הקשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרת

מבוא

הנגזרת היא פונקציה בפני עצמה, ויש לה גרף משלה. בשיעור זה נלמד לעבור בין שני הגרפים: מגרף הפונקציה f אל גרף הנגזרת f', ובכיוון ההפוך — מגרף הנגזרת אל התנהגות הפונקציה. זהו כלי איכותני רב-עוצמה שמחבר את כל מה שלמדנו ביחידה.

מטרות השיעור

לתרגם עלייה/ירידה של f לסימן של f' (מעל/מתחת לציר)
לזהות שבנקודת קיצון f' = 0 — גרף הנגזרת חוצה את ציר ה-x
לקרוא אחורה: מסימני f' אל עלייה/ירידה והקיצון של f
להכיר את התאמת המשפחות: נגזרת של פרבולה היא ישר; נגזרת של פולינום ממעלה שלישית היא פרבולה

הרעיון המרכזי

מילון התרגום בין הגרפים

לכל נקודה, ערך הנגזרת הוא שיפוע המשיק של f. מכאן:

f עולה ⟷ f' > 0 ⟷ גרף הנגזרת מעל ציר ה-x.
f יורדת ⟷ f' < 0 ⟷ גרף הנגזרת מתחת לציר ה-x.
נקודת קיצון של f ⟷ f' = 0 ⟷ גרף הנגזרת חוצה את ציר ה-x.
- מקסימום: f' עובר מחיובי לשלילי (יורד דרך הציר).
- מינימום: f' עובר משלילי לחיובי (עולה דרך הציר).
ככל שהעלייה/ירידה תלולה יותר, ערך הנגזרת גדול יותר בערכו המוחלט.

התאמת משפחות:

נגזרת של פונקציה לינארית היא פונקציה קבועה (ישר אופקי).
נגזרת של פונקציה ריבועית (פרבולה) היא פונקציה לינארית (ישר).
נגזרת של פולינום ממעלה שלישית היא פונקציה ריבועית (פרבולה).

הערה חשובה: גרף הפונקציה מראה גובה (ערך y), וגרף הנגזרת מראה שיפוע. אלו גדלים שונים. לכן נהוג לצייר את גרף הנגזרת מתחת לגרף הפונקציה עם אותו ציר x, ולא על אותם צירים.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: קטע עולה וקטע יורד

f עולה ב-[0,3] ויורדת ב-[3,6]. כיצד נראה גרף הנגזרת?

חציית גרף הנגזרת את ציר ה-x ב-x=3 מסמנת את המקסימום של f.

שלב 1 — קטע עלייה [0,3]

שיפועים חיוביים ⟸ f' מעל הציר

דוגמה 2: נגזרת של פרבולה היא ישר

מהו סוג גרף הנגזרת של $f(x) = x^{2}$ ?

$f (x) = x^{2} \Rightarrow f^{'} (x) = 2 x$ : השתנות של פונקציה ריבועית היא פונקציה לינארית.

שלב 1 — אוספים שיפועים

f'(0)=0, f'(1)=2, f'(2)=4, f'(3)=6

דוגמה 3: עמק (מינימום)

f יורדת ואז עולה (מינימום אחד). כיצד נראה גרף הנגזרת?

הבדל ממקסימום: שם f' יורד דרך הציר (חיובי→שלילי), וכאן עולה (שלילי→חיובי).

שלב 1 — חלק הירידה

שיפועים שליליים ⟸ f' מתחת לציר

בדיקה מהירה

בקטע שבו גרף הפונקציה f עולה, היכן נמצא גרף הנגזרת f' ביחס לציר ה-x?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

גרף הפונקציה הוא פרבולה (פונקציה ריבועית). איזה סוג גרף הוא גרף הנגזרת שלה?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

גרף הפונקציה יורד תחילה ואז עולה (יש לו נקודת מינימום אחת). כיצד נראה גרף הנגזרת שלו, משמאל לימין?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: קריאה הפוכה — מהנגזרת אל הפונקציה

f' חיובי ל- $x<2$ , אפס ב- $x=2$ , שלילי ל- $x>2$ . מה יש ל-f ב- $x=2$ ?

קריאה הפוכה: סימני הנגזרת מספרים אם f עולה או יורדת, ואיפה הקיצון.

שלב 1 — לפני $x=2$

f' > 0 ⟸ f

עולה

דוגמה 5: נגזרת של פולינום ממעלה שלישית

מהו סוג גרף הנגזרת של $f(x) = x^{3} - 3x$ , וכמה קיצונים יש ל-f?

$f (x) = x^{3} - 3 x \Rightarrow f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3$ : פרבולה עם שני אפסים ⟸ עד שני קיצונים ל-f.

שלב 1 — גוזרים

f'(x) = 3x^{2} - 3

— פרבולה

בדיקה מהירה

נתון שגרף הנגזרת f' חיובי בכל $x < 2$ , שווה 0 ב- $x = 2$ , ושלילי בכל $x > 2 ($ קריאה מגרף הנגזרת אל הפונקציה). מה אפשר להסיק על הפונקציה f ב- $x = 2$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

גרף הנגזרת של פונקציה f הוא הישר $f'(x) = 2x - 4 ($ חוצה את ציר ה-x ב- $x = 2:$ שלילי לפניו, חיובי אחריו). באיזה ערך x נמצאת נקודת הקיצון של f?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

גרף הפונקציה הוא פולינום ממעלה שלישית (לדוגמה $f(x) = x^{3} - 3x)$ . איזה סוג גרף הוא גרף הנגזרת שלו, וכמה נקודות קיצון יכולות להיות לפונקציה כזו?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מערבבים בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרת

בנקודת מקסימום f גבוהה (ערך גדול), אך f' = 0 (שיפוע אפס).

למה זה קורה?

שני הגרפים מצוירים על אותו ציר x, וקל לבלבל ביניהם.

איך מתקנים?

גרף הפונקציה מראה גובה (ערך). גרף הנגזרת מראה שיפוע. שאלו תמיד: 'אני קורא גובה או שיפוע?' מומלץ לצייר את הנגזרת מתחת לפונקציה.

טעות נפוצה: חושבים שפונקציה חיובית ⟷ נגזרת חיובית

f(x)=-x+10 ב-x=3: f(3)=7>0 אך הפונקציה יורדת, ולכן f'<0.

למה זה קורה?

מבלבלים בין סימן ערך הפונקציה לסימן הנגזרת.

איך מתקנים?

סימן הנגזרת נקבע לפי עלייה/ירידה, לא לפי הסימן של y. פונקציה יכולה להיות חיובית ובכל זאת יורדת (נגזרת שלילית).

טעות נפוצה: מצפים שגרף הנגזרת 'ייראה כמו' גרף הפונקציה

$f (x) = x^{2} \Rightarrow f^{'} (x) = 2 x$ (ישר); $f (x) = x^{3} - 3 x \Rightarrow f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3$ (פרבולה).

למה זה קורה?

מניחים שהנגזרת שומרת על אותה צורה.

איך מתקנים?

הנגזרת מורידה את המעלה ב-1: נגזרת של פרבולה היא ישר, ונגזרת של פולינום ממעלה שלישית היא פרבולה.

טעות נפוצה: חושבים שבקיצון הנגזרת לא מוגדרת

בפסגה ובעמק f'=0 — גרף הנגזרת חוצה את ציר ה-x.

למה זה קורה?

מניחים שמשהו 'מיוחד' קורה לנגזרת בקיצון.

איך מתקנים?

בקיצון של פונקציה חלקה הנגזרת מוגדרת היטב ושווה 0 — המשיק אופקי. בגרף הנגזרת זו נקודה על ציר ה-x.

טעות נפוצה: מבלבלים בין מקסימום למינימום בגרף הנגזרת

חיובי ואז שלילי = מקסימום; שלילי ואז חיובי = מינימום.

למה זה קורה?

לא שמים לב לכיוון שבו הנגזרת חוצה את הציר.

איך מתקנים?

מקסימום: f' יורד דרך הציר (חיובי→שלילי). מינימום: f' עולה דרך הציר (שלילי→חיובי). הכיוון קובע.

סיכום

מה למדנו?

מילון התרגום בין הגרפים:

f עולה ⟷ f' > 0 (מעל הציר)
f יורדת ⟷ f' < 0 (מתחת לציר)
קיצון ⟷ f' = 0 (חוצה את הציר)
מקסימום: f' חיובי→שלילי; מינימום: f' שלילי→חיובי

קריאה הפוכה: מסימני f' מסיקים על עלייה/ירידה והקיצון של f.

התאמת משפחות: נגזרת של ישר = קבוע; נגזרת של פרבולה = ישר; נגזרת של פולינום ממעלה שלישית = פרבולה.

טיפים:

אל תערבבו גובה (פונקציה) עם שיפוע (נגזרת).
סימן הנגזרת תלוי בעלייה/ירידה — לא בסימן של y.
מספר הקיצונים = מספר האפסים של f' עם שינוי סימן.

בכך השלמנו את חקירת הפונקציות הפולינומיאליות — מהנגזרת ככלי, דרך החקירה המלאה, ועד הקשר הדו-כיווני בין הפונקציה לנגזרתה.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על המעבר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרת ובחזרה!

הקשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרת

הקשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרת

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: קטע עולה וקטע יורד

f עולה ב-[0,3] ויורדת ב-[3,6]. כיצד נראה גרף הנגזרת?

דוגמה 2: נגזרת של פרבולה היא ישר

מהו סוג גרף הנגזרת של f(x)=x2f(x) = x^{2}f(x)=x2?

דוגמה 3: עמק (מינימום)

f יורדת ואז עולה (מינימום אחד). כיצד נראה גרף הנגזרת?

בדיקה מהירה

דוגמה 4: קריאה הפוכה — מהנגזרת אל הפונקציה

f' חיובי ל-x<2x<2x<2, אפס ב-x=2x=2x=2, שלילי ל-x>2x>2x>2. מה יש ל-f ב-x=2x=2x=2?

דוגמה 5: נגזרת של פולינום ממעלה שלישית

מהו סוג גרף הנגזרת של f(x)=x3−3xf(x) = x^{3} - 3xf(x)=x3−3x, וכמה קיצונים יש ל-f?

בדיקה מהירה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מערבבים בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרת

טעות נפוצה: חושבים שפונקציה חיובית ⟷ נגזרת חיובית

טעות נפוצה: מצפים שגרף הנגזרת 'ייראה כמו' גרף הפונקציה

טעות נפוצה: חושבים שבקיצון הנגזרת לא מוגדרת

טעות נפוצה: מבלבלים בין מקסימום למינימום בגרף הנגזרת

סיכום

תרגול נוסף

מהו סוג גרף הנגזרת של $f(x) = x^{2}$ ?

f' חיובי ל- $x<2$ , אפס ב- $x=2$ , שלילי ל- $x>2$ . מה יש ל-f ב- $x=2$ ?

מהו סוג גרף הנגזרת של $f(x) = x^{3} - 3x$ , וכמה קיצונים יש ל-f?