ל

המרובע החסום במעגל

30%
📖שיעור
45 דקות

המרובע החסום במעגל

בשיעור זה נוכיח ונייישם את המשפט שבמרובע החסום במעגל סכום כל שתי זוויות נגדיות הוא 180∘180^{\circ}, ונשתמש במשפט ההפוך כדי לקבוע אם ניתן לחסום מרובע במעגל.

המרובע החסום במעגל

מבוא

מטרות השיעור

  • להבין את המשפט: במרובע החסום במעגל סכום כל זוג זוויות נגדיות הוא .
  • להבין מדוע המשפט נכון, בעזרת המשפט על זווית היקפית.
  • ליישם את המשפט לחישוב זוויות חסרות במרובע חסום.
  • להשתמש במשפט ההפוך: מרובע שסכום זוויותיו הנגדיות ניתן לחסום במעגל.

הרעיון המרכזי

משפט המרובע החסום והמשפט ההפוך

המשפט: במרובע ABCD החסום במעגל, סכום כל זוג זוויות נגדיות הוא :

המשפט ההפוך: אם במרובע סכום כל זוג זוויות נגדיות הוא , אזי ניתן לחסום אותו במעגל.

שימו לב: הזוויות הנגדיות משלימות ל- — הן אינן בהכרח שוות.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: מדוע סכום הזוויות הנגדיות הוא 180°

הוכיחו: במרובע ABCD החסום במעגל,∠A+∠C=180∘, \angle A + \angle C = 180^{\circ}.

1

שלב 1 — זוויות היקפיות

∠A ו-∠C הן זוויות היקפיות במעגל.

דוגמה 2: מציאת זווית נגדית

במרובע ABCD החסום במעגל ∠A=70∘\angle A = 70^{\circ}. מצאו את ∠C.

1

שלב 1 — מזהים זוויות נגדיות

∠A ו-∠C נגדיות, ולכן סכומן 180∘180^{\circ}.
תשובה מספרית

מרובע ABCD חסום במעגל. נתון ∠A=70∘\angle A = 70^{\circ}. מהי הזווית הנגדית ∠C (במעלות)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: זווית נגדית עם הפרש נתון

במרובע ABCD החסום, ∠C גדולה ב-40∘40^{\circ} מ-∠A. מצאו את ∠A.

1

שלב 1 — מסמנים

∠A=x,∠C=x+40∘\angle A = x, \angle C = x + 40^{\circ}.

דוגמה 4: יחס בין זוויות נגדיות

במרובע ABCD החסום,∠A:∠C=3:2, \angle A : \angle C = 3 : 2. מצאו את ∠A.

1

שלב 1 — מסמנים לפי היחס

∠A=3x,∠C=2x\angle A = 3x, \angle C = 2x.

דוגמה 5: שימוש במשפט ההפוך

האם מרובע שזוויותיו לפי הסדר 85∘,95∘,95∘,85∘85^{\circ}, 95^{\circ}, 95^{\circ}, 85^{\circ} ניתן לחסום במעגל?

1

שלב 1 — מזהים זוגות נגדיים

∠A=85∘,∠C=95∘;∠B=95∘,∠D=85∘\angle A=85^{\circ}, \angle C=95^{\circ}; \angle B=95^{\circ}, \angle D=85^{\circ}.

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: חושבים שזוויות נגדיות שוות

טעות: ∠A = 70° ⟶ ∠C = 70°.

נכון:

למה זה קורה?

תלמידים מבלבלים עם מקבילית, שבה זוויות נגדיות שוות.

איך מתקנים?

במרובע החסום במעגל זוויות נגדיות משלימות ל-180∘180^{\circ}, לא שוות.∠A=70∘⟶∠C=110∘. \angle A = 70^{\circ} ⟶ \angle C = 110^{\circ}, לא 70∘70^{\circ}.
בדיקה מהירה

מרובע ABCD חסום במעגל ו-∠B=95∘\angle B = 95^{\circ}. מהי הזווית ∠D?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעות נפוצה: מחברים זוויות סמוכות במקום נגדיות

נגדיות: ו-. לא זוויות צמודות!

למה זה קורה?

תלמידים בוחרים שתי זוויות צמודות (כמו ∠A ו-∠B).

איך מתקנים?

המשפט מדבר על זוויות נגדיות — הנמצאות זו מול זו במרובע: ∠A מול ∠C, ∠B מול ∠D.

טעות נפוצה: מניחים שכל מרובע ניתן לחסום במעגל

מרובע עם זוויות 70°, 90°, 100°, 100°: ⟶ לא ניתן לחסום.

למה זה קורה?

תלמידים שוכחים לבדוק את תנאי הזוויות הנגדיות.

איך מתקנים?

רק מרובע שבו סכום כל זוג זוויות נגדיות הוא 180∘180^{\circ} ניתן לחסום במעגל. אחרת — לא.
נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: מרובע שזוויותיו לפי הסדר הן 70∘,90∘,100∘,100∘70^{\circ}, 90^{\circ}, 100^{\circ}, 100^{\circ} ניתן לחסום במעגל.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעות נפוצה: חושבים שסכום הזוויות 360∘360^{\circ} מספיק לחסימה

כל מרובע: סכום הזוויות . אבל זה לא מספיק לחסימה במעגל.

למה זה קורה?

תלמידים יודעים שסכום זוויות מרובע הוא 360∘360^{\circ} ומסיקים מכך חסימה.

איך מתקנים?

סכום 360∘360^{\circ} מתקיים בכל מרובע ואינו תנאי לחסימה. התנאי הוא שכל זוג זוויות נגדיות מסתכם ב-180∘180^{\circ}.
בדיקה מהירה

מרובע שזוויותיו (לפי הסדר A, B, C, D) הן 85∘,95∘,95∘,85∘85^{\circ}, 95^{\circ}, 95^{\circ}, 85^{\circ}. האם ניתן לחסום אותו במעגל?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

סיכום

מה למדנו?

המשפט: במרובע ABCD החסום במעגל, וגם .

המשפט ההפוך: מרובע שסכום כל זוג זוויות נגדיות בו ניתן לחסום במעגל.

אזהרות:

  • זוויות נגדיות משלימות ל-180°, אינן שוות.
  • מחברים זוויות נגדיות, לא צמודות.
  • סכום 360° לבדו אינו מבטיח חסימה.

כל הכבוד! השלמתם את היחידה על זוויות, קשתות ומיתרים במעגל.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על חישובי זוויות במרובע החסום ועל המשפט ההפוך!

חזרה ליחידה: זוויות, קשתות ומיתרים במעגל
תרגול