טרנספורמציות של פונקציות: הזזה, מתיחה, שיקוף וערך מוחלט

מבוא

עכשיו, כשיש לנו מאגר עשיר של פונקציות יסוד — חזקות, שורש, ערך מוחלט, פונקציות הופכיות — נלמד את הכלי שמחבר ביניהן למשפחות: טרנספורמציות. שינוי קטן בביטוי הסימבולי, כמו הוספת מספר או הכפלה במקדם, מזיז, מותח או משקף את כל הגרף. במקום לשרטט כל פונקציה מאפס, נלמד "לראות" את גרף הבסיס ולהפעיל עליו את הטרנספורמציה בעיני הדמיון. זה לב ה"חוש לפונקציות".

מטרות השיעור

להזיז גרף אנכית (f(x)+k) ואופקית (f(x-p)) ולהבין את כיוון ההזזה
להבין מתיחה/כיווץ וגם שיקוף באמצעות המקדם a בתבנית $a \cdot f (x)$
להבחין בין שיקוף לציר ה-x (g(x)=-f(x)) לשיקוף לציר ה-y (g(x)=f(-x))
ליישם את התבניות $a (x - p)^{n} + k$ , $a x - p + k$ ו- $\frac{a}{x - p} + k$
להבין את ההשפעה של ערך מוחלט של פונקציה |f(x)| על הגרף

הרעיון המרכזי

מילון הטרנספורמציות

נתחיל מגרף בסיס y=f(x).

הזזה אנכית: f(x)+k — מעלה ב-k אם k>0, מטה אם k<0.

הזזה אופקית: f(x-p) — ימינה ב-p אם p>0 (הפוך לאינטואיציה!), שמאלה אם p<0.

מתיחה/כיווץ ושיקוף אנכי: $a \cdot f (x)$ — מתיחה אנכית פי |a|; ואם a<0 גם שיקוף לציר ה-x.

שיקוף לציר ה-x: g(x)=-f(x) — $(x, y) \to (x, - y)$ .

שיקוף לציר ה-y: g(x)=f(-x) — $(x, y) \to (- x, y)$ .

הצורה הכללית (הכללה של הצורה הקודקודית): $a (x - p)^{n} + k$ , וכן $a x - p + k$ ו- $\frac{a}{x - p} + k$ .

ערך מוחלט של פונקציה

ב-|f(x)|: החלק של הגרף שמתחת לציר ה-x משתקף כלפי מעלה, והחלק שמעל הציר נשאר במקומו. התוצאה כולה אי-שלילית.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: שתי הזזות ביחד

תארו כיצד מתקבל $g(x)=\sqrt{x-3}+2$ מ- $f(x)=√x$

g (x) = x - 3 + 2

הזזה אופקית פועלת "הפוך": x-3 מזיז ימינה, לא שמאלה.

שלב 1 — מזהים את p

x-3

בתוך השורש

⟸ p=3 ⟸

הזזה 3 ימינה

דוגמה 2: שני סוגי שיקוף

עבור $f(x)=√x$ , מצאו את השיקוף לציר ה-x ואת השיקוף לציר ה-y

$- f (x) = - x$ (לציר ה-x) לעומת $f (- x) = - x$ (לציר ה-y)

המינוס בחוץ משקף לציר ה-x; המינוס בקלט משקף לציר ה-y.

שלב 1 — שיקוף לציר ה-x

g(x) = -f(x) = -√x:

כל פלט מתהפך, הגרף יורד מתחת לציר ה-x

דוגמה 3: פונקציה הופכית מוזזת ואסימפטוטות

מצאו את האסימפטוטות של $g(x)=\frac{1}{x-2}+3$

g (x) = \frac{1}{x - 2} + 3

ב- $\frac{a}{x - p} + k$ : p קובע את האסימפטוטה האנכית, k את האופקית.

שלב 1 — אסימפטוטה אנכית

המכנה מתאפס ב-

x-2=0

, כלומר

x=2 ←

אסימפטוטה אנכית

x=2

דוגמה 4: פרבולה משוקפת ומוזזת — מציאת אפסים

מצאו את נקודות החיתוך של $f(x)=-(x-1)^{2}+9$ עם ציר ה-x

(x - 1)^{2} = 9 \Rightarrow x = 1 \pm 3

המקדם השלילי הפך את הפרבולה כלפי מטה, ולכן הקודקוד (1,9) הוא מקסימום והגרף יורד וחוצה את הציר בשני צדדים.

שלב 1 — קוראים את התבנית

a=-1 (

שיקוף כלפי מטה), קודקוד

(p,k)=(1,9) ←

מקסימום

בדיקה מהירה

הטרנספורמציה $g(x)=-f(x)$ מתארת שיקוף של גרף הפונקציה ביחס לאיזה ציר?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

כיצד מתקבל הגרף של $f(x)=(x-3)^{2}$ מהגרף של $y=x^{2}$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה קצרה

בקצרה: מה ההשפעה הגרפית של מעבר מ-f(x) ל-|f(x)| על החלק של הגרף שנמצא מתחת לציר ה-x?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מבלבלים את כיוון ההזזה האופקית

טעות: $(x - 3)^{2}$ זז 3 שמאלה.

נכון: $(x - 3)^{2}$ זז 3 ימינה — הקודקוד ב-(3,0).

למה זה קורה?

האינטואיציה אומרת ש'מינוס' זז שמאלה, אבל בקלט זה הפוך.

איך מתקנים?

f(x-p)

מזיז ימינה ב-p (כש-

p>0)

. בדיקה: הקודקוד של

(x-3)^{2}

נמצא ב-

x=3

, כלומר ימינה.

טעות נפוצה: מערבבים בין שיקוף לציר ה-x לשיקוף לציר ה-y

g(x) = -f(x) ← ציר ה-x

g(x) = f(-x) ← ציר ה-y

למה זה קורה?

שני השיקופים נראים דומים בכתיב, אך משפיעים על דברים שונים.

איך מתקנים?

−f(x): מינוס בחוץ ⟸ שיקוף לציר ה-x ((x,y)→(x,−y)). f(−x): מינוס בקלט ⟸ שיקוף לציר ה-y ((x,y)→(−x,y)).

טעות נפוצה: חושבים ש-|f(x)| משקף את כל הגרף

מעל הציר: ללא שינוי. מתחת לציר: משתקף כלפי מעלה. התוצאה כולה $\geq 0$ .

למה זה קורה?

מפעילים את הערך המוחלט 'על הכול' בלי להבחין בין חלקים.

איך מתקנים?

רק החלק מתחת לציר ה-x משתקף כלפי מעלה. החלק שכבר מעל הציר נשאר ללא שינוי.

טעות נפוצה: שוכחים את ה-± כשמוציאים שורש ממשוואה ריבועית

טעות: $(x - 1)^{2} = 9 \Rightarrow x = 4$ בלבד.

נכון: $x - 1 = \pm 3 \Rightarrow x = 4$ או x = -2.

למה זה קורה?

מוציאים רק את השורש החיובי ומפספסים פתרון.

איך מתקנים?

(x-1)^{2} = 9

גורר

x-1 = \pm 3

, ולכן שני פתרונות:

x=4

ו-

x=-2

. תמיד שני סימנים.

בדיקה מהירה

תשובה מספרית

נתונה הפונקציה $f(x)=-(x-1)^{2}+9 ($ פרבולה שהוזזה ושוקפה). מצאו את נקודת החיתוך הגדולה יותר עם ציר ה-x (כלומר ערך ה-x הגדול שעבורו $f(x)=0)$ .

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

מתחילים מהפונקציה $f(x)=\frac{1}{x}$ ומקבלים את $g(x)=\frac{1}{x-2} + 3$ . איזה תיאור של הטרנספורמציה נכון?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

סיכום

מילון הטרנספורמציות

הזזה אנכית: f(x)+k; אופקית: f(x-p) — ימינה ל-p>0, הפוך לאינטואיציה.
מתיחה/כיווץ: $a \cdot f (x)$ — פי |a|, עם שיקוף לציר x אם a<0.
שיקופים: -f(x) לציר x; ‏f(-x) לציר y; ‏|f(x)| משקף מעלה רק את מה שמתחת לציר x.
התבניות: $a (x - p)^{n} + k$ , ‏ $a x - p + k$ , ‏ $\frac{a}{x - p} + k$ .

שימו לב

קודם מזהים את גרף הבסיס ואז מפעילים טרנספורמציות בזו אחר זו; האסימפטוטות זזות עם הגרף (p אנכית, k אופקית); מינוס בחוץ ⟸ ציר x, מינוס בקלט ⟸ ציר y.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על טרנספורמציות של פונקציות!

טרנספורמציות של פונקציות: הזזה, מתיחה, שיקוף וערך מוחלט

טרנספורמציות של פונקציות: הזזה, מתיחה, שיקוף וערך מוחלט

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: שתי הזזות ביחד

תארו כיצד מתקבל g(x)=x−3+2g(x)=\sqrt{x-3}+2g(x)=x−3​+2 מ-f(x)=√xf(x)=√xf(x)=√x

דוגמה 2: שני סוגי שיקוף

עבור f(x)=√xf(x)=√xf(x)=√x, מצאו את השיקוף לציר ה-x ואת השיקוף לציר ה-y

דוגמה 3: פונקציה הופכית מוזזת ואסימפטוטות

מצאו את האסימפטוטות של g(x)=1x−2+3g(x)=\frac{1}{x-2}+3g(x)=x−21​+3

דוגמה 4: פרבולה משוקפת ומוזזת — מציאת אפסים

מצאו את נקודות החיתוך של f(x)=−(x−1)2+9f(x)=-(x-1)^{2}+9f(x)=−(x−1)2+9 עם ציר ה-x

בדיקה מהירה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מבלבלים את כיוון ההזזה האופקית

טעות נפוצה: מערבבים בין שיקוף לציר ה-x לשיקוף לציר ה-y

טעות נפוצה: חושבים ש-|f(x)| משקף את כל הגרף

טעות נפוצה: שוכחים את ה-± כשמוציאים שורש ממשוואה ריבועית

בדיקה מהירה

סיכום

תרגול נוסף

תארו כיצד מתקבל $g(x)=\sqrt{x-3}+2$ מ- $f(x)=√x$

עבור $f(x)=√x$ , מצאו את השיקוף לציר ה-x ואת השיקוף לציר ה-y

מצאו את האסימפטוטות של $g(x)=\frac{1}{x-2}+3$

מצאו את נקודות החיתוך של $f(x)=-(x-1)^{2}+9$ עם ציר ה-x