שני משיקים מנקודה חיצונית והמרובע החוסם

מבוא

מנקודה הנמצאת מחוץ למעגל אפשר להעביר שני משיקים בדיוק. בשיעור הקודם ראינו שכל משיק ניצב לרדיוס בנקודת ההשקה; כעת נשתמש בכך כדי לגלות תכונה יפה ושימושית — שני המשיקים האלה שווים באורכם. מהתכונה הזו ננבע ישירות אל המרובע החוסם מעגל, שבו סכום כל זוג צלעות נגדיות שווה לסכום הזוג הנגדי האחר. תכונות אלה הן כלי מרכזי בבעיות גאומטריה רבות.

מטרות השיעור

להוכיח שמנקודה חיצונית יוצאים שני משיקים שווים: PA = PB
לזהות את הדלתון OAPB ואת היות OP חוצה הזוויות וציר הסימטריה
להסיק את תכונת המרובע החוסם: AB + CD = BC + DA
ליישם את התכונות בבעיות (כולל מעגל חסום במשולש)
לבנות שני משיקים מנקודה הנמצאת מחוץ למעגל

הרעיון המרכזי

משפט שני המשיקים

משפט: שני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה חיצונית שווים זה לזה.

אם מ-P יוצאים שני משיקים הנוגעים במעגל שמרכזו O בנקודות A ו-B, אז:

PA = PB

מסקנות נוספות: המרובע OAPB הוא דלתון (שני זוגות צלעות סמוכות שוות: OA = OB רדיוסים, PA = PB משיקים). האלכסון OP הוא ציר הסימטריה: הוא חוצה את הזוויות $∠ A OB$ ו- $∠ A PB$ , ומאונך לאלכסון AB וחוצה אותו.

המרובע החוסם מעגל

מסקנה: במרובע החוסם מעגל (כל צלעותיו משיקות למעגל), סכום כל שתי צלעות נגדיות שווה לסכום שתי הצלעות הנגדיות האחרות:

AB + CD = BC + DA

הסיבה: משני קטעי משיק מאותו קודקוד מתקבל שכל צלע היא סכום של שני קטעי משיק שווים מקודקודיה.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: הוכחת שוויון שני המשיקים

הוכיחו: מ-P יוצאים שני משיקים שווים $PA = PB$

△ O A P ≅ △ OBP \Rightarrow P A = PB

שלב 1 — מסמנים

PA, PB משיקים; OA, OB רדיוסים אל נקודות ההשקה

דוגמה 2: שימוש ישיר בשוויון

$PA = 7$ . מצאו את PB

PB = PA = 7

שלב 1 — המשפט

שני משיקים מאותה נקודה שווים

דוגמה 3: המרובע החוסם מעגל

ABCD חוסם מעגל $. AB = 8, BC = 5, CD = 6$ . מצאו DA

DA = (AB + CD) - BC = 14 - 5 = 9

שלב 1 — התכונה

AB + CD = BC + DA

דוגמה 4: מעגל חסום במשולש — אורכי קטעי המשיק

במשולש ABC חסום מעגל $. AB = 13, BC = 14, CA = 15$ . מצאו את קטע המשיק מ-A

x = 21 - 14 = 7

(באופן דומה: y = 6, z = 8.)

שלב 1 — מסמנים

קטעי משיק מהקודקודים: x מ-A, y מ-B, z מ-C

בדיקה מהירה

תשובה מספרית

מנקודה P יוצאים שני משיקים למעגל, הנוגעים בו בנקודות A ו-B. נתון שקטע המשיק $PA = 7$ ס"מ. מהו אורך קטע המשיק PB (בס"מ)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

המרובע ABCD חוסם מעגל. נתון: $AB = 8$ ס"מ $, BC = 5$ ס"מ $, CD = 6$ ס"מ. מהו אורך הצלע DA (בס"מ)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 5: הדלתון וחוצה הזווית

$\angle APB = 70^{\circ}$ בין שני המשיקים. מצאו את ∠APO

∠ A PO = \frac{1}{2} ∠ A PB = 3 5^{\circ}

שלב 1 — מזהים דלתון

OAPB דלתון; OP ציר הסימטריה

דוגמה 6: בנייה — שני משיקים מנקודה חיצונית

בנו את שני המשיקים מנקודה P שמחוץ למעגל שמרכזו O

הבנייה נשענת על משפט תאלס: זווית הנשענת על קוטר היא ישרה, ולכן $∠ O A P = 9 0^{\circ}$ — בדיוק התנאי למשיק לפי המשפט ההפוך.

שלב 1 — מחברים OP

מעבירים את הקטע OP ומסמנים את אמצעו M

בדיקה מהירה

תשובה מספרית

מנקודה P יוצאים שני משיקים למעגל שמרכזו O. הזווית בין שני המשיקים, APB, שווה ל- $70^{\circ}$ . הישר OP חוצה זווית זו. מהי הזווית APO (במעלות)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

במשולש ABC חסום מעגל (המעגל משיק לשלוש הצלעות). אורכי הצלעות: $AB = 13$ ס"מ $, BC = 14$ ס"מ $, CA = 15$ ס"מ. מהו אורך קטע המשיק היוצא מהקודקוד A עד נקודת ההשקה (בס"מ)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: חושבים ששני המשיקים מנקודה חיצונית שונים

PA = PB — תמיד, ללא תלות במיקום הנקודה.

למה זה קורה?

לא מכירים את משפט שני המשיקים.

איך מתקנים?

שני משיקים מאותה נקודה חיצונית שווים תמיד:

PA = PB

. הם נובעים מחפיפת המשולשים OAP ו-OBP.

טעות נפוצה: משווים צלעות סמוכות במרובע החוסם

נכון: AB + CD = BC + DA (נגדיות).

שגוי: AB + BC = CD + DA (סמוכות).

למה זה קורה?

מבלבלים בין צלעות נגדיות לסמוכות.

איך מתקנים?

התכונה היא על צלעות נגדיות:

AB + CD = BC + DA

. אסור לכתוב

AB + BC = CD + DA (

אלה סמוכות).

טעות נפוצה: חושבים שהדלתון OAPB הוא מעוין או מלבן

OA = OB ו-PA = PB, אבל לרוב $O A \neq = P A$ .

למה זה קורה?

מניחים שכל הצלעות שוות, או שכל הזוויות ישרות.

איך מתקנים?

הרדיוס OA והמשיק PA אינם שווים בהכרח, לכן OAPB דלתון בלבד. הזוויות הישרות הן רק בנקודות ההשקה A ו-B.

טעות נפוצה: חושבים ש-OP מקביל ל-AB

$OP ⊥ A B$ — האלכסונים בדלתון מאונכים.

למה זה קורה?

מבלבלים בין שני האלכסונים בדלתון.

איך מתקנים?

OP ו-AB הם שני האלכסונים של הדלתון, ולכן הם מאונכים זה לזה — OP מאונך ל-AB וחוצה אותו, לא מקביל לו.

סיכום

מה למדנו?

משפט שני המשיקים: מנקודה חיצונית יוצאים שני משיקים שווים — PA = PB.

הדלתון: OAPB דלתון; OP חוצה את $∠ A PB$ ואת $∠ A OB$ , ומאונך ל-AB.

המרובע החוסם: AB + CD = BC + DA — סכומי צלעות נגדיות שווים.

במשולש חסום מעגל: כל צלע היא סכום שני קטעי משיק; אפשר למצוא אורכי קטעים מסכום הצלעות.

בנייה: משיקים מנקודה חיצונית — בעזרת מעגל שקוטרו OP (משפט תאלס).

כל הכבוד! התכונות האלה יחזרו בבעיות גאומטריה רבות.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על שני המשיקים והמרובע החוסם!

שני משיקים מנקודה חיצונית והמרובע החוסם

שני משיקים מנקודה חיצונית והמרובע החוסם

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: הוכחת שוויון שני המשיקים

הוכיחו: מ-P יוצאים שני משיקים שווים PA=PBPA = PBPA=PB

דוגמה 2: שימוש ישיר בשוויון

PA=7PA = 7PA=7. מצאו את PB

דוגמה 3: המרובע החוסם מעגל

ABCD חוסם מעגל.AB=8,BC=5,CD=6. AB = 8, BC = 5, CD = 6.AB=8,BC=5,CD=6. מצאו DA

דוגמה 4: מעגל חסום במשולש — אורכי קטעי המשיק

במשולש ABC חסום מעגל.AB=13,BC=14,CA=15. AB = 13, BC = 14, CA = 15.AB=13,BC=14,CA=15. מצאו את קטע המשיק מ-A

בדיקה מהירה

דוגמה 5: הדלתון וחוצה הזווית

∠APB=70∘\angle APB = 70^{\circ}∠APB=70∘ בין שני המשיקים. מצאו את ∠APO

דוגמה 6: בנייה — שני משיקים מנקודה חיצונית

בנו את שני המשיקים מנקודה P שמחוץ למעגל שמרכזו O

בדיקה מהירה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: חושבים ששני המשיקים מנקודה חיצונית שונים

טעות נפוצה: משווים צלעות סמוכות במרובע החוסם

טעות נפוצה: חושבים שהדלתון OAPB הוא מעוין או מלבן

טעות נפוצה: חושבים ש-OP מקביל ל-AB

סיכום

תרגול נוסף

הוכיחו: מ-P יוצאים שני משיקים שווים $PA = PB$

$PA = 7$ . מצאו את PB

ABCD חוסם מעגל $. AB = 8, BC = 5, CD = 6$ . מצאו DA

במשולש ABC חסום מעגל $. AB = 13, BC = 14, CA = 15$ . מצאו את קטע המשיק מ-A

$\angle APB = 70^{\circ}$ בין שני המשיקים. מצאו את ∠APO