הנגזרת בנקודה כגבול שיפועי החותכים

מבוא

ראינו שהמשיק הוא גבול החותכים. עכשיו נהפוך את הרעיון הזה למספר מדויק: הנגזרת בנקודה. נקבע נקודה $x_{0}$ , ניקח נקודה שנייה במרחק $Δ x$ ממנה, ונחשב את שיפוע החותך. ככל ש- $Δ x$ קטן יותר, השיפוע מתקרב לערך מסוים — וזה הערך הוא $f^{'} (x_{0})$ , הנגזרת בנקודה. את החישובים נעשה באופן אינטואיטיבי ונומרי, ונסמן את ההתקרבות בעזרת חיצים (אין צורך בסימון limes).

מטרות השיעור

להגדיר את הנגזרת בנקודה: $\frac{f ( x _{0} + Δ x ) - f ( x _{0} )}{Δ x} Δ x \to 0 f^{'} (x_{0})$
לחשב נגזרת בנקודה על ידי פישוט שיפוע החותך ואז נתינת ל- $Δ x$ לשאוף ל-0
להעריך נגזרת נומרית על ידי הצבת ערכי $Δ x$ קטנים יותר ויותר
לפרש את הנגזרת כקצב שינוי רגעי — ובפרט כמהירות רגעית של גוף נע

הרעיון המרכזי

הגדרת הנגזרת בנקודה

שיפוע החותך בין הנקודות $(x_{0}, f (x_{0}))$ ו- $(x_{0} + Δ x, f (x_{0} + Δ x))$ הוא:

\frac{f ( x _{0} + Δ x ) - f ( x _{0} )}{Δ x}

הנגזרת בנקודה היא הערך שאליו שואף שיפוע החותך כאשר $Δ x \to 0$ :

\frac{f ( x _{0} + Δ x ) - f ( x _{0} )}{Δ x} Δ x \to 0 f^{'} (x_{0})

$f^{'} (x_{0})$ הוא מספר — שיפוע המשיק בנקודה, וגם קצב השינוי הרגעי.
אסור להציב $Δ x = 0$ ישירות (זה ייתן 0/0). קודם מפשטים, ורק אז נותנים ל- $Δ x$ לשאוף ל-0.

שתי דרכי חישוב

פישוט אלגברי: פותחים את $f (x_{0} + Δ x)$ , מצמצמים את $f (x_{0})$ , מחלקים ב- $Δ x$ , ומקבלים ביטוי שאפשר להציב בו $Δ x = 0$ .
הערכה נומרית: מציבים $Δ x = 0.1, 0.01, 0.001$ ובוחנים לאיזה ערך מתקרב שיפוע החותך.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: הערכה נומרית של f'(1) עבור x²

עבור $f(x) = x^{2}$ , העריכו את $f'(1)$ עם $\Delta x = 0.1$

\frac{f ( 1.1 ) - f ( 1 )}{0.1} = 2.1 Δ x \to 0 2

שלב 1 — ערכי הפונקציה

f(1) = 1, f(1.1) = 1.21

דוגמה 2: חישוב מדויק של f'(1) על ידי פישוט

עבור $f(x) = x^{2}$ , חשבו את $f'(1)$ במדויק

\frac{( 1 + Δ x ) ^{2} - 1}{Δ x} = 2 + Δ x Δ x \to 0 2

שימו לב: לא הצבנו $Δ x = 0$ בשבר המקורי — פישטנו תחילה.

שלב 1 — כותבים את החותך

((1+\Delta x)^{2} - 1)/\Delta x

דוגמה 3: נגזרת של פונקציה לינארית

חשבו את $f'(x_{0})$ עבור $f(x) = 3x + 2$

\frac{3 ( x _{0} + Δ x ) + 2 - ( 3 x _{0} + 2 )}{Δ x} = 3

בקו ישר הנגזרת שווה לשיפוע, ואינה תלויה בנקודה.

שלב 1 — כותבים את החותך

((3(x_{0}+\Delta x)+2) - (3x_{0}+2))/\Delta x

דוגמה 4: מהירות רגעית

מיקום גוף: $s(t) = t^{2} ($ מטרים). מהי המהירות הרגעית ב- $t = 4$ שניות?

\frac{( 4 + Δ t ) ^{2} - 16}{Δ t} = 8 + Δ t Δ t \to 0 8

המהירות הרגעית היא אידיאליזציה של מהירויות ממוצעות על קטעי זמן קצרים יותר ויותר — זו בדיוק הנגזרת של פונקציית המיקום.

שלב 1 — החותך

((4+\Delta t)^{2} - 16)/\Delta t

בדיקה מהירה

מהי הנגזרת של הפונקציה f בנקודה $x_{0}$ , המסומנת $f'(x_{0})$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

נתונה $f(x) = x^{2}$ . חשבו את שיפוע החותך $(f(1+\Delta x) - f(1))/\Delta x$ עבור $\Delta x = 0.1$ , כקירוב ל- $f'(1). ($ הזינו ערך מדויק)

סטייה מותרת: ±0.001

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

עבור $f(x) = x^{2}$ , אפשר לפשט את שיפוע החותך בנקודה $x_{0} = 1$ לכדי הביטוי $(2 + \Delta x)$ . לאיזה ערך שואף הביטוי כאשר $\Delta x → 0$ ? זוהי $f'(1)$ .

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 5: f'(0) של פרבולה

עבור $f(x) = x^{2}$ , הראו ש- $f'(0) = 0$

\frac{Δ x ^{2} - 0}{Δ x} = Δ x Δ x \to 0 0

שלב 1 — החותך ב- $x_{0} = 0$

(f(\Delta x) - f(0))/\Delta x = \frac{\Delta x^{2} - 0}{\Delta x}

דוגמה 6: נגזרת של x³ בנקודה

עבור $f(x) = x^{3}$ , חשבו את $f'(2)$

\frac{( 2 + Δ x ) ^{3} - 8}{Δ x} = 12 + 6Δ x + Δ x^{2} Δ x \to 0 12

בדיקה נומרית: עם $Δ x = 0.001$ מתקבל בערך 12.006 — קרוב מאוד ל-12.

שלב 1 — החותך

((2+\Delta x)^{3} - 8)/\Delta x

בדיקה מהירה

תשובה מספרית

נתונה הפונקציה הלינארית $f(x) = 3x + 2$ . מהי הנגזרת $f'(x_{0})$ בכל נקודה $x_{0}$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

גוף נע כך שמיקומו בזמן t (בשניות) הוא $s(t) = t^{2}$ מטרים. מהי מהירותו הרגעית בזמן $t = 4$ שניות (כלומר $s'(4))$ ? התשובה במטר לשנייה.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

נתונה $f(x) = x^{3}$ . שיפוע החותך בנקודה $x_{0} = 2$ מתפשט לביטוי $(12 + 6\Delta x + \Delta x^{2})$ . לאיזה ערך שואף הביטוי כאשר $\Delta x → 0$ ? זוהי $f'(2)$ .

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מציבים $\Delta x = 0$ ישר בשבר

טעות: $\frac{( 1 + 0 ) ^{2} - 1}{0} = \frac{0}{0}$

נכון: מפשטים ל- $2 + Δ x$ , ואז $Δ x \to 0$ נותן 2.

למה זה קורה?

רואים

\Delta x

ורוצים מיד 'להעלים' אותו על ידי הצבת אפס.

איך מתקנים?

הצבת

\Delta x = 0

בשבר המקורי נותנת

\frac{0}{0}

— חסר משמעות. קודם מפשטים (פותחים, מצמצמים, מחלקים ב-

\Delta x)

, ורק אז נותנים ל-

\Delta x

לשאוף ל-0.

טעות נפוצה: מבלבלים בין $f'(x_{0})$ ל- $f(x_{0})$

עבור $f (x) = x^{2}$ בנקודה $x_{0} = 1$ : f(1)=1 אבל f'(1)=2.

למה זה קורה?

שני הסימונים דומים ושניהם 'בנקודה'.

איך מתקנים?

f(x_{0})

הוא גובה הגרף (ערך הפונקציה)

. f'(x_{0})

הוא שיפוע המשיק (קצב השינוי הרגעי). אלה שני מספרים שונים לחלוטין.

טעות נפוצה: שוכחים לחלק ב- $\Delta x$

טעות: f(1.1) - f(1) = 0.21 כתשובה ל-f'(1)

נכון: $\frac{0.21}{0.1} = 2.1 \to 2$

למה זה קורה?

מחשבים רק את ההפרש

f(x_{0}+\Delta x) - f(x_{0})

ועוצרים שם.

איך מתקנים?

הנגזרת היא גבול של שיפוע, ושיפוע הוא יחס. תמיד חלקו את ההפרש ב-

\Delta x

לפני שנותנים ל-

\Delta x

לשאוף ל-0.

טעות נפוצה: חושבים שהנגזרת של קו ישר תלויה בנקודה

עבור f(x)=3x+2, מתקבל $f^{'} (x_{0}) = 3$ לכל $x_{0}$ .

למה זה קורה?

מצפים שכל נגזרת 'תשתנה לפי

x_{0}'

איך מתקנים?

בפונקציה לינארית

f(x)=mx+b

הנגזרת שווה ל-m בכל נקודה — כי קצב השינוי אחיד. הביטוי מצטמצם ל-m ללא תלות ב-

x_{0}

טעות נפוצה: חושבים שגבול דורש סימון limes דווקא

$2 + Δ x Δ x \to 0 2$ — סימון חיצים מספיק לחלוטין.

למה זה קורה?

מכירים אולי את הסימן lim ומניחים שחובה להשתמש בו.

איך מתקנים?

בשלב זה מותר לחלוטין לסמן את ההתקרבות בעזרת חצים: הביטוי ⟶ הערך כאשר

\Delta x ⟶ 0

. החישוב נומרי ואינטואיטיבי.

סיכום

מה למדנו?

הנגזרת בנקודה מוגדרת כגבול שיפועי החותכים:

\frac{f ( x _{0} + Δ x ) - f ( x _{0} )}{Δ x} Δ x \to 0 f^{'} (x_{0})

שתי דרכי חישוב:

פישוט: פותחים, מצמצמים, מחלקים ב-Δx, ואז Δx → 0.
נומרי: מציבים Δx קטן יותר ויותר ובוחנים לאן השיפוע מתכנס.

פירוש: f'(x₀) הוא שיפוע המשיק וקצב השינוי הרגעי — למשל המהירות הרגעית s'(t).

טיפים:

אף פעם אל תציבו Δx = 0 בשבר המקורי — קודם מפשטים.
f'(x₀) (שיפוע) ≠ f(x₀) (גובה).
סימון חיצים (⟶) מספיק; אין חובה ב-lim.

הצעד הבא: נחשב את הנגזרת בכל נקודה, וכך נקבל פונקציה חדשה — פונקציית הנגזרת.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על חישוב הנגזרת בנקודה כגבול שיפועי החותכים!

הנגזרת בנקודה כגבול שיפועי החותכים

הנגזרת בנקודה כגבול שיפועי החותכים

מבוא

הרעיון המרכזי

שתי דרכי חישוב

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: הערכה נומרית של f'(1) עבור x²

עבור f(x)=x2f(x) = x^{2}f(x)=x2, העריכו את f′(1)f'(1)f′(1) עם Δx=0.1\Delta x = 0.1Δx=0.1

דוגמה 2: חישוב מדויק של f'(1) על ידי פישוט

עבור f(x)=x2f(x) = x^{2}f(x)=x2, חשבו את f′(1)f'(1)f′(1) במדויק

דוגמה 3: נגזרת של פונקציה לינארית

חשבו את f′(x0)f'(x_{0})f′(x0​) עבור f(x)=3x+2f(x) = 3x + 2f(x)=3x+2

דוגמה 4: מהירות רגעית

מיקום גוף: s(t)=t2(s(t) = t^{2} (s(t)=t2(מטרים). מהי המהירות הרגעית ב-t=4t = 4t=4 שניות?

בדיקה מהירה

דוגמה 5: f'(0) של פרבולה

עבור f(x)=x2f(x) = x^{2}f(x)=x2, הראו ש-f′(0)=0f'(0) = 0f′(0)=0

דוגמה 6: נגזרת של x³ בנקודה

עבור f(x)=x3f(x) = x^{3}f(x)=x3, חשבו את f′(2)f'(2)f′(2)

בדיקה מהירה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מציבים Δx=0\Delta x = 0Δx=0 ישר בשבר

טעות נפוצה: מבלבלים בין f′(x0)f'(x_{0})f′(x0​) ל-f(x0)f(x_{0})f(x0​)

טעות נפוצה: שוכחים לחלק ב-Δx\Delta xΔx

טעות נפוצה: חושבים שהנגזרת של קו ישר תלויה בנקודה

טעות נפוצה: חושבים שגבול דורש סימון limes דווקא

סיכום

תרגול נוסף

עבור $f(x) = x^{2}$ , העריכו את $f'(1)$ עם $\Delta x = 0.1$

עבור $f(x) = x^{2}$ , חשבו את $f'(1)$ במדויק

חשבו את $f'(x_{0})$ עבור $f(x) = 3x + 2$

מיקום גוף: $s(t) = t^{2} ($ מטרים). מהי המהירות הרגעית ב- $t = 4$ שניות?

עבור $f(x) = x^{2}$ , הראו ש- $f'(0) = 0$

עבור $f(x) = x^{3}$ , חשבו את $f'(2)$

טעות נפוצה: מציבים $\Delta x = 0$ ישר בשבר

טעות נפוצה: מבלבלים בין $f'(x_{0})$ ל- $f(x_{0})$

טעות נפוצה: שוכחים לחלק ב- $\Delta x$