מיתרים וקשתות במעגל

מבוא

מטרות השיעור

להבין את שרשרת השקילות: זוויות מרכזיות שוות $\Leftrightarrow$ קשתות שוות $\Leftrightarrow$ מיתרים שווים.
ליישם את משפט האנך מהמרכז: האנך חוצה את המיתר, את הזווית המרכזית ואת הקשת המתאימים לו.
לחשב מרחק מיתר מהמרכז, אורך מיתר ורדיוס בעזרת משפט פיתגורס.
להבין את הקשר: מיתר ארוך יותר $\Leftrightarrow$ קרוב יותר למרכז.

הרעיון המרכזי

משפטים על מיתרים, קשתות וזוויות

שרשרת השקילות: באותו מעגל, זוויות מרכזיות שוות נשענות על קשתות שוות, ולקשתות שוות מתאימים מיתרים שווים — וגם להפך.
משפט האנך מהמרכז: האנך היורד ממרכז המעגל אל מיתר חוצה את המיתר, חוצה את הזווית המרכזית המתאימה למיתר, וחוצה את הקשת המתאימה לו.
מיתר ומרחק: ככל שמיתר ארוך יותר, מרחקו מהמרכז קטן יותר. הקוטר הוא המיתר הארוך ביותר ומרחקו מהמרכז הוא 0.

בדיקה מהירה

אנך היורד ממרכז המעגל אל מיתר — מה הוא עושה למיתר?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

הכלי לחישוב: משולש ישר זווית

האנך מהמרכז יוצר משולש ישר זווית שבו: $r^{2} = d^{2} + (\frac{מיתר}{2})^{2}$

כאשר r הרדיוס (היתר), d מרחק המיתר מהמרכז (ניצב), וחצי המיתר הניצב השני.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: מרחק מיתר מהמרכז

במעגל שרדיוסו 10 ס״מ מתוח מיתר באורך 16 ס״מ. מצאו את מרחק המיתר מהמרכז.

d = 1 0^{2} - 8^{2} = 36 = 6

שלב 1 — חוצים את המיתר

האנך מהמרכז חוצה את המיתר: חצי המיתר

= 16 \div 2 = 8

תשובה מספרית

במעגל שרדיוסו 10 ס"מ מתוח מיתר שאורכו 16 ס"מ. מהו מרחק המיתר ממרכז המעגל (בס"מ)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: אורך מיתר מתוך מרחק

במעגל שרדיוסו 13 ס״מ, מרחק מיתר מהמרכז הוא 5 ס״מ. מצאו את אורך המיתר.

\frac{מיתר}{2} = 1 3^{2} - 5^{2} = 12 \Rightarrow מיתר = 24

שלב 1 — חצי המיתר דרך פיתגורס

חצי המיתר

= \sqrt{13^{2} - 5^{2}} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12

תשובה מספרית

במעגל שרדיוסו 13 ס"מ, מרחק מיתר ממרכז המעגל הוא 5 ס"מ. מהו אורך המיתר (בס"מ)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: מציאת הרדיוס

מיתר באורך 24 ס״מ נמצא במרחק 9 ס״מ מהמרכז. מצאו את הרדיוס.

r = 9^{2} + 1 2^{2} = 225 = 15

שלב 1 — חצי המיתר

חצי המיתר

= 24 \div 2 = 12

דוגמה 4: השוואת מיתרים לפי מרחק

מיתר AB במרחק 4 ס״מ מהמרכז ומיתר CD במרחק 7 ס״מ. איזה ארוך יותר?

d_{A B} = 4 < 7 = d_{C D} \Rightarrow A B > C D

שלב 1 — המשפט

מיתר קרוב יותר למרכז הוא ארוך יותר.

בדיקה מהירה

במעגל מתוחים שני מיתרים: מיתר AB שמרחקו מהמרכז 4 ס"מ ומיתר CD שמרחקו מהמרכז 7 ס"מ. איזה מיתר ארוך יותר?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: חושבים שמיתר ארוך יותר רחוק יותר מהמרכז

מיתר במרחק 4 ס״מ ארוך יותר ממיתר במרחק 7 ס״מ באותו מעגל.

למה זה קורה?

האינטואיציה מטעה — נדמה שמיתר 'גדול' חייב להיות רחוק.

איך מתקנים?

ההפך הוא הנכון: ככל שמיתר ארוך יותר כך הוא קרוב יותר למרכז. הקוטר (הארוך ביותר) עובר בדיוק דרך המרכז.

טעות נפוצה: חושבים שהאנך חוצה את המיתר רק במצב מיוחד

לכל מיתר: $האנך מהמרכז \Rightarrow שני חצאים שווים$

למה זה קורה?

תלמידים מציירים מיתר 'אופקי' ומניחים שהתכונה תלויה במיקום.

איך מתקנים?

האנך מהמרכז אל כל מיתר תמיד חוצה אותו — זו תכונה כללית הנובעת מהסימטריה של המעגל.

טעות נפוצה: מבלבלים בין חצי המיתר לבין הרדיוס בפיתגורס

נכון: $r^{2} = d^{2} + (\frac{מיתר}{2})^{2}$

טעות נפוצה: הצבת המיתר השלם במקום חציו.

למה זה קורה?

תלמידים מציבים את המיתר השלם, או מחליפים בין היתר לניצב.

איך מתקנים?

הרדיוס הוא תמיד היתר. הניצבים הם המרחק מהמרכז וחצי המיתר. הקפידו לחלק את המיתר ב-2 לפני ההצבה.

טעות נפוצה: שוכחים שהאנך חוצה גם את הזווית המרכזית ואת הקשת

האנך מהמרכז חוצה בבת אחת: מיתר, זווית מרכזית וקשת.

למה זה קורה?

זוכרים רק את חציית המיתר.

איך מתקנים?

אותו אנך חוצה שלושה דברים: את המיתר, את הזווית המרכזית המתאימה ואת הקשת המתאימה.

סיכום

מה למדנו?

שרשרת השקילות: זוויות מרכזיות שוות $\Leftrightarrow$ קשתות שוות $\Leftrightarrow$ מיתרים שווים.

משפט האנך מהמרכז: האנך חוצה את המיתר, את הזווית המרכזית ואת הקשת.

חישוב: $r^{2} = d^{2} + (\frac{מיתר}{2})^{2}$ .

קשר מרחק-אורך: מיתר ארוך יותר $\Leftrightarrow$ קרוב יותר למרכז.

כל הכבוד! אתם שולטים עכשיו בקשרים בין מיתרים, קשתות ומרחקים במעגל.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על חישובי מיתרים, מרחקים ורדיוס במעגל!