ל

הנגזרת כפונקציה

30%
📖שיעור
55 דקות

הנגזרת כפונקציה

בשיעור זה נעבור מהנגזרת בנקודה אחת אל הנגזרת כפונקציה: נבנה סקיצה לגרף הנגזרת מתוך גרף הפונקציה באופן איכותני, ונקשר בין עלייה, ירידה ונקודות קיצון של הפונקציה לבין הסימן והאפסים של הנגזרת.

הנגזרת כפונקציה

מבוא

עד עכשיו חישבנו את הנגזרת בנקודה אחת. אבל אפשר לחשב אותה בכל נקודה — וכך לקבל פונקציה חדשה: פונקציית הנגזרת f'(x). לכל x היא מחזירה את שיפוע המשיק (קצב השינוי) של f שם. בשיעור זה נלמד לבנות סקיצה לגרף הנגזרת מתוך גרף הפונקציה, ולקרוא גם בכיוון ההפוך — מהנגזרת אל הפונקציה.

מטרות השיעור

  • להבין שהנגזרת היא פונקציה: לכל x מתאים שיפוע המשיק f'(x)
  • לבנות סקיצה לגרף הנגזרת מתוך התבוננות בגרף הפונקציה
  • לקשר: f עולה ⟷ f' > 0 (מעל הציר); f יורדת ⟷ f' < 0 (מתחת לציר); קיצון ⟷ f' = 0 (חוצה את הציר)
  • לזהות שהנגזרת של פונקציה ריבועית היא פונקציה לינארית

הרעיון המרכזי

מגרף הפונקציה לגרף הנגזרת

לכל נקודה מסתכלים על שיפוע המשיק וקובעים את ערך הנגזרת:

  • היכן ש-f עולה → f' > 0 → גרף הנגזרת מעל ציר ה-x.
  • היכן ש-f יורדת → f' < 0 → גרף הנגזרת מתחת לציר ה-x.
  • בנקודת קיצון (מקסימום/מינימום) → המשיק אופקי → f' = 0 → גרף הנגזרת חוצה את ציר ה-x.
  • ככל שהעלייה תלולה יותר, ערך הנגזרת גדול יותר; עלייה מתונה → נגזרת קטנה.

התאמה איכותנית בין משפחות: הנגזרת של פונקציה ריבועית היא פונקציה לינארית; הנגזרת של פונקציה לינארית היא פונקציה קבועה.

הערה חשובה ליישומים: גרף הפונקציה וגרף הנגזרת מתארים גדלים שונים (ולעיתים ביחידות שונות). לכן נהוג לצייר את גרף הנגזרת מתחת לגרף הפונקציה, עם אותו ציר x, ולא על אותן צירים.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: קטע עולה וקטע יורד

פונקציה עולה ב-[0, 3] ויורדת ב-[3, 6]. כיצד נראה גרף הנגזרת?

המעבר של גרף הנגזרת דרך ציר ה-x ב-x=3 מסמן את נקודת המקסימום של f.

1

שלב 1 — קטע העלייה [0,3]

שיפועים חיוביים ⇐ f' מעל הציר.

דוגמה 2: נגזרת של פרבולה היא ישר

עבור f(x)=x2f(x) = x^{2}, בנו את פונקציית הנגזרת מהערכים הנקודתיים

זה ממחיש את הכלל האיכותני: השתנות של פונקציה ריבועית היא פונקציה לינארית.

1

שלב 1 — אוספים ערכים

f′(0)=0,f′(1)=2,f′(2)=4,f′(3)=6(f'(0)=0, f'(1)=2, f'(2)=4, f'(3)=6 (מחישובי גבול קודמים)

דוגמה 3: עמק (מינימום)

פונקציה יורדת ואז עולה (נקודת מינימום אחת). כיצד נראה גרף הנגזרת?

שימו לב להבדל ממקסימום: שם f' יורד דרך הציר (חיובי→שלילי), וכאן הוא עולה (שלילי→חיובי).

1

שלב 1 — חלק הירידה

שיפועים שליליים ⇐ f' מתחת לציר.

דוגמה 4: קריאה הפוכה — מהנגזרת אל הפונקציה

f' חיובי ל-x<2x<2, אפס ב-x=2x=2, שלילי ל-x>2x>2. מה יש ל-f ב-x=2x=2?

קריאה הפוכה: סימני הנגזרת מספרים לנו אם f עולה או יורדת, ואיפה הקיצון.

1

שלב 1 — לפני x=2x=2

f′>0⇐ff' > 0 ⇐ f עולה.

בדיקה מהירה

בדיקה מהירה

בקטע שבו הפונקציה f עולה, היכן נמצא גרף הנגזרת f'?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

פונקציה ריבועית (פרבולה). איזה סוג פונקציה הוא גרף הנגזרת שלה?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

עבור f(x)=x2f(x) = x^{2} חישבנו: f′(0)=0,f′(1)=2,f′(2)=4,f′(3)=6f'(0) = 0, f'(1) = 2, f'(2) = 4, f'(3) = 6. מהי פונקציית הנגזרת f'(x)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 5: שימוש בנגזרת כפונקציה

עבור f(x)=x2(f(x) = x^{2} (ולכן f′(x)=2x):f'(x) = 2x): באיזה x שיפוע המשיק שווה 8?

כשהנגזרת היא פונקציה, אפשר לפתור משוואות כדי למצוא היכן השיפוע מקבל ערך נתון.

1

שלב 1 — כותבים משוואה

f′(x)=8f'(x) = 8, כלומר 2x=82x = 8

בדיקה מהירה

בדיקה מהירה

פונקציה יורדת תחילה ואז עולה (יש לה נקודת מינימום אחת). איך נראה גרף הנגזרת שלה, משמאל לימין?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

נתון שגרף הנגזרת f' חיובי בכל x<2x < 2, שווה 0 ב-x=2x = 2, ושלילי בכל x>2x > 2. מה אפשר להסיק על הפונקציה f בנקודה x=2x = 2?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

פונקציית הנגזרת של f(x)=x2f(x) = x^{2} היא f′(x)=2xf'(x) = 2x. באיזה ערך x שיפוע המשיק לגרף שווה 8? (כלומר פתרו f′(x)=8)f'(x) = 8)

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מערבבים בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרת

בנקודת מקסימום f גבוהה (ערך גדול), אך f' = 0 (שיפוע אפס).

למה זה קורה?

שני הגרפים מצוירים על אותו ציר x, וקל לבלבל ביניהם.

איך מתקנים?

גרף הפונקציה מראה ערכים (גובה). גרף הנגזרת מראה שיפועים. שאלו תמיד: 'האם אני קורא גובה או שיפוע?' מומלץ לצייר את גרף הנגזרת מתחת לגרף הפונקציה.

טעות נפוצה: חושבים שפונקציה חיובית ⟵⟶ נגזרת חיובית

f(x) = -x + 10 ב-x = 3: f(3) = 7 > 0 אך הפונקציה יורדת, ולכן f' < 0.

למה זה קורה?

מבלבלים בין סימן ערך הפונקציה לסימן הנגזרת.

איך מתקנים?

הסימן של הנגזרת נקבע לפי עלייה/ירידה, לא לפי הסימן של y. פונקציה יכולה להיות חיובית ובכל זאת יורדת (נגזרת שלילית).

טעות נפוצה: חושבים שבקיצון הנגזרת לא מוגדרת

בפסגה ובעמק f' = 0 — גרף הנגזרת חוצה או נוגע בציר ה-x.

למה זה קורה?

מניחים שמשהו 'מיוחד' קורה לנגזרת בקיצון.

איך מתקנים?

בנקודת קיצון של פונקציה חלקה הנגזרת מוגדרת היטב ושווה 0 — המשיק אופקי. בגרף הנגזרת זו נקודה על ציר ה-x.

טעות נפוצה: מבלבלים בין מקסימום למינימום בגרף הנגזרת

חיובי ואז שלילי = מקסימום; שלילי ואז חיובי = מינימום.

למה זה קורה?

לא שמים לב לכיוון שבו הנגזרת חוצה את הציר.

איך מתקנים?

מקסימום: f' יורד דרך הציר (חיובי→שלילי). מינימום: f' עולה דרך הציר (שלילי→חיובי). הכיוון קובע.

טעות נפוצה: חושבים שלנגזרת של פרבולה יש אותה צורה כמו הפרבולה

— ישר, לא פרבולה.

למה זה קורה?

מצפים שהנגזרת 'תיראה כמו' הפונקציה המקורית.

איך מתקנים?

הנגזרת של פונקציה ריבועית היא פונקציה לינארית (קו ישר), לא פרבולה. קצב השינוי של פרבולה משתנה באופן אחיד.

סיכום

מה למדנו?

הנגזרת היא פונקציה f'(x): לכל x היא נותנת את שיפוע המשיק.

מגרף הפונקציה לגרף הנגזרת:

  • f עולה ⟷ f' > 0 (מעל הציר)
  • f יורדת ⟷ f' < 0 (מתחת לציר)
  • קיצון ⟷ f' = 0 (חוצה את הציר)
  • מקסימום: f' חיובי→שלילי; מינימום: f' שלילי→חיובי

התאמת משפחות: נגזרת של פרבולה היא ישר; נגזרת של ישר היא קבוע.

טיפים:

  • אל תערבבו גובה (פונקציה) עם שיפוע (נגזרת).
  • סימן הנגזרת תלוי בעלייה/ירידה — לא בסימן של y.
  • כשהנגזרת היא פונקציה, אפשר לפתור f'(x) = k כדי למצוא היכן השיפוע נתון.

בכך השלמנו את מושג הנגזרת: מקצב שינוי, דרך המשיק והנגזרת בנקודה, ועד הנגזרת כפונקציה שלמה.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על בניית גרף הנגזרת והקשר בין הפונקציה לנגזרתה!

חזרה ליחידה: מושג הנגזרת
תרגול