הוכחת כללי הגזירה מהגדרת הנגזרת

מבוא

מטרות השיעור

להבין שכללי הגזירה אינם 'שרירותיים' — הם נובעים בהוכחה מהגדרת הנגזרת
להוכיח את כלל הכפל בקבוע: $(c \cdot f)^{'} = c \cdot f^{'}$
להוכיח את כלל הסכום: (f+g)' = f' + g'
לראות כיצד מוכיחים את כלל החזקה עבור $x^{2}$ ו- $x^{3}$
לנסח בהוכחה את הנתונים ואת ההיסקים הלוגיים, צעד אחר צעד

ברוח התוכנית, חשוב לא רק לדעת להשתמש בכללים אלא גם להבין מדוע הם נכונים. כל ההוכחות מתבססות על אותה הגדרה אחת.

נקודת המוצא: הגדרת הנגזרת

הגדרת הנגזרת כגבול

הנגזרת בנקודה היא הגבול של קצב השינוי הממוצע (שיפוע החותך) כאשר רוחב המדרגה $Δ x$ שואף לאפס:

f^{'} (x) = lim_{Δ x \to 0} \frac{f ( x + Δ x ) - f ( x )}{Δ x}

תכונות גבולות שנשתמש בהן:

גבול של סכום = סכום הגבולות
אפשר להוציא גורם קבוע מחוץ לגבול

זהירות: אסור פשוט להציב $Δ x = 0$ — מקבלים $\frac{0}{0}$ . קודם מפשטים ומצמצמים, ורק אחר כך מחשבים את הגבול.

ההוכחות

דוגמה 1 (הוכחה): כלל הכפל בקבוע

הוכיחו: $(c \cdot f)' = c \cdot f'$

(c \cdot f)^{'} (x) = lim_{Δ x \to 0} \frac{c f ( x + Δ x ) - c f ( x )}{Δ x} = c lim_{Δ x \to 0} \frac{f ( x + Δ x ) - f ( x )}{Δ x} = c f^{'} (x)

ההצדקה לשלב 3 היא תכונת הקבוע של גבולות.

נתון

h(x) = c \cdot f(x)

, כאשר c קבוע ו-f גזירה

סידור

סדרו את שלבי ההוכחה של כלל הכפל בקבוע $(c \cdot f)' = c \cdot f'$ מהגדרת הנגזרת, מההתחלה לסוף:

גררו את הפריטים לסדר הנכון

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2 (הוכחה): כלל הסכום

הוכיחו: $(f+g)' = f' + g'$

(f + g)^{'} (x) = lim_{Δ x \to 0} \frac{[ f ( x + Δ x ) - f ( x )] + [ g ( x + Δ x ) - g ( x )]}{Δ x} = f^{'} (x) + g^{'} (x)

הצעד המרכזי (שלב 4) נשען על כך שגבול של סכום שווה לסכום הגבולות. בדיוק כך מוכיחים גם את כלל ההפרש, עם מינוס במקום פלוס.

נתון

h(x) = f(x) + g(x)

, כאשר f, g גזירות

סידור

סדרו את שלבי ההוכחה של כלל הסכום $(f+g)' = f' + g'$ מהגדרת הנגזרת, מההתחלה לסוף:

גררו את הפריטים לסדר הנכון

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3 (הוכחה): כלל החזקה עבור x²

הוכיחו מהגדרה: $(x^{2})' = 2x$

(x^{2})^{'} = lim_{Δ x \to 0} \frac{2 x Δ x + ( Δ x ) ^{2}}{Δ x} = lim_{Δ x \to 0} (2 x + Δ x) = 2 x

שימו לב: רק לאחר הצמצום הביטוי $2 x + Δ x$ מוגדר ב- $Δ x = 0$ , ולכן הגבול שווה לערכו שם.

שלב 1 — הגדרה

(x^{2})' = lim [ (x+\Delta x)^{2} - x^{2} ] / \Delta x

בדיקה מהירה

בהוכחת $(x^{2})'$ מהגדרה, מפשטים את המונה $(x+\Delta x)^{2} - x^{2}$ . למה הוא שווה?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

בהוכחת $(x^{2})'$ מהגדרה, מנת ההפרשים מצטמצמת ל- $2x + \Delta x$ . מהו ערך הגבול שלה (כלומר ערך הנגזרת) בנקודה $x = 3$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4 (הוכחה): כלל החזקה עבור x³

הוכיחו מהגדרה: $(x^{3})' = 3x^{2}$

(x^{3})^{'} = lim_{Δ x \to 0} (3 x^{2} + 3 x Δ x + (Δ x)^{2}) = 3 x^{2}

התוצאה עקבית עם כלל החזקה הכללי $(x^{k})^{'} = k x^{k - 1}$ עבור k=3.

שלב 1 — הגדרה

(x^{3})' = lim [ (x+\Delta x)^{3} - x^{3} ] / \Delta x

עקביות הכללים

הכללים מתיישבים זה עם זה

נשתמש בכלל הכפל בקבוע ובכלל הסכום שהוכחנו כדי לגזור פולינום כמו $5 x^{3} - 2 x^{2}$ :

(5 x^{3} - 2 x^{2})^{'} = 5 (x^{3})^{'} - 2 (x^{2})^{'} = 5 \cdot 3 x^{2} - 2 \cdot 2 x = 15 x^{2} - 4 x

כל צעד מוצדק על-ידי כלל שהוכחנו מההגדרה — אין כאן 'קסם', רק היסק לוגי.

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מציבים $\Delta x = 0$ מוקדם מדי

טעות: מציבים מיד וכותבים $\frac{0}{0}$ ומסיקים 'אין נגזרת'.

נכון: מצמצמים ל- $2 x + Δ x$ ואז $lim_{Δ x \to 0} (2 x + Δ x) = 2 x$ .

למה זה קורה?

תלמידים מנסים להציב

\Delta x = 0

כבר במנת ההפרשים המקורית, ומקבלים

\frac{0}{0}

— ביטוי לא מוגדר.

איך מתקנים?

קודם מפשטים ומצמצמים את

\Delta x

, ורק לביטוי הרציף שמתקבל מחשבים את הגבול.

טעות נפוצה: חושבים שכלל המכפלה הוא 'גם הוא רק סכום'

כלל הסכום: (f+g)' = f' + g' (מתפצל)

כלל המכפלה: $(f \cdot g)^{'} = f^{'} g + f g^{'}$ (לא מתפצל לגורמים)

למה זה קורה?

מהוכחת כלל הסכום תלמידים מסיקים בטעות שגם מכפלה מתפצלת לגבולות בנפרד.

איך מתקנים?

כלל הסכום מתפצל כי המונה הוא סכום. במכפלה המונה אינו מתפצל כך — לכן

(f \cdot g)' = f'g + fg'

, ולא

f' \cdot g'

טעות נפוצה: שוכחים להצדיק את הוצאת הקבוע מהגבול

lim_{Δ x \to 0} \frac{c ( f ( x + Δ x ) - f ( x ))}{Δ x} = c lim_{Δ x \to 0} \frac{f ( x + Δ x ) - f ( x )}{Δ x}

למה זה קורה?

בהוכחת כלל הכפל בקבוע 'מדלגים' על השלב שבו מוציאים את c מחוץ לגבול.

איך מתקנים?

הוצאת הקבוע מהגבול היא תכונה של גבולות וצריך לציין אותה במפורש כהיסק לוגי בהוכחה.

טעות נפוצה: מבלבלים בין הצבה לגבול

לפני הצמצום: $\frac{0}{0}$ (לא מוגדר). אחרי הצמצום: $2 x + Δ x$ רציף, ולכן הגבול הוא 2x.

למה זה קורה?

לא מבחינים בין 'ערך הביטוי ב-

\Delta x=0'

לבין 'הגבול כש-

\Delta x

שואף ל-0'.

איך מתקנים?

עבור ביטוי רציף הגבול שווה לערך בנקודה — אבל רק אחרי שהביטוי הפך לרציף (לאחר הצמצום).

סיכום

מה למדנו?

כל כללי הגזירה נובעים מהגדרה אחת — הנגזרת כגבול מנת ההפרשים.

כלל הכפל בקבוע: מוציאים את הקבוע מחוץ לגבול ⟹ $(c \cdot f)^{'} = c \cdot f^{'}$
כלל הסכום: גבול של סכום = סכום הגבולות ⟹ (f+g)' = f' + g'
כלל החזקה: פותחים, מצמצמים $Δ x$ , ומחשבים גבול ⟹ $(x^{2})^{'} = 2 x, (x^{3})^{'} = 3 x^{2}$

עקרון מנחה: קודם מפשטים, רק אחר כך לוקחים גבול. אסור להציב $Δ x = 0$ בטרם עת.

ההוכחות מראות שהכללים עקביים זה עם זה ומאפשרים לנו 'קיצור דרך' גדול ביישומים.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על הבנת ההוכחות לכללי הגזירה!

הוכחת כללי הגזירה מהגדרת הנגזרת

הוכחת כללי הגזירה מהגדרת הנגזרת

מבוא

נקודת המוצא: הגדרת הנגזרת

ההוכחות

דוגמה 1 (הוכחה): כלל הכפל בקבוע

הוכיחו: (c⋅f)′=c⋅f′(c \cdot f)' = c \cdot f'(c⋅f)′=c⋅f′

דוגמה 2 (הוכחה): כלל הסכום

הוכיחו: (f+g)′=f′+g′(f+g)' = f' + g'(f+g)′=f′+g′

דוגמה 3 (הוכחה): כלל החזקה עבור x²

הוכיחו מהגדרה: (x2)′=2x(x^{2})' = 2x(x2)′=2x

דוגמה 4 (הוכחה): כלל החזקה עבור x³

הוכיחו מהגדרה: (x3)′=3x2(x^{3})' = 3x^{2}(x3)′=3x2

עקביות הכללים

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מציבים Δx=0\Delta x = 0Δx=0 מוקדם מדי

טעות נפוצה: חושבים שכלל המכפלה הוא 'גם הוא רק סכום'

טעות נפוצה: שוכחים להצדיק את הוצאת הקבוע מהגבול

טעות נפוצה: מבלבלים בין הצבה לגבול

סיכום

תרגול נוסף

הוכיחו: $(c \cdot f)' = c \cdot f'$

הוכיחו: $(f+g)' = f' + g'$

הוכיחו מהגדרה: $(x^{2})' = 2x$

הוכיחו מהגדרה: $(x^{3})' = 3x^{2}$

טעות נפוצה: מציבים $\Delta x = 0$ מוקדם מדי