פונקציות זוגיות ואי-זוגיות והמסקנה על שורשים

מבוא

בשיעור הקודם ראינו שפונקציות חזקה מתחלקות לשני טיפוסים לפי סימטריה: חזקה זוגית סימטרית לציר ה-y, וחזקה אי-זוגית סימטרית לראשית. עכשיו נכליל את הרעיון לכל פונקציה ונגדיר במדויק מהי פונקציה זוגית ומהי פונקציה אי-זוגית. הסימטריה אינה רק תכונה "יפה" — היא חוסכת עבודה (מספיק להכיר חצי גרף), ומובילה למסקנה חזקה על מספר השורשים הממשיים של פולינום, מסקנה שתלווה אותנו לאורך כל חקר הפונקציות.

מטרות השיעור

להגדיר פונקציה זוגית (f(-x) = f(x)) ופונקציה אי-זוגית (f(-x) = -f(x))
לקשר בין ההגדרה האלגברית לסימטריה הגרפית (ציר ה-y מול הראשית)
ליישם את המבחן האלגברי כדי לסווג פונקציה, ולהבין שרוב הפונקציות אינן זוגיות ואינן אי-זוגיות
להסיק כי לפולינום ממעלה אי-זוגית יש לפחות שורש ממשי אחד, ולפולינום ממעלה זוגית אין בהכרח

הרעיון המרכזי

הגדרות ומבחן

תהי f פונקציה שתחום הגדרתה סימטרי ביחס לאפס.

פונקציה זוגית: f(-x) = f(x) לכל x ⟸⟹ הגרף סימטרי ביחס לציר ה-y.

פונקציה אי-זוגית: f(-x) = -f(x) לכל x ⟸⟹ הגרף סימטרי ביחס לראשית.

המבחן האלגברי: מציבים -x במקום x, מפשטים, ומשווים:

אם קיבלנו את f(x) עצמו → זוגית
אם קיבלנו את -f(x) → אי-זוגית
אם לא זה ולא זה → לא זוגית ולא אי-זוגית (זה המקרה הנפוץ ביותר!)

המסקנה על שורשים של פולינום

לפולינום ממעלה אי-זוגית יש לפחות שורש ממשי אחד. (הגרף מגיע מ- $- \infty$ בקצה אחד ומ- $+ \infty$ בקצה השני, ולכן חוצה את ציר ה-x.)
לפולינום ממעלה זוגית אין בהכרח שורש ממשי. דוגמה: $x^{2} + 1 > 0$ תמיד.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: זיהוי פונקציה זוגית

סווגו: $f(x)=x^{4}-3x^{2}+2$

f (- x) = x^{4} - 3 x^{2} + 2 = f (x)

כשכל החזקות זוגיות (כולל קבוע, שהוא $x^{0}$ ), הפונקציה זוגית.

שלב 1 — מציבים -x

f(-x) = (-x)^{4} - 3(-x)^{2} + 2

דוגמה 2: זיהוי פונקציה אי-זוגית

סווגו: $f(x)=x^{3}-x$

f (- x) = - x^{3} + x = - (x^{3} - x) = - f (x)

כשכל החזקות אי-זוגיות והאיבר החופשי אפס, הפונקציה אי-זוגית.

שלב 1 — מציבים -x

f(-x) = (-x)^{3} - (-x)

דוגמה 3: פונקציה שאינה זוגית ואינה אי-זוגית

סווגו: $f(x)=x^{2}+x$

$f (- x) = x^{2} - x$ אינו שווה לא ל-f(x) ולא ל--f(x).

ערבוב של חזקה זוגית ( $x^{2}$ ) עם חזקה אי-זוגית (x) שובר את שתי הסימטריות.

שלב 1 — מציבים -x

f(-x) = (-x)^{2} + (-x) = x^{2} - x

דוגמה 4: המסקנה על שורשים ממשיים

מדוע לפולינום ממעלה 3 יש לפחות שורש ממשי, ולמה $x^{2}+1$ הוא דוגמה נגדית למקרה הזוגי?

$x^{2} + 1 \geq 1 > 0$ לכל x ממשי — אין שורש ממשי.

הנימוק נשען על רציפות הפונקציה ועל התנהגותה בקצוות, באופן אינטואיטיבי-גרפי.

שלב 1 — התנהגות בקצוות (מעלה אי-זוגית)

עבור

x^{3}

גדול וחיובי הערך → +∞; עבור x שלילי מאוד הערך → -∞

בדיקה מהירה

מהו התנאי האלגברי לכך שפונקציה f היא פונקציה זוגית?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

האם הפונקציה $f(x)=x^{2}+1$ זוגית, אי-זוגית, או לא זו ולא זו?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

סווגו את הפונקציה $f(x)=x^{3}-x$ .

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: חושבים שכל פונקציה היא או זוגית או אי-זוגית

$f (x) = x^{2} + x$ : $f (- x) = x^{2} - x$ — לא שווה ל-f(x) ולא ל--f(x).

למה זה קורה?

ההכרות הראשונה היא עם

x^{2} (

זוגית) ו-

x^{3} (

אי-זוגית), ונוצר רושם שאלו שתי האפשרויות היחידות.

איך מתקנים?

רוב הפונקציות אינן לא זוגיות ולא אי-זוגיות. תמיד בדקו את שני התנאים — ואם אף אחד לא מתקיים, זו התשובה הנכונה.

טעות נפוצה: מבלבלים בין 'פונקציה זוגית' ל'חזקה זוגית'

$x^{3} - x$ מורכב מחזקות אי-זוגיות, ולכן הפונקציה אי-זוגית — בודקים את כל הביטוי.

למה זה קורה?

אותה מילה משמשת לשני מושגים, ותלמידים בודקים רק חזקה אחת במקום את כל הביטוי.

איך מתקנים?

צריך לבדוק את כל הביטוי f(−x). אומנם פונקציית חזקה זוגית היא פונקציה זוגית, אבל סכום של איברים דורש בדיקה מלאה.

טעות נפוצה: מסיקים שלכל פולינום יש שורש ממשי

טעות: " $x^{2} + 1$ חייב שורש כי הוא פולינום."

נכון: $x^{2} + 1 \geq 1 > 0$ — אין שורש ממשי.

למה זה קורה?

מכלילים מהמקרה האי-זוגי על כל הפולינומים.

איך מתקנים?

רק מעלה אי-זוגית מבטיחה שורש ממשי. למעלה זוגית יש דוגמה נגדית פשוטה:

x^{2}+1

לעולם אינו אפס.

טעות נפוצה: שוכחים שהקבוע משפיע על האי-זוגיות

$f (x) = x^{3} + 5$ : $f (- x) = - x^{3} + 5 \neq = - (x^{3} + 5)$ — לא אי-זוגית.

למה זה קורה?

חושבים ש-

x^{3}+5

אי-זוגית כי

x^{3}

אי-זוגית.

איך מתקנים?

הוספת קבוע

\ne 0

שוברת את האי-זוגיות:

f(-x) = -x^{3}+5

, וזה אינו

-f(x) = -x^{3}-5

. הפונקציה אינה אי-זוגית.

בדיקה מהירה

כמה שורשים ממשיים יש לכל הפחות לפולינום ממעלה 5 (חמישית)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: לכל פולינום ממעלה זוגית יש בהכרח לפחות שורש ממשי אחד.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

סיכום

מה למדנו?

זוגיות ואי-זוגיות:

זוגית: f(-x) = f(x) — סימטריה לציר ה-y.
אי-זוגית: f(-x) = -f(x) — סימטריה ביחס לראשית.
המבחן: מציבים -x, מפשטים, ומשווים. אם אף תנאי לא מתקיים — לא זוגית ולא אי-זוגית (המקרה הנפוץ).

המסקנה על שורשים:

מעלה אי-זוגית ← לפחות שורש ממשי אחד.
מעלה זוגית ← לא בהכרח (דוגמה נגדית: $x^{2} + 1$ ).

טיפים:

אל תניחו שפונקציה חייבת להיות זוגית או אי-זוגית.
קבוע ≠ 0 שובר אי-זוגיות.
הסימטריה חוסכת עבודה: מספיק להכיר חצי גרף.

כל הכבוד! עכשיו אתם יכולים לסווג פונקציות ולחזות מידע על שורשים מתוך המעלה בלבד.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על זיהוי זוגיות ואי-זוגיות והמסקנה על שורשים!

פונקציות זוגיות ואי-זוגיות והמסקנה על שורשים

פונקציות זוגיות ואי-זוגיות והמסקנה על שורשים

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: זיהוי פונקציה זוגית

סווגו: f(x)=x4−3x2+2f(x)=x^{4}-3x^{2}+2f(x)=x4−3x2+2

דוגמה 2: זיהוי פונקציה אי-זוגית

סווגו: f(x)=x3−xf(x)=x^{3}-xf(x)=x3−x

דוגמה 3: פונקציה שאינה זוגית ואינה אי-זוגית

סווגו: f(x)=x2+xf(x)=x^{2}+xf(x)=x2+x

דוגמה 4: המסקנה על שורשים ממשיים

מדוע לפולינום ממעלה 3 יש לפחות שורש ממשי, ולמה x2+1x^{2}+1x2+1 הוא דוגמה נגדית למקרה הזוגי?

בדיקה מהירה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: חושבים שכל פונקציה היא או זוגית או אי-זוגית

טעות נפוצה: מבלבלים בין 'פונקציה זוגית' ל'חזקה זוגית'

טעות נפוצה: מסיקים שלכל פולינום יש שורש ממשי

טעות נפוצה: שוכחים שהקבוע משפיע על האי-זוגיות

בדיקה מהירה

סיכום

תרגול נוסף

סווגו: $f(x)=x^{4}-3x^{2}+2$

סווגו: $f(x)=x^{3}-x$

סווגו: $f(x)=x^{2}+x$

מדוע לפולינום ממעלה 3 יש לפחות שורש ממשי, ולמה $x^{2}+1$ הוא דוגמה נגדית למקרה הזוגי?