כלל המכפלה וכלל השרשרת

מבוא

מטרות השיעור

להכיר את כלל המכפלה: $(f \cdot g)^{'} = f^{'} g + f g^{'}$
להכיר את כלל השרשרת לפונקציה מורכבת דו-שלבית: $[f (g (x))]^{'} = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)$
לזהות מתי משתמשים בכל כלל ולשלב אותם עם הכללים הבסיסיים
להבין מדוע אסור לגזור מכפלה 'גורם-גורם'

הרעיון המרכזי

בכלל הסכום ראינו שגוזרים איבר-איבר. אצל מכפלה זה לא עובד: $(f \cdot g)^{'} \neq = f^{'} \cdot g^{'}$ . דוגמה נגדית פשוטה: $(x \cdot x)^{'} = (x^{2})^{'} = 2 x$ , אבל $x^{'} \cdot x^{'} = 1 \cdot 1 = 1$ . התוצאות שונות, ולכן צריך כלל אחר.

שני הכללים החדשים

כלל המכפלה: $(f \cdot g)^{'} = f^{'} g + f g^{'}$

במילים: גוזרים את הגורם הראשון ומשאירים את השני, ועוד משאירים את הראשון וגוזרים את השני.

כלל השרשרת (לפונקציה מורכבת f(g(x))): $[f (g (x))]^{'} = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)$

במילים: גוזרים את הפונקציה החיצונית כשהפנימית נשארת 'בפנים', ואז מכפילים בנגזרת הפנימית.

הגורם g'(x) הוא ה'תיקון' של השרשרת — שכחה שלו היא הטעות הנפוצה ביותר.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: כלל המכפלה

גזרו: $f(x) = (x^{2} + 1)(x^{3})$

[(x^{2} + 1) (x^{3})]^{'} = 2 x \cdot x^{3} + (x^{2} + 1) \cdot 3 x^{2} = 5 x^{4} + 3 x^{2}

בדיקה: פותחים קודם $(x^{2} + 1) x^{3} = x^{5} + x^{3}$ , ואז $(x^{5} + x^{3})^{'} = 5 x^{4} + 3 x^{2}$ — אותה תוצאה!

שלב 1 — מסמנים את הגורמים

f_{1} = x^{2} + 1, f_{2} = x^{3}

דוגמה 2: כלל השרשרת — חזקה של ביטוי

גזרו: $f(x) = (2x + 5)^{3}$

[(2 x + 5)^{3}]^{'} = 3 (2 x + 5)^{2} \cdot 2 = 6 (2 x + 5)^{2}

בלי הגורם 2 הייתה יוצאת התשובה השגויה $3 (2 x + 5)^{2}$ .

שלב 1 — מזהים פנימית וחיצונית

פנימית

g = 2x+5

, חיצונית: חזקה שלישית

תשובה מספרית

הנגזרת של $f(x) = (2x+5)^{3}$ היא מהצורה $c \cdot (2x+5)^{2}$ . מהו הערך של c?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: כלל השרשרת עם פנימית ריבועית

גזרו: $f(x) = (x^{2} + 1)^{3}$

[(x^{2} + 1)^{3}]^{'} = 3 (x^{2} + 1)^{2} \cdot 2 x = 6 x (x^{2} + 1)^{2}

שלב 1 — פנימית

g(x) = x^{2} + 1

, ולכן

g'(x) = 2x

דוגמה 4: שילוב — ערך הנגזרת בנקודה

נתונה $f(x) = (4x - 1)^{2}$ . חשבו $f'(1)$

f^{'} (x) = 8 (4 x - 1) \Rightarrow f^{'} (1) = 24

שלב 1 — פנימית

g(x) = 4x - 1, g'(x) = 4

בדיקה מהירה

גזרו בעזרת כלל השרשרת: $f(x) = (x^{2} + 1)^{3}$ .

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

נתונה $f(x) = (x^{2} + 1)(x^{3})$ . חשבו את $f'(1)$ בעזרת כלל המכפלה.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה קצרה

גזרו בעזרת כלל המכפלה: $f(x) = x^{2} \cdot (2x - 1)$ . כתבו את f'(x) (מפושט).

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 5: כלל המכפלה עם פולינום

גזרו: $f(x) = x^{2} \cdot (2x - 1)$

[x^{2} (2 x - 1)]^{'} = 2 x (2 x - 1) + x^{2} \cdot 2 = 6 x^{2} - 2 x

שלב 1 — גורמים ונגזרות

f_{1} = x^{2} (f_{1}' = 2x), f_{2} = 2x - 1 (f_{2}' = 2)

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: גוזרים מכפלה 'גורם-גורם'

טעות: $[x^{2} (2 x - 1)]^{'} = 2 x \cdot 2 = 4 x$

נכון: $[x^{2} (2 x - 1)]^{'} = 2 x (2 x - 1) + x^{2} \cdot 2 = 6 x^{2} - 2 x$

למה זה קורה?

תלמידים מעתיקים את כלל הסכום למכפלה וכותבים

(f \cdot g)' = f' \cdot g'

איך מתקנים?

במכפלה צריך שני מחוברים:

(f \cdot g)' = f'g + fg'

. בדקו על

(x \cdot x)':

התשובה 2x, לא 1.

טעות נפוצה: שוכחים את נגזרת הפנימית בכלל השרשרת

טעות: $[(2 x + 5)^{3}]^{'} = 3 (2 x + 5)^{2}$

נכון: $[(2 x + 5)^{3}]^{'} = 6 (2 x + 5)^{2}$

למה זה קורה?

גוזרים רק את הפונקציה החיצונית ומפסיקים שם.

איך מתקנים?

כלל השרשרת מסתיים בהכפלה ב-

g'(x). [(2x+5)^{3}]' = 3(2x+5)^{2} \cdot 2

, לא

3(2x+5)^{2}

טעות נפוצה: מציבים את נגזרת הפנימית בתוך הפונקציה החיצונית

טעות: $[(x^{2} + 1)^{3}]^{'} = 3 (2 x)^{2}$

נכון: $[(x^{2} + 1)^{3}]^{'} = 3 (x^{2} + 1)^{2} \cdot 2 x = 6 x (x^{2} + 1)^{2}$

למה זה קורה?

מבלבלים בין f'(g(x)) ל-f'(g'(x)).

איך מתקנים?

הפנימית נשארת כפי שהיא בתוך הנגזרת החיצונית, וההכפלה ב-g'(x) היא נפרדת.

טעות נפוצה: פותחים סוגריים בטעות במקום להשתמש בכלל

שתי הדרכים נכונות, אך כלל השרשרת חוסך עבודה:

[(x^{2} - 3 x)^{2}]^{'} = 2 (x^{2} - 3 x) (2 x - 3) = 4 x^{3} - 18 x^{2} + 18 x

למה זה קורה?

לפעמים נכון לפתוח, אבל בחזקות גבוהות זה ארוך ומועד לטעויות.

איך מתקנים?

לפונקציה מורכבת כמו

(x^{2}-3x)^{2}

כלל השרשרת מהיר ובטוח:

2(x^{2}-3x)(2x-3)

סיכום

מה למדנו?

כלל המכפלה: $(f \cdot g)^{'} = f^{'} g + f g^{'}$ — שני מחוברים, לא מכפלת נגזרות.

כלל השרשרת: $[f (g (x))]^{'} = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)$ — חיצונית קודם, ואז להכפיל בנגזרת הפנימית.

זכרו:

מכפלה ≠ סכום: אסור לגזור גורם-גורם
בשרשרת אל תשכחו את g'(x)
אפשר תמיד לבדוק על-ידי פתיחה (כשהיא קצרה)

בשיעור הבא נראה מדוע הכללים האלה נכונים — נוכיח אותם מהגדרת הנגזרת.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על כלל המכפלה וכלל השרשרת!

כלל המכפלה וכלל השרשרת

כלל המכפלה וכלל השרשרת

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: כלל המכפלה

גזרו: f(x)=(x2+1)(x3)f(x) = (x^{2} + 1)(x^{3})f(x)=(x2+1)(x3)

דוגמה 2: כלל השרשרת — חזקה של ביטוי

גזרו: f(x)=(2x+5)3f(x) = (2x + 5)^{3}f(x)=(2x+5)3

דוגמה 3: כלל השרשרת עם פנימית ריבועית

גזרו: f(x)=(x2+1)3f(x) = (x^{2} + 1)^{3}f(x)=(x2+1)3

דוגמה 4: שילוב — ערך הנגזרת בנקודה

נתונה f(x)=(4x−1)2f(x) = (4x - 1)^{2}f(x)=(4x−1)2. חשבו f′(1)f'(1)f′(1)

דוגמה 5: כלל המכפלה עם פולינום

גזרו: f(x)=x2⋅(2x−1)f(x) = x^{2} \cdot (2x - 1)f(x)=x2⋅(2x−1)

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: גוזרים מכפלה 'גורם-גורם'

טעות נפוצה: שוכחים את נגזרת הפנימית בכלל השרשרת

טעות נפוצה: מציבים את נגזרת הפנימית בתוך הפונקציה החיצונית

טעות נפוצה: פותחים סוגריים בטעות במקום להשתמש בכלל

סיכום

תרגול נוסף

גזרו: $f(x) = (x^{2} + 1)(x^{3})$

גזרו: $f(x) = (2x + 5)^{3}$

גזרו: $f(x) = (x^{2} + 1)^{3}$

נתונה $f(x) = (4x - 1)^{2}$ . חשבו $f'(1)$

גזרו: $f(x) = x^{2} \cdot (2x - 1)$