תבניות לא-פולינומיאליות: |x|, √x, 1/x ו-1/x²

מבוא

עד עכשיו עסקנו בפולינומים — סכומים של חזקות שלמות של x. כעת נרחיב את מאגר הפונקציות שלנו בארבע פונקציות חדשות מסוג שונה לגמרי: פונקציית הערך המוחלט |x|, פונקציית השורש הריבועי $x$ , ושתי פונקציות הופכיות $\frac{1}{x}$ ו- $\frac{1}{x ^{2}}$ . כל אחת מהן מביאה תופעה חדשה: פינה חדה, תחום הגדרה מוגבל, או "בריחה לאינסוף" ליד נקודה. נחקור את תכונותיהן ישירות מהתבנית, באופן איכותני וגרפי — בלי כלים פורמליים של גבולות.

מטרות השיעור

להכיר את ארבע התבניות |x|, $x$ , $\frac{1}{x}$ ו- $\frac{1}{x ^{2}}$
למצוא לכל אחת את תחום ההגדרה ואת נקודות החיתוך עם הצירים
לזהות סימטריה ומונוטוניות, כולל שקצב השינוי של $\frac{1}{x}$ שלילי בכל תחום הגדרתה
לתאר התנהגות אסימפטוטית באופן אינטואיטיבי (התקרבות לציר בלי לגעת בו)
להבין את הזהות $x^{2} = ∣ x ∣$

הרעיון המרכזי

ארבע התבניות במבט-על

ערך מוחלט f(x)=|x|: תחום הגדרה כל הממשיים; טווח $y \geq 0$ ; גרף בצורת V עם קודקוד ב-(0,0); זוגית (|-x| = |x|).

שורש ריבועי $f (x) = x$ : תחום הגדרה $x \geq 0$ בלבד; טווח $y \geq 0$ ; עולה בכל תחום הגדרתה; מתחילה ב-(0,0) ועוברת דרך (1,1) ו-(4,2).

$f (x) = \frac{1}{x}$ : תחום הגדרה $x \neq = 0$ ; אי-זוגית; קצב שינוי שלילי בכל תחום הגדרתה; אסימפטוטה אנכית — ציר ה-y, אסימפטוטה אופקית — ציר ה-x.

$f (x) = \frac{1}{x ^{2}}$ : תחום הגדרה $x \neq = 0$ ; זוגית; תמיד חיובית; אותן אסימפטוטות, אך שני הענפים מעל ציר ה-x.

זהות חשובה: $x^{2} = ∣ x ∣$ — לא x!

הרעיון של אסימפטוטה מוצג כאן באופן תהליכי: כשאומרים ש- $\frac{1}{x}$ מתקרבת לאפס עבור x גדול, הכוונה היא שאפשר לקבל ערך קרוב לאפס ככל שנרצה, אם רק נגדיל את x מספיק. הסימן $\infty$ אינו מספר — הוא תיאור של תהליך.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: תחום הגדרה ונקודות של √x

מצאו את תחום ההגדרה של $f(x)=√x$ ושלוש נקודות על הגרף

$4 = 2$ ו- $9 = 3$

בוחרים ערכי x שהם ריבועים מושלמים כדי לקבל נקודות "נקיות".

שלב 1 — תחום הגדרה

שורש ריבועי דורש מספר אי-שלילי, לכן

x \ge 0

דוגמה 2: הזהות √(x²)=|x|

פשטו את $\sqrt{x^{2}}$ ובדקו את התוצאה עבור $x=-5$

(- 5)^{2} = 5 = ∣ - 5∣

זהו אחד הקשרים החשובים בין שתי תבניות חדשות — השורש והערך המוחלט.

שלב 1 — הכלל

השורש הריבועי מחזיר ערך אי-שלילי, לכן

\sqrt{x^{2}} = |x|

דוגמה 3: סימטריה של 1/x ו-1/x²

קבעו את הזוגיות של $f(x)=\frac{1}{x}$ ושל $g(x)=\frac{1}{x^{2}}$

$\frac{1}{( - x ) ^{2}} = \frac{1}{x ^{2}}$ — החזקה הזוגית במכנה הופכת את הפונקציה לזוגית.

שלב 1 — בודקים את $\frac{1}{x}$

f(-x) = \frac{1}{-x} = -(\frac{1}{x}) = -f(x) ←

אי-זוגית

דוגמה 4: התנהגות אסימפטוטית של 1/x

תארו את ההתנהגות של $f(x)=\frac{1}{x}$ כאשר x גדל מאוד וכאשר x מתקרב ל-0 מימין

ככל ש-x גדל, $\frac{1}{x}$ מתקרב לאפס; ככל ש-x מתקרב לאפס (מימין), $\frac{1}{x}$ גדל בלי גבול.

זהו תיאור תהליכי-אינטואיטיבי — אנחנו לא מבצעים פעולות חשבון עם הסימן $\infty$ .

שלב 1 — x גדל מאוד

\frac{1}{10}=0.1, \frac{1}{100}=0.01, \frac{1}{1000}=0.001 ←

מתקרב ל-0 בלי לגעת

בדיקה מהירה

מהו תחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)=√x$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: הפונקציה $f(x)=\frac{1}{x}$ אינה מוגדרת בנקודה $x=0$ .

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה קצרה

פשטו את הביטוי $\sqrt{x^{2}}$ לכל x ממשי. כתבו את התשובה.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: חושבים ש- $√x$ ו- $\frac{1}{x}$ מוגדרות לכל x

$x$ : תחום $x \geq 0$ . $\frac{1}{x}$ : תחום $x \neq = 0$ .

למה זה קורה?

מרגלים לפולינומים שתחום הגדרתם כל הממשיים.

איך מתקנים?

√x

מוגדרת רק עבור

x \ge 0 (

אי אפשר שורש ממשי ממספר שלילי)

. \frac{1}{x}

ו-

\frac{1}{x^{2}}

דורשות

x \ne 0 (

אסור לחלק באפס).

טעות נפוצה: כותבים $\sqrt{x^{2}}=x$ במקום |x|

טעות: $(- 3)^{2} = - 3$

נכון: $(- 3)^{2} = 9 = 3 = ∣ - 3∣$

למה זה קורה?

מבטלים שורש וריבוע 'אוטומטית' בלי לשים לב לסימן.

איך מתקנים?

השורש הריבועי מחזיר תמיד ערך אי-שלילי, לכן

\sqrt{x^{2}}=|x|

. עבור

x=-3: \sqrt{(-3}^{2})=3

, לא

-3

טעות נפוצה: חושבים ש- $\frac{1}{x} '$ מגיעה לאפס' בנקודה כלשהי

$\frac{1}{1000} = 0.001 \neq = 0$ — קרוב לאפס, אך לעולם לא שווה לו.

למה זה קורה?

מבלבלים בין התקרבות אסימפטוטית להתאפסות ממשית.

איך מתקנים?

שבר עם מונה 1 לעולם אינו אפס

. \frac{1}{x}

רק מתקרב לאפס ככל ש-x גדל — ציר ה-x הוא אסימפטוטה, לא ערך שמתקבל.

טעות נפוצה: חושבים ש- $\frac{1}{x}$ עולה כי 'x גדל'

f(1) = 1,\ f(2) = 0.5,\ f(4) = 0.25 — יורד, לא עולה.

למה זה קורה?

מבלבלים בין גדילת המשתנה לגדילת ערך הפונקציה.

איך מתקנים?

קצב השינוי של

\frac{1}{x}

שלילי בכל תחום הגדרתה — היא יורדת על כל ענף. כש-x גדל מ-1 ל-2, הערך יורד מ-1 ל-0.5.

בדיקה מהירה

מהו קצב השינוי של הפונקציה $f(x)=\frac{1}{x}$ בכל תחום הגדרתה?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: ככל ש-x גדל והולך (x→∞), ערכי הפונקציה $f(x)=\frac{1}{x}$ מתקרבים יותר ויותר ל-0 אך לעולם אינם שווים ל-0.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

סיכום

מה למדנו?

ארבע תבניות לא-פולינומיאליות:

פונקציה	תחום	סימטריה	הערה
$∣ x ∣$	כל הממשיים	זוגית	גרף בצורת V, $y \geq 0$
$x$	$x \geq 0$	אף אחת	עולה, דרך (1,1),(4,2)
$\frac{1}{x}$	$x \neq = 0$	אי-זוגית	יורדת בכל ענף, אסימפטוטות לצירים
$\frac{1}{x ^{2}}$	$x \neq = 0$	זוגית	תמיד חיובית, אסימפטוטות לצירים

טיפים:

בדקו תמיד תחום הגדרה: שורש דורש $\geq 0$ , מנה דורשת מכנה $\neq = 0$ .
$x^{2} = ∣ x ∣$ — לא x.
אסימפטוטה = התקרבות בלי נגיעה; $\infty$ אינו מספר.

עכשיו מאגר הפונקציות שלכם הרבה יותר עשיר — ואלה התבניות שעליהן נפעיל טרנספורמציות בשיעור הבא.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על התבניות הלא-פולינומיאליות!

תבניות לא-פולינומיאליות: |x|, √x, 1/x ו-1/x²

תבניות לא-פולינומיאליות: |x|, √x, 1/x ו-1/x²

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: תחום הגדרה ונקודות של √x

מצאו את תחום ההגדרה של f(x)=√xf(x)=√xf(x)=√x ושלוש נקודות על הגרף

דוגמה 2: הזהות √(x²)=|x|

פשטו את x2\sqrt{x^{2}}x2​ ובדקו את התוצאה עבור x=−5x=-5x=−5

דוגמה 3: סימטריה של 1/x ו-1/x²

קבעו את הזוגיות של f(x)=1xf(x)=\frac{1}{x}f(x)=x1​ ושל g(x)=1x2g(x)=\frac{1}{x^{2}}g(x)=x21​

דוגמה 4: התנהגות אסימפטוטית של 1/x

תארו את ההתנהגות של f(x)=1xf(x)=\frac{1}{x}f(x)=x1​ כאשר x גדל מאוד וכאשר x מתקרב ל-0 מימין

בדיקה מהירה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: חושבים ש-√x√x√x ו-1x\frac{1}{x}x1​ מוגדרות לכל x

טעות נפוצה: כותבים x2=x\sqrt{x^{2}}=xx2​=x במקום |x|

טעות נפוצה: חושבים ש-1x′\frac{1}{x} 'x1​′מגיעה לאפס' בנקודה כלשהי

טעות נפוצה: חושבים ש-1x\frac{1}{x}x1​ עולה כי 'x גדל'

בדיקה מהירה

סיכום

תרגול נוסף

מצאו את תחום ההגדרה של $f(x)=√x$ ושלוש נקודות על הגרף

פשטו את $\sqrt{x^{2}}$ ובדקו את התוצאה עבור $x=-5$

קבעו את הזוגיות של $f(x)=\frac{1}{x}$ ושל $g(x)=\frac{1}{x^{2}}$

תארו את ההתנהגות של $f(x)=\frac{1}{x}$ כאשר x גדל מאוד וכאשר x מתקרב ל-0 מימין

טעות נפוצה: חושבים ש- $√x$ ו- $\frac{1}{x}$ מוגדרות לכל x

טעות נפוצה: כותבים $\sqrt{x^{2}}=x$ במקום |x|

טעות נפוצה: חושבים ש- $\frac{1}{x} '$ מגיעה לאפס' בנקודה כלשהי

טעות נפוצה: חושבים ש- $\frac{1}{x}$ עולה כי 'x גדל'