פונקציה קדומה של פולינום

מבוא

מטרות השיעור

להבין מהי פונקציה קדומה: F היא פונקציה קדומה של f אם F'(x) = f(x)
למצוא פונקציה קדומה של פולינום על-ידי היפוך כלל החזקה
להבין מדוע הפונקציה הקדומה אינה יחידה, ומהי משפחת ה-+C
למצוא פונקציה קדומה מסוימת בעזרת תנאי נתון

עד עכשיו גזרנו: קיבלנו פונקציה ומצאנו את נגזרתה. כעת נלך בכיוון ההפוך — נתונה הנגזרת, ונחפש פונקציה שזו נגזרתה.

הרעיון המרכזי

פונקציה קדומה והיפוך כלל החזקה

הגדרה: F היא פונקציה קדומה של f אם F'(x) = f(x).

מציאת פונקציה קדומה היא הפעולה ההפוכה לגזירה. לכן הופכים את כלל החזקה:

בגזירה: מורידים את המעריך ומקטינים את החזקה ב-1.

בהיפוך (פונקציה קדומה): מעלים את החזקה ב-1 ומחלקים במעריך החדש — $x^{n} ⟶ \frac{x ^{n + 1}}{n + 1}$

הבדיקה הכי טובה: גוזרים את התשובה. אם חוזרים ל-f, התשובה נכונה.

אזהרה: אנו עובדים כאן בלי סימון אינטגרל — רק עם המושג 'פונקציה שנגזרתה f'.

האם הפונקציה הקדומה יחידה?

משפחת ה- $+C$

נסתכל על f(x) = 2x. נחפש F כך ש-F' = 2x:

$F (x) = x^{2}$ מתאים, כי $(x^{2})^{'} = 2 x$
אבל גם $F (x) = x^{2} + 1$ מתאים!
וגם $F (x) = x^{2} - 7$ מתאים!

הסיבה: נגזרת של קבוע היא 0, ולכן הוספת קבוע אינה משנה את הנגזרת. לכן הפונקציה הקדומה אינה יחידה: כל הפונקציות הקדומות הן מהצורה $F (x) = x^{2} + C$ כאשר C הוא קבוע כלשהו. גאומטרית, כל הגרפים הם 'הזזות אנכיות' זה של זה — לכולם אותו שיפוע בכל x.

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: לפונקציה $f(x) = 2x$ יש פונקציה קדומה אחת ויחידה.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: פונקציה קדומה של איבר בודד

מצאו פונקציה קדומה של $f(x) = 3x^{2}$

3 x^{2} ⟶ F (x) = x^{3} (+ C)

שלב 1 — מהפכים את כלל החזקה

החזקה 2 עולה ל-3, ומחלקים ב-3

דוגמה 2: פונקציה קדומה של פולינום

מצאו פונקציה קדומה של $f(x) = 4x^{3} - 6x + 5$

F (x) = x^{4} - 3 x^{2} + 5 x (+ C)

האיבר הקבוע 5 הופך ל-5x, כי (5x)' = 5.

שלב 1 — האיבר $4x^{3}$

חזקה עולה ל-4, מחלקים ב-

4: \frac{4x^{4}}{4} = x^{4}

דוגמה 3: שימו לב לחלוקה הנכונה

מצאו פונקציה קדומה של $f(x) = 6x^{2} + 2x$

F (x) = 2 x^{3} + x^{2} (+ C)

מחלקים תמיד בחזקה החדשה (3 ו-2), לא בחזקה המקורית.

שלב 1 — האיבר $6x^{2}$

\frac{6x^{3}}{3} = 2x^{3}

דוגמה 4: מציאת הפונקציה הקדומה המסוימת (קביעת C)

נתון $F'(x) = 12x^{2}$ ו- $F(1) = 10$ . מצאו את F(x)

F (x) = 4 x^{3} + C, F (1) = 10 \Rightarrow C = 6 \Rightarrow F (x) = 4 x^{3} + 6

התנאי הנוסף 'בורר' פונקציה קדומה אחת מתוך כל המשפחה.

שלב 1 — פונקציה קדומה כללית

הפונקציה הקדומה של

12x^{2}

היא

\frac{12x^{3}}{3} = 4x^{3}

, ולכן

F(x) = 4x^{3} + C

תשובה מספרית

נתון ש- $F'(x) = 12x^{2}$ ושמתקיים $F(1) = 10$ . הפונקציה הקדומה היא $F(x) = 4x^{3} + C$ . מהו הערך של C?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מחלקים בחזקה המקורית במקום בחדשה

טעות: הפונקציה הקדומה של $x^{2}$ היא $\frac{x ^{3}}{2}$

נכון: הפונקציה הקדומה של $x^{2}$ היא $\frac{x ^{3}}{3}$ , כי $(\frac{x ^{3}}{3})^{'} = x^{2}$

למה זה קורה?

תלמידים מעלים את החזקה אבל מחלקים במעריך הישן.

איך מתקנים?

מחלקים תמיד בחזקה החדשה (אחרי ההעלאה). הפונקציה הקדומה של

x^{2}

היא

\frac{x^{3}}{3}

, לא

\frac{x^{3}}{2}

טעות נפוצה: שוכחים את הקבוע $+C$

הפונקציה הקדומה של 2x אינה רק $x^{2}$ אלא $x^{2} + C$ — משפחה שלמה של פתרונות.

למה זה קורה?

מתייחסים לפונקציה הקדומה כאילו היא יחידה.

איך מתקנים?

כל הפונקציות הקדומות נבדלות בקבוע. בלי תנאי נוסף, מציינים

+C

; עם תנאי, מחשבים את C.

טעות נפוצה: מבלבלים בין גזירה לפונקציה קדומה

טעות (גזרו בטעות): פונקציה קדומה של $3 x^{2}$ היא 6x

נכון: פונקציה קדומה של $3 x^{2}$ היא $x^{3}$ , כי $(x^{3})^{'} = 3 x^{2}$

למה זה קורה?

מורידים את החזקה (גוזרים) במקום להעלות אותה.

איך מתקנים?

פונקציה קדומה היא ההפך מגזירה: מעלים את החזקה ב-1. תמיד אפשר לבדוק על-ידי גזירה חזרה.

טעות נפוצה: חושבים שהאיבר הקבוע 'נעלם'

טעות: פונקציה קדומה של f(x) = 5 היא 0

נכון: פונקציה קדומה של f(x) = 5 היא 5x (+C)

למה זה קורה?

מבלבלים עם גזירה, שבה הקבוע אכן נעלם.

איך מתקנים?

בפונקציה קדומה, קבוע c הופך ל-cx (כי

(cx)'=c)

. למשל הפונקציה הקדומה של 5 היא 5x.

בדיקה מהירה

מצאו פונקציה קדומה של $f(x) = 3x^{2}$ .

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

מצאו פונקציה קדומה של $f(x) = 4x^{3} - 6x + 5$ .

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

סיכום

מה למדנו?

פונקציה קדומה של f היא פונקציה F שמקיימת F'(x) = f(x) — היפוך הגזירה.

היפוך כלל החזקה: $x^{n} \to \frac{x ^{n + 1}}{n + 1}$ — מעלים חזקה ומחלקים בחזקה החדשה.

הפונקציה הקדומה אינה יחידה: כל הפונקציות הקדומות הן מהצורה F(x) + C, ונבדלות בקבוע בלבד (משפחת ה-+C). הסיבה: נגזרת קבוע היא 0.

כדי לקבוע את C דרוש תנאי נוסף (נקודה על הגרף).

טיפ זהב: תמיד בדקו על-ידי גזירת התשובה — אם חוזרים ל-f, צדקתם!

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על מציאת פונקציה קדומה של פולינום!

פונקציה קדומה של פולינום

פונקציה קדומה של פולינום

מבוא

הרעיון המרכזי

האם הפונקציה הקדומה יחידה?

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: פונקציה קדומה של איבר בודד

מצאו פונקציה קדומה של f(x)=3x2f(x) = 3x^{2}f(x)=3x2

דוגמה 2: פונקציה קדומה של פולינום

מצאו פונקציה קדומה של f(x)=4x3−6x+5f(x) = 4x^{3} - 6x + 5f(x)=4x3−6x+5

דוגמה 3: שימו לב לחלוקה הנכונה

מצאו פונקציה קדומה של f(x)=6x2+2xf(x) = 6x^{2} + 2xf(x)=6x2+2x

דוגמה 4: מציאת הפונקציה הקדומה המסוימת (קביעת C)

נתון F′(x)=12x2F'(x) = 12x^{2}F′(x)=12x2 ו-F(1)=10F(1) = 10F(1)=10. מצאו את F(x)

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מחלקים בחזקה המקורית במקום בחדשה

טעות נפוצה: שוכחים את הקבוע +C+C+C

טעות נפוצה: מבלבלים בין גזירה לפונקציה קדומה

טעות נפוצה: חושבים שהאיבר הקבוע 'נעלם'

סיכום

תרגול נוסף

מצאו פונקציה קדומה של $f(x) = 3x^{2}$

מצאו פונקציה קדומה של $f(x) = 4x^{3} - 6x + 5$

מצאו פונקציה קדומה של $f(x) = 6x^{2} + 2x$

נתון $F'(x) = 12x^{2}$ ו- $F(1) = 10$ . מצאו את F(x)

טעות נפוצה: שוכחים את הקבוע $+C$