הזווית בין משיק למיתר

מבוא

בשני השיעורים הקודמים הכרנו את האנכיות של המשיק לרדיוס ואת שוויון שני המשיקים. בשיעור זה נשלים את התמונה עם משפט אלגנטי המקשר בין משיק לבין הזוויות ההיקפיות במעגל: הזווית הכלואה בין משיק למיתר (היוצאים מאותה נקודת השקה) שווה לזווית ההיקפית הנשענת על הקשת הכלואה ביניהם. משפט זה מאפשר "לתרגם" זווית של משיק לזווית היקפית מוכרת, והוא כלי רב-עוצמה בבעיות זוויות.

מטרות השיעור

להבין את המשפט: הזווית בין משיק למיתר = הזווית ההיקפית על הקשת הכלואה
לדעת שהזווית הזו שווה למחצית הקשת הכלואה
להוכיח את המשפט בעזרת הרדיוס והזווית המרכזית
ליישם את המשפט לחישוב זוויות במעגל ובמשולש חסום

הרעיון המרכזי

משפט הזווית בין משיק למיתר

מנקודה A שעל המעגל יוצאים משיק ומיתר AB. המיתר מחלק את הסביבה לשתי קשתות; הזווית בין המשיק למיתר "כולאת" אחת מהן.

משפט: הזווית הכלואה בין המשיק למיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על הקשת הכלואה ביניהם.

מכיוון שזווית היקפית שווה למחצית הקשת שעליה היא נשענת, מתקיים גם:

∠ (משיק, מיתר) = \frac{1}{2} (הקשת הכלואה)

שתי הזוויות והקשתות

המיתר AB יוצר שתי קשתות שסכומן $36 0^{\circ}$ , והמשיק יוצר עם המיתר שתי זוויות צמודות (אחת בכל צד). כל זווית שווה למחצית הקשת הכלואה בצדה, ולכן סכום שתי הזוויות הוא $18 0^{\circ}$ (הן גם צמודות על הישר שהוא המשיק).

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: זווית ממחצית הקשת

הקשת הכלואה בין משיק למיתר היא $80^{\circ}$ . מצאו את הזווית ביניהם

∠ = \frac{1}{2} \cdot 8 0^{\circ} = 4 0^{\circ}

שלב 1 — המשפט

זווית בין משיק למיתר

= \frac{1}{2} \cdot

קשת כלואה

דוגמה 2: שוויון לזווית היקפית

הזווית בין משיק למיתר AB היא $35^{\circ}. C$ על הקשת הכלואה. מצאו את ∠ACB

∠ A CB = ∠ (משיק, מיתר) = 3 5^{\circ}

שלב 1 — המשפט

הזווית בין משיק למיתר = הזווית ההיקפית על הקשת הכלואה

דוגמה 3: קשת מתוך הזווית

הזווית בין משיק למיתר היא $50^{\circ}$ . מצאו את הקשת הכלואה

קשת = 2 \cdot 5 0^{\circ} = 10 0^{\circ}

שלב 1 — המשפט

זווית

= \frac{1}{2} \cdot

קשת

דוגמה 4: זווית במשולש חסום מעגל

ABC חסום במעגל; משיק ב-A. הזוויות עם AB ו-AC הן $70^{\circ}$ ו- $60^{\circ}$ . מצאו ∠BAC

∠ B A C = 18 0^{\circ} - 7 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 5 0^{\circ}

עקבי עם סכום זוויות המשולש: $∠ A + ∠ B + ∠ C = 18 0^{\circ}$ .

שלב 1 — מתרגמים לזוויות היקפיות

הזווית עם

AB = \angle ACB = 70^{\circ}

; הזווית עם

AC = \angle ABC = 60^{\circ}

בדיקה מהירה

תשובה מספרית

מנקודה A שעל המעגל יוצאים משיק ומיתר AB. הקשת הכלואה בין המשיק למיתר היא $80^{\circ}$ . מהי הזווית בין המשיק למיתר (במעלות)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

מנקודה A שעל המעגל יוצאים משיק ומיתר AB. הזווית בין המשיק למיתר היא $35^{\circ}$ . הנקודה C נמצאת על המעגל, על הקשת הכלואה בין המשיק למיתר. מהי הזווית ההיקפית ACB (במעלות)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 5: שתי הזוויות הצמודות

הזווית בין המשיק למיתר מצד אחד היא $65^{\circ}$ . מצאו את הזווית מהצד השני

18 0^{\circ} - 6 5^{\circ} = 11 5^{\circ}

שקול לכך שמחצית הקשת האחת + מחצית הקשת השנייה $= \frac{1}{2} \cdot 36 0^{\circ} = 18 0^{\circ}$ .

שלב 1 — סכום הזוויות

שתי הזוויות צמודות על המשיק (ישר), סכומן

180^{\circ}

דוגמה 6: הוכחת המשפט

הוכיחו: הזווית בין משיק למיתר = מחצית הזווית המרכזית (הקשת הכלואה)

θ = 9 0^{\circ} - ∠ O A B = 9 0^{\circ} - (9 0^{\circ} - \frac{1}{2} ∠ A OB) = \frac{1}{2} ∠ A OB

ומאחר שזווית היקפית גם היא מחצית הקשת — שתיהן שוות.

שלב 1 — מעבירים רדיוסים

OA אל נקודת ההשקה ו-OB אל קצה המיתר; נסמן ב-

\theta

את הזווית בין המשיק למיתר AB

בדיקה מהירה

משיק נוגע במעגל בנקודה A, ומ-A יוצא מיתר AB. המשיק יוצר עם המיתר שתי זוויות צמודות (אחת בכל צד של המיתר). מהו סכום שתי הזוויות הללו?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

המשולש ABC חסום במעגל. דרך הקודקוד A מעבירים משיק למעגל. הזווית בין המשיק למיתר AB שווה לזווית ההיקפית $ACB = 70^{\circ}$ , והזווית בין המשיק (מצדו השני) למיתר AC שווה לזווית ההיקפית $ABC = 60^{\circ}$ . מהי הזווית BAC של המשולש (במעלות)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: בוחרים את הקשת הלא נכונה

לכל אחת משתי הזוויות יש קשת כלואה משלה — ודאו התאמה בין הזווית לקשת שבצדה.

למה זה קורה?

המיתר יוצר שתי קשתות, וקל להתבלבל איזו 'כלואה'.

איך מתקנים?

הקשת הכלואה היא זו שנמצאת בתוך הזווית הנמדדת בין המשיק למיתר (באותו צד). הזווית שווה למחציתה.

טעות נפוצה: משווים את הזווית לקשת במקום למחציתה

$∠ = \frac{1}{2} \cdot קשת$ — בדיוק כמו זווית היקפית.

למה זה קורה?

שוכחים את הגורם

\frac{1}{2} (

כמו בזווית היקפית).

איך מתקנים?

הזווית בין משיק למיתר

= \frac{1}{2} \cdot

הקשת הכלואה. קשת

100^{\circ} ⟸

זווית

50^{\circ}

, לא

100^{\circ}

טעות נפוצה: מבלבלים עם הזווית בין שני משיקים

משיק ומיתר מ-A שעל המעגל — לא שני משיקים מנקודה חיצונית.

למה זה קורה?

שני המשפטים עוסקים במשיקים ובזוויות.

איך מתקנים?

כאן מדובר במשיק אחד ובמיתר היוצאים מאותה נקודת השקה — לא בשני משיקים מנקודה חיצונית.

טעות נפוצה: חושבים שהזווית תמיד $90^{\circ}$

$∠ = 9 0^{\circ}$ רק כאשר המיתר הוא קוטר.

למה זה קורה?

מערבבים עם האנכיות של המשיק לרדיוס.

איך מתקנים?

הזווית בין המשיק למיתר תלויה בקשת ושווה למחציתה. היא

90^{\circ}

רק כשהמיתר הוא קוטר (קשת כלואה

180^{\circ})

סיכום

מה למדנו?

המשפט: הזווית הכלואה בין משיק למיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על הקשת הכלואה ביניהם.

ובמילים אחרות: $∠ (משיק, מיתר) = \frac{1}{2} (הקשת הכלואה)$ .

שתי הזוויות שהמשיק יוצר עם המיתר מסתכמות ל- $18 0^{\circ}$ .
הזווית היא $9 0^{\circ}$ רק כשהמיתר קוטר.
ההוכחה: דרך הרדיוס (האנכי למשיק) והמשולש שווה-השוקיים, מקבלים $θ = \frac{1}{2} ∠ A OB$ .

שימוש: "מתרגמים" זווית של משיק לזווית היקפית — כלי חזק בבעיות זוויות, כולל במשולש חסום מעגל.

כל הכבוד! השלמתם את פרק המשיקים למעגל.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על הזווית בין משיק למיתר!

הזווית בין משיק למיתר

הזווית בין משיק למיתר

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: זווית ממחצית הקשת

הקשת הכלואה בין משיק למיתר היא 80∘80^{\circ}80∘. מצאו את הזווית ביניהם

דוגמה 2: שוויון לזווית היקפית

הזווית בין משיק למיתר AB היא 35∘.C35^{\circ}. C35∘.C על הקשת הכלואה. מצאו את ∠ACB

דוגמה 3: קשת מתוך הזווית

הזווית בין משיק למיתר היא 50∘50^{\circ}50∘. מצאו את הקשת הכלואה

דוגמה 4: זווית במשולש חסום מעגל

ABC חסום במעגל; משיק ב-A. הזוויות עם AB ו-AC הן 70∘70^{\circ}70∘ ו-60∘60^{\circ}60∘. מצאו ∠BAC

בדיקה מהירה

דוגמה 5: שתי הזוויות הצמודות

הזווית בין המשיק למיתר מצד אחד היא 65∘65^{\circ}65∘. מצאו את הזווית מהצד השני

דוגמה 6: הוכחת המשפט

הוכיחו: הזווית בין משיק למיתר = מחצית הזווית המרכזית (הקשת הכלואה)

בדיקה מהירה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: בוחרים את הקשת הלא נכונה

טעות נפוצה: משווים את הזווית לקשת במקום למחציתה

טעות נפוצה: מבלבלים עם הזווית בין שני משיקים

טעות נפוצה: חושבים שהזווית תמיד 90∘90^{\circ}90∘

סיכום

תרגול נוסף

הקשת הכלואה בין משיק למיתר היא $80^{\circ}$ . מצאו את הזווית ביניהם

הזווית בין משיק למיתר AB היא $35^{\circ}. C$ על הקשת הכלואה. מצאו את ∠ACB

הזווית בין משיק למיתר היא $50^{\circ}$ . מצאו את הקשת הכלואה

ABC חסום במעגל; משיק ב-A. הזוויות עם AB ו-AC הן $70^{\circ}$ ו- $60^{\circ}$ . מצאו ∠BAC

הזווית בין המשיק למיתר מצד אחד היא $65^{\circ}$ . מצאו את הזווית מהצד השני

טעות נפוצה: חושבים שהזווית תמיד $90^{\circ}$