המשיק והאנך לרדיוס בנקודת ההשקה

מבוא

עד כה הכרנו במעגל מיתרים וחותכים — ישרים שנפגשים עם המעגל בשתי נקודות. בשיעור זה נפגוש סוג מיוחד של ישר ש"רק נוגע" במעגל בנקודה אחת: המשיק. נראה שלמשיק יש תכונה גאומטרית יסודית — הוא תמיד ניצב לרדיוס המגיע לנקודת המגע. תכונה זו, והמשפט ההפוך לה, הם הבסיס לכל פרק המשיקים, והם מופיעים שוב ושוב בהוכחות ובבעיות חישוב.

מטרות השיעור

להגדיר משיק למעגל כישר בעל נקודה משותפת אחת עם המעגל
להבין ולהוכיח (בדרך השלילה) שהמשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה
להכיר את המשפט ההפוך: ישר המאונך לרדיוס בקצהו הוא משיק
ליישם את הזווית הישרה לפתרון בעיות במשולש ישר-זווית
לבנות משיק בנקודה הנמצאת על המעגל

הרעיון המרכזי

הגדרות

משיק למעגל: ישר שיש לו נקודה משותפת אחת בדיוק עם המעגל. הנקודה נקראת נקודת ההשקה.
לשם השוואה: חותך הוא ישר הנפגש עם המעגל בשתי נקודות, והמיתר הוא הקטע שבין שתי הנקודות.

המשפט המרכזי והמשפט ההפוך

משפט: המשיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה.

אם הישר משיק למעגל שמרכזו O ונוגע בו ב-A, אז $O A ⊥$ למשיק, כלומר הזווית בין הרדיוס למשיק היא $9 0^{\circ}$ .

משפט הפוך: ישר המאונך לרדיוס בקצהו (בנקודה שעל המעגל) הוא משיק למעגל.

שני המשפטים נכונים, אבל חשוב לא לבלבל ביניהם — בכל בעיה יש לזהות איזה כיוון נתון ואיזה צריך להוכיח.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: זיהוי משיק

ישר נפגש עם המעגל בנקודה אחת בלבד. מה הוא?

ישר עם נקודה משותפת אחת הוא משיק; אילו היו שתי נקודות, היה זה חותך.

שלב 1 — נזכרים בהגדרה

משיק = נקודה משותפת אחת; חותך = שתי נקודות

דוגמה 2: הזווית בין משיק לרדיוס

משיק נוגע במעגל שמרכזו O בנקודה A. מהי הזווית בין המשיק ל-OA?

O A ⊥ משיק \Rightarrow ∠ = 9 0^{\circ}

שימו לב: האנכיות מתקיימת רק עם הרדיוס שמגיע לנקודת ההשקה.

שלב 1 — המשפט המרכזי

המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

דוגמה 3: חישוב קטע משיק בעזרת פיתגורס

$OA = 6, OP = 10 (P$ מחוץ למעגל, A נקודת השקה). מצאו את PA

P A = O P^{2} - O A^{2} = 100 - 36 = 8

OP הוא היתר כי הוא מול הזווית הישרה.

שלב 1 — זווית ישרה

המשיק ⊥ OA, לכן המשולש OAP ישר-זווית ב-A

דוגמה 4: מציאת הרדיוס מקטע משיק

$OP = 13, PA = 12 (PA$ קטע משיק). מצאו את הרדיוס

O A = O P^{2} - P A^{2} = 169 - 144 = 5

שלב 1 — זווית ישרה

המשולש OAP ישר-זווית ב-A, OP היתר

בדיקה מהירה

תשובה מספרית

הישר שמשיק למעגל שמרכזו O נוגע בו בנקודה A. מהי הזווית (במעלות) שבין המשיק לבין הרדיוס OA?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

מנקודה P מחוץ למעגל שמרכזו O יוצא משיק שנוגע במעגל בנקודה A. נתון: רדיוס המעגל $OA = 6$ ס"מ והמרחק $OP = 10$ ס"מ. מהו אורך קטע המשיק PA (בס"מ)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 5: בנייה — משיק בנקודה שעל המעגל

בנו משיק למעגל בנקודה A הנמצאת על המעגל

הבנייה נשענת ישירות על המשפט ההפוך: אנך לרדיוס בקצהו הוא משיק. בנקודה שעל המעגל יש משיק יחיד.

שלב 1 — מחברים רדיוס

מעבירים את הרדיוס OA מהמרכז O אל הנקודה A

דוגמה 6: הוכחה בדרך השלילה — מדוע המשיק מאונך לרדיוס

הוכיחו: המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

OB < O A = r \Rightarrow B \in פנים המעגל

נקודה פנימית על הישר גוררת שתי נקודות חיתוך עם המעגל — סתירה להיותו משיק.

שלב 1 — הנחה בשלילה

נניח שהמשיק אינו מאונך ל-OA בנקודת ההשקה A

בדיקה מהירה

נתון מעגל שמרכזו O ורדיוס OA. ישר m עובר דרך A ומאונך ל-OA. מה ניתן להסיק על הישר m?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

מנקודה P יוצא משיק הנוגע במעגל שמרכזו O בנקודה A. נתון: $OP = 13$ ס"מ ואורך קטע המשיק $PA = 12$ ס"מ. מהו רדיוס המעגל (בס"מ)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: חושבים שכל ישר שנוגע במעגל הוא משיק

משיק: נקודה משותפת אחת.

חותך: שתי נקודות משותפות.

למה זה קורה?

מתבלבלים בין משיק לבין חותך.

איך מתקנים?

משיק נפגש עם המעגל בנקודה אחת בלבד. ישר שנפגש בשתי נקודות הוא חותך, והקטע ביניהן הוא מיתר.

טעות נפוצה: חושבים שהמשיק מאונך לכל רדיוס

האנכיות $O A ⊥ משיק$ תקפה רק כאשר A היא נקודת ההשקה.

למה זה קורה?

זוכרים את האנכיות אבל לא את התנאי.

איך מתקנים?

המשיק מאונך אך ורק לרדיוס שמגיע אל נקודת ההשקה. לרדיוסים אחרים אין זווית ישרה עם המשיק.

טעות נפוצה: מבלבלים בין המשפט למשפט ההפוך

משפט: משיק ⟸ אנכיות.

הפוך: אנכיות לרדיוס בקצהו ⟸ משיק.

למה זה קורה?

שני המשפטים מדברים על אנכיות וגם על משיק.

איך מתקנים?

המשפט: 'נתון משיק ⟸ מאונך לרדיוס'. ההפוך: 'נתון אנך לרדיוס בקצהו ⟸ משיק'. זהו מה נתון ומה צריך להוכיח.

טעות נפוצה: טועים בזיהוי היתר בפיתגורס

$O P^{2} = O A^{2} + P A^{2}$ — OP מול הזווית הישרה, ולכן הוא היתר.

למה זה קורה?

לא שמים לב שהזווית הישרה נמצאת בנקודת ההשקה.

איך מתקנים?

הזווית הישרה היא בנקודת ההשקה A. לכן OP (מהמרכז לנקודה החיצונית) הוא היתר — תמיד הצלע הארוכה ביותר.

סיכום

מה למדנו?

הגדרה: משיק למעגל הוא ישר בעל נקודה משותפת אחת עם המעגל (נקודת ההשקה).

המשפט המרכזי: המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה — $O A ⊥ משיק$ , זווית של $9 0^{\circ}$ .

המשפט ההפוך: ישר המאונך לרדיוס בקצהו הוא משיק.

שימוש מרכזי: הזווית הישרה יוצרת משולש ישר-זווית OAP שבו OP הוא היתר — כלי לחישוב קטעי משיק ורדיוסים בעזרת פיתגורס וטריגונומטריה.

בנייה: משיק בנקודה שעל המעגל = אנך לרדיוס בקצהו.

כל הכבוד! עכשיו אתם מבינים את הקשר היסודי בין המשיק לרדיוס.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על המשיק והאנך לרדיוס בנקודת ההשקה!

המשיק והאנך לרדיוס בנקודת ההשקה

המשיק והאנך לרדיוס בנקודת ההשקה

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: זיהוי משיק

ישר נפגש עם המעגל בנקודה אחת בלבד. מה הוא?

דוגמה 2: הזווית בין משיק לרדיוס

משיק נוגע במעגל שמרכזו O בנקודה A. מהי הזווית בין המשיק ל-OA?

דוגמה 3: חישוב קטע משיק בעזרת פיתגורס

OA=6,OP=10(POA = 6, OP = 10 (POA=6,OP=10(P מחוץ למעגל, A נקודת השקה). מצאו את PA

דוגמה 4: מציאת הרדיוס מקטע משיק

OP=13,PA=12(PAOP = 13, PA = 12 (PAOP=13,PA=12(PA קטע משיק). מצאו את הרדיוס

בדיקה מהירה

דוגמה 5: בנייה — משיק בנקודה שעל המעגל

בנו משיק למעגל בנקודה A הנמצאת על המעגל

דוגמה 6: הוכחה בדרך השלילה — מדוע המשיק מאונך לרדיוס

הוכיחו: המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

בדיקה מהירה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: חושבים שכל ישר שנוגע במעגל הוא משיק

טעות נפוצה: חושבים שהמשיק מאונך לכל רדיוס

טעות נפוצה: מבלבלים בין המשפט למשפט ההפוך

טעות נפוצה: טועים בזיהוי היתר בפיתגורס

סיכום

תרגול נוסף

$OA = 6, OP = 10 (P$ מחוץ למעגל, A נקודת השקה). מצאו את PA

$OP = 13, PA = 12 (PA$ קטע משיק). מצאו את הרדיוס