כללי גזירה בסיסיים

מבוא

מטרות השיעור

להכיר את כלל החזקה: $(x^{k})^{'} = k x^{k - 1}$
להכיר את כלל הכפל בקבוע: $(c \cdot f)^{'} = c \cdot f^{'}$
להכיר את כלל הסכום וההפרש: $(f \pm g)^{'} = f^{'} \pm g^{'}$
לגזור כל פונקציה פולינומית במהירות, בלי לחזור בכל פעם להגדרת הגבול
לחשב את ערך הנגזרת בנקודה ולפרש אותו כשיפוע המשיק

הרעיון המרכזי

ביחידה הקודמת הגדרנו את הנגזרת בנקודה כגבול של שיפועי החותכים: $f^{'} (x) = lim_{Δ x \to 0} \frac{f ( x + Δ x ) - f ( x )}{Δ x}$ .

חישוב הגבול הזה לכל פונקציה בנפרד הוא ארוך ומייגע. למזלנו, מההגדרה נובעים כללי גזירה קצרים שחוסכים לנו את העבודה. בשיעור זה נשתמש בהם ככלי; בשיעור הוכחות כללי הגזירה נראה מדוע הם נכונים.

שלושת הכללים הבסיסיים

כלל החזקה: לכל מספר טבעי k, $(x^{k})^{'} = k x^{k - 1}$

כלומר: מורידים את המעריך כמקדם ומקטינים את החזקה ב-1.

כלל הכפל בקבוע: קבוע "יושב בחוץ" ואינו מושפע מהגזירה, $(c \cdot f (x))^{'} = c \cdot f^{'} (x)$

כלל הסכום וההפרש: גוזרים איבר-איבר, $(f (x) \pm g (x))^{'} = f^{'} (x) \pm g^{'} (x)$

מקרים פרטיים שכדאי לזכור:

נגזרת של קבוע: (c)' = 0
נגזרת של x: (x)' = 1
נגזרת של $x^{2}$ : $(x^{2})^{'} = 2 x$

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: כלל החזקה הבסיסי

גזרו: $f(x) = x^{7}$

(x^{7})^{'} = 7 x^{6}

שלב 1 — מזהים את המעריך

k = 7

בדיקה מהירה

מהי הנגזרת של הפונקציה $f(x) = x^{5}$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: כפל בקבוע

גזרו: $f(x) = 3x^{4}$

(3 x^{4})^{'} = 3 \cdot 4 x^{3} = 12 x^{3}

שימו לב: המקדם לא נגזר. הטעות הנפוצה היא לכתוב $12 x^{4}$ .

שלב 1 — הקבוע נשאר

המקדם 3 'יושב בחוץ' ואינו נגזר

דוגמה 3: סכום והפרש — גזירת פולינום

גזרו: $f(x) = 5x^{3} - 2x^{2} + 7x - 9$

(5 x^{3} - 2 x^{2} + 7 x - 9)^{'} = 15 x^{2} - 4 x + 7

האיבר החופשי -9 נעלם, כי נגזרת הקבוע היא 0.

שלב 1 — גוזרים $5x^{3}$

5 \cdot 3x^{2} = 15x^{2}

דוגמה 4: ערך הנגזרת בנקודה כשיפוע המשיק

מצאו את שיפוע המשיק לגרף $f(x) = x^{3}$ בנקודה $x = 2$

f^{'} (x) = 3 x^{2} \Rightarrow f^{'} (2) = 12

שלב 1 — גוזרים

f'(x) = 3x^{2}

תשובה מספרית

נתונה הפונקציה $f(x) = x^{3}$ . חשבו את $f'(2)$ .

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

מהו שיפוע המשיק לגרף הפונקציה $f(x) = x^{4} - x^{2}$ בנקודה שבה $x = 1$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 5: מקדם שברי וחיפוש משיק אופקי

גזרו את $f(x) = \frac{1}{2}x^{4}$ ומצאו היכן המשיק אופקי

(\frac{1}{2} x^{4})^{'} = 2 x^{3}, 2 x^{3} = 0 \Rightarrow x = 0

שלב 1 — גוזרים עם הקבוע $\frac{1}{2}$

f'(x) = \frac{1}{2} \cdot 4x^{3} = 2x^{3}

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: גוזרים את המקדם יחד עם החזקה

טעות: $(3 x^{4})^{'} = 12 x^{4}$

נכון: $(3 x^{4})^{'} = 12 x^{3}$

למה זה קורה?

תלמידים מכפילים את המקדם במעריך ושוכחים להוריד את החזקה, או מורידים את המעריך אבל משאירים את החזקה.

איך מתקנים?

המקדם נשאר; רק החזקה משתנה

. (3x^{4})' = 3 \cdot 4x^{3} = 12x^{3}

, ולא

12x^{4}

טעות נפוצה: שוכחים להכפיל במעריך

טעות: $(x^{5})^{'} = x^{4}$

נכון: $(x^{5})^{'} = 5 x^{4}$

למה זה קורה?

מקטינים את החזקה ב-1 אבל לא מורידים את המעריך כמקדם.

איך מתקנים?

כלל החזקה דורש שני דברים: גם להוריד את k כמקדם וגם להקטין את החזקה

. (x^{5})' = 5x^{4}

, לא

x^{4}

טעות נפוצה: חושבים שנגזרת של קבוע אינה אפס

טעות: $(5 x^{3} - 9)^{'} = 15 x^{2} - 9$

נכון: $(5 x^{3} - 9)^{'} = 15 x^{2}$

למה זה קורה?

תלמידים מתייחסים לקבוע כאילו יש בו משתנה, או 'גוזרים' אותו לעצמו.

איך מתקנים?

פונקציה קבועה לא משתנה, לכן קצב השינוי שלה 0. גם האיבר החופשי בפולינום נעלם בגזירה.

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: הנגזרת של הפונקציה הקבועה $f(x) = 7$ היא 0.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעות נפוצה: נגזרת של איבר ליניארי

טעות: (7x)' = 7x

נכון: (7x)' = 7

למה זה קורה?

מבלבלים בין הפונקציה 7x לנגזרתה ומשאירים את ה-x.

איך מתקנים?

(7x)' = 7

. החזקה של x היא 1, ולפי כלל החזקה:

7 \cdot 1 \cdot x^{0} = 7

סיכום

מה למדנו?

שלושת הכללים הבסיסיים:

כלל החזקה: $(x^{k})^{'} = k x^{k - 1}$
כפל בקבוע: $(c \cdot f)^{'} = c \cdot f^{'}$
סכום והפרש: $(f \pm g)^{'} = f^{'} \pm g^{'}$

זכרו:

המקדם נשאר, רק החזקה משתנה
נגזרת קבוע = 0, נגזרת של x היא 1
ערך הנגזרת בנקודה = שיפוע המשיק שם
משיק אופקי ⟺ f'(x) = 0

עכשיו אפשר לגזור כל פולינום במהירות. בשיעור הבא נרחיב לכלל המכפלה ולכלל השרשרת.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על כללי הגזירה הבסיסיים!

כללי גזירה בסיסיים: חזקה, כפל בקבוע, סכום והפרש

כללי גזירה בסיסיים: חזקה, כפל בקבוע, סכום והפרש

כללי גזירה בסיסיים

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: כלל החזקה הבסיסי

גזרו: $f(x) = x^{7}$

דוגמה 2: כפל בקבוע

גזרו: $f(x) = 3x^{4}$

דוגמה 3: סכום והפרש — גזירת פולינום

גזרו: $f(x) = 5x^{3} - 2x^{2} + 7x - 9$

דוגמה 4: ערך הנגזרת בנקודה כשיפוע המשיק

מצאו את שיפוע המשיק לגרף $f(x) = x^{3}$ בנקודה $x = 2$

דוגמה 5: מקדם שברי וחיפוש משיק אופקי

גזרו את $f(x) = \frac{1}{2}x^{4}$ ומצאו היכן המשיק אופקי

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: גוזרים את המקדם יחד עם החזקה

טעות נפוצה: שוכחים להכפיל במעריך

טעות נפוצה: חושבים שנגזרת של קבוע אינה אפס

טעות נפוצה: נגזרת של איבר ליניארי

סיכום

תרגול נוסף

כללי גזירה בסיסיים: חזקה, כפל בקבוע, סכום והפרש

כללי גזירה בסיסיים

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: כלל החזקה הבסיסי

גזרו: f(x)=x7f(x) = x^{7}f(x)=x7

דוגמה 2: כפל בקבוע

גזרו: f(x)=3x4f(x) = 3x^{4}f(x)=3x4

דוגמה 3: סכום והפרש — גזירת פולינום

גזרו: f(x)=5x3−2x2+7x−9f(x) = 5x^{3} - 2x^{2} + 7x - 9f(x)=5x3−2x2+7x−9

דוגמה 4: ערך הנגזרת בנקודה כשיפוע המשיק

מצאו את שיפוע המשיק לגרף f(x)=x3f(x) = x^{3}f(x)=x3 בנקודה x=2x = 2x=2

דוגמה 5: מקדם שברי וחיפוש משיק אופקי

גזרו את f(x)=12x4f(x) = \frac{1}{2}x^{4}f(x)=21​x4 ומצאו היכן המשיק אופקי

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: גוזרים את המקדם יחד עם החזקה

טעות נפוצה: שוכחים להכפיל במעריך

טעות נפוצה: חושבים שנגזרת של קבוע אינה אפס

טעות נפוצה: נגזרת של איבר ליניארי

סיכום

תרגול נוסף

גזרו: $f(x) = x^{7}$

גזרו: $f(x) = 3x^{4}$

גזרו: $f(x) = 5x^{3} - 2x^{2} + 7x - 9$

מצאו את שיפוע המשיק לגרף $f(x) = x^{3}$ בנקודה $x = 2$

גזרו את $f(x) = \frac{1}{2}x^{4}$ ומצאו היכן המשיק אופקי