החסום היא קוטר, הזווית שמולה היא

90^{\circ}

באופן מיידי.

בדיקה מהירה

במשולש ABC החסום במעגל, הצלע AB היא קוטר. נתון שהזווית $\angle BAC = 28^{\circ}$ . מהי הזווית ∠ABC?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעות נפוצה: מכפילים פי 2 כשצריך לחלק (וההפך)

מרכזית 70° → היקפית $3 5^{\circ}$ .

היקפית 35° → מרכזית $7 0^{\circ}$ .

למה זה קורה?

תלמידים מתבלבלים בכיוון בין מרכזית להיקפית.

איך מתקנים?

מהמרכזית להיקפית — מחלקים ב-2. מהיקפית למרכזית — מכפילים ב-2.

סיכום

מה למדנו?

הגדרות: רדיוס, מיתר, קוטר (מיתר דרך המרכז, d=2r), קשת, זווית מרכזית (קודקוד במרכז) וזווית היקפית (קודקוד על המעגל).

המשפט המרכזי: $∠_{היקפית} = \frac{1}{2} ∠_{מרכזית}$ על אותה קשת.

מסקנות חשובות:

זווית היקפית על קוטר = $9 0^{\circ}$ .
זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות זו לזו.

כל הכבוד! עכשיו אתם שולטים בקשר שבין זוויות מרכזיות לזוויות היקפיות.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על זיהוי וחישוב זוויות מרכזיות והיקפיות במעגל!

זוויות מרכזיות וזוויות היקפיות

זוויות מרכזיות וזוויות היקפיות

מבוא

הגדרות יסוד

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: ממרכזית להיקפית

זווית מרכזית הנשענת על קשת AB היא 80∘80^{\circ}80∘. מצאו את הזווית ההיקפית הנשענת על אותה קשת.

דוגמה 2: מהיקפית למרכזית

זווית היקפית הנשענת על קשת CD היא 35∘35^{\circ}35∘. מצאו את הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת.

דוגמה 3: זווית היקפית על קוטר

במשולש ABC החסום במעגל, AB הוא קוטר ו-∠BAC=28∘\angle BAC = 28^{\circ}∠BAC=28∘. מצאו את ∠ABC.

דוגמה 4: זוויות היקפיות שוות

שתי זוויות היקפיות ∠ACB ו-∠ADB נשענות על אותה קשת AB. נתון ∠ACB=50∘\angle ACB = 50^{\circ}∠ACB=50∘. מצאו את ∠ADB.

דוגמה 5: זווית היקפית על הקשת הגדולה

הזווית המרכזית ∠AOB הנשענת על הקשת הקטנה AB היא 130∘130^{\circ}130∘. נקודה C על הקשת הגדולה. מצאו את ∠ACB.

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מבלבלים בין זווית היקפית לזווית מרכזית

טעות נפוצה: לא כל זווית שקודקודה על המעגל היא זווית היקפית

טעות נפוצה: שוכחים שזווית היקפית על קוטר היא 90∘90^{\circ}90∘

טעות נפוצה: מכפילים פי 2 כשצריך לחלק (וההפך)

סיכום

תרגול נוסף

זווית מרכזית הנשענת על קשת AB היא $80^{\circ}$ . מצאו את הזווית ההיקפית הנשענת על אותה קשת.

זווית היקפית הנשענת על קשת CD היא $35^{\circ}$ . מצאו את הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת.

במשולש ABC החסום במעגל, AB הוא קוטר ו- $\angle BAC = 28^{\circ}$ . מצאו את ∠ABC.

שתי זוויות היקפיות ∠ACB ו-∠ADB נשענות על אותה קשת AB. נתון $\angle ACB = 50^{\circ}$ . מצאו את ∠ADB.

הזווית המרכזית ∠AOB הנשענת על הקשת הקטנה AB היא $130^{\circ}$ . נקודה C על הקשת הגדולה. מצאו את ∠ACB.

טעות נפוצה: שוכחים שזווית היקפית על קוטר היא $90^{\circ}$