ל

תחומי עלייה וירידה ונקודות קיצון

30%
📖שיעור
50 דקות

תחומי עלייה וירידה ונקודות קיצון

בשיעור זה נשתמש בנגזרת ככלי לניתוח גרף הפונקציה: נקבע תחומי עלייה וירידה לפי הסימן של f'(x), נמצא נקודות קיצון מקומיות במבחן הנגזרת הראשונה, ונחקור ערכי קיצון בתחום סגור תוך בדיקת הקצוות והבחנה בין קיצון מקומי לקיצון מוחלט.

תחומי עלייה וירידה ונקודות קיצון

מבוא

הכרנו את הנגזרת f'(x) כשיפוע המשיק לגרף הפונקציה בכל נקודה. כעת נשתמש בה ככלי לניתוח הגרף: רק מהסימן של הנגזרת נוכל לדעת היכן הפונקציה עולה, היכן היא יורדת, והיכן יש לה פסגות ועמקים. זהו הצעד הראשון בחקירת פונקציות.

מטרות השיעור

  • לקבוע תחומי עלייה וירידה לפי הסימן של f'(x)
  • למצוא נקודות קיצון מקומי באמצעות מבחן הנגזרת הראשונה (שינוי סימן)
  • להבין שתנאי הכרחי לקיצון הוא f'(x)=0, אך הוא אינו מספיק
  • למצוא ערכי קיצון של פונקציה בתחום סגור תוך בדיקת קצוות התחום
  • להבחין בין קיצון מקומי לקיצון מוחלט

הרעיון המרכזי

סימן הנגזרת קובע את מגמת הפונקציה

לכל נקודה הנגזרת היא שיפוע המשיק, ולכן:

  • f'(x) > 0 בקטע ⟸ הפונקציה עולה בקטע.
  • f'(x) < 0 בקטע ⟸ הפונקציה יורדת בקטע.
  • f'(x) = 0 בנקודה ⟸ המשיק אופקי — נקודה חשודה לקיצון.

מבחן הנגזרת הראשונה: מצא את הנקודות שבהן f'(x)=0, וסמן אותן על ציר המספרים. בכל נקודה בדוק את שינוי הסימן של הנגזרת:

  • חיובי ⟶ שלילי (עולה ואז יורדת): נקודת מקסימום מקומי.
  • שלילי ⟶ חיובי (יורדת ואז עולה): נקודת מינימום מקומי.
  • אין שינוי סימן: אין קיצון (למשל פיתול אופקי).

בתחום סגור [a,b]: ערכי הקיצון המוחלטים מתקבלים או בנקודות הפנימיות שבהן f'(x)=0, או בקצוות x=a ו-x=b. לכן מחשבים את f בכל הנקודות הללו ובוחרים את הגדול והקטן ביותר.

הבחנה חשובה: קיצון מקומי הוא הערך הגדול/קטן ביותר בסביבת הנקודה בלבד. קיצון מוחלט הוא הערך הגדול/קטן ביותר על פני כל התחום הנחקר. מקסימום מקומי אינו בהכרח המקסימום המוחלט.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: תחומי עלייה וירידה של פרבולה

קבעו היכן f(x)=x2−4x+3f(x) = x^{2} - 4x + 3 עולה והיכן יורדת

f'(x) = 2x - 4, והאפס שלה ב-x=2 מפריד בין תחום הירידה לתחום העלייה.

1

שלב 1 — גוזרים

f′(x)=2x−4f'(x) = 2x - 4

דוגמה 2: מבחן הנגזרת הראשונה לפונקציה ממעלה שלישית

מצאו את נקודות הקיצון של f(x)=x3−3xf(x) = x^{3} - 3x

ו-f(1) = 1 - 3 = -2.

1

שלב 1 — גוזרים

f′(x)=3x2−3f'(x) = 3x^{2} - 3

דוגמה 3: אפס של הנגזרת שאינו קיצון

האם ל-f(x)=x3f(x) = x^{3} יש נקודת קיצון?

f'(0)=0 הוא תנאי הכרחי בלבד. בלי שינוי סימן — אין קיצון.

1

שלב 1 — גוזרים

f′(x)=3x2f'(x) = 3x^{2}

בדיקה מהירה

בדיקה מהירה

בקטע מסוים מתקיים f′(x)>0f'(x) > 0 לכל x בקטע. מה אפשר להסיק על הפונקציה f בקטע זה?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

נתונה f(x)=x2−4x+3f(x) = x^{2} - 4x + 3, ולכן f′(x)=2x−4f'(x) = 2x - 4. באיזה תחום הפונקציה יורדת?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

נתונה f(x)=x3−3x2f(x) = x^{3} - 3x^{2}, ולכן f′(x)=3x2−6xf'(x) = 3x^{2} - 6x. באיזה ערך x נמצאת נקודת המקסימום המקומי של הפונקציה?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: קיצון בתחום סגור

מצאו את המינימום והמקסימום של f(x)=x2−4x+1f(x) = x^{2} - 4x + 1 בתחום [0, 3]

בתחום סגור חובה לבדוק גם את הקצוות — כאן המקסימום מתקבל דווקא בקצה x=0.

1

שלב 1 — גוזרים ומאפסים

f′(x)=2x−4=0⟸x=2(f'(x) = 2x - 4 = 0 ⟸ x = 2 (בתוך התחום)

דוגמה 5: כשהמקסימום המוחלט הוא בקצה

מצאו את המקסימום המוחלט של f(x)=x3−3xf(x) = x^{3} - 3x בתחום [0, 3]

שימו לב: x=-1 מחוץ לתחום ולכן נפסל, והנקודה הפנימית x=1 היא דווקא מינימום. המקסימום המוחלט בקצה.

1

שלב 1 — נקודות פנימיות

f′(x)=3x2−3=0⟸x=±1f'(x) = 3x^{2} - 3 = 0 ⟸ x = \pm 1, אך רק x=1x = 1 בתחום

בדיקה מהירה

תשובה מספרית

נתונה f(x)=x3−3xf(x) = x^{3} - 3x, ולכן f′(x)=3x2−3f'(x) = 3x^{2} - 3. מהו ערך המקסימום המקומי של הפונקציה (ערך ה-y בנקודת המקסימום)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

חוקרים את f(x)=x2−4x+1f(x) = x^{2} - 4x + 1 בתחום הסגור [0, 3]. מהו הערך המינימלי (המינימום המוחלט) של הפונקציה בתחום זה?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

חוקרים את f(x)=x3−3xf(x) = x^{3} - 3x בתחום הסגור [0, 3]. היכן מתקבל המקסימום המוחלט בתחום, ומהו ערכו?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: שיוך סימן הנגזרת הפוך

f'(x) > 0 פירושו שהפונקציה עולה, לא יורדת.

למה זה קורה?

תלמידים מבלבלים ומקשרים נגזרת חיובית עם ירידה.

איך מתקנים?

זכרו: f′(x)>0⟸f'(x) > 0 ⟸ עלייה (שיפוע המשיק כלפי מעלה);f′(x)<0⟸; f'(x) < 0 ⟸ ירידה. שיפוע חיובי = עלייה.

טעות נפוצה: חושבים שכל אפס של הנגזרת הוא קיצון

ב- מתקיים f'(0)=0, אך אין קיצון — הנגזרת חיובית משני הצדדים.

למה זה קורה?

מזהים f′(x)=0f'(x)=0 ומיד מכריזים על קיצון בלי לבדוק שינוי סימן.

איך מתקנים?

f′(x)=0f'(x)=0 הוא תנאי הכרחי בלבד. בדקו את סימן הנגזרת משני הצדדים. בלי שינוי סימן — אין קיצון.

טעות נפוצה: שוכחים לבדוק את הקצוות בתחום סגור

עבור ב-[0,3] המקסימום מתקבל בקצה x=0, לא בנקודה פנימית.

למה זה קורה?

מחשבים רק את הנקודות הפנימיות שבהן f′(x)=0f'(x)=0.

איך מתקנים?

בתחום סגור [a,b] חשבו את f בנקודות הפנימיות ובקצוות x=ax=a ו-x=bx=b, והשוו את כל הערכים.

טעות נפוצה: מבלבלים בין קיצון מקומי לקיצון מוחלט

ב- בתחום [0,3] אין אפילו מקסימום מקומי פנימי, והמקסימום המוחלט הוא בקצה.

למה זה קורה?

מניחים שמקסימום מקומי הוא תמיד הערך הגדול ביותר.

איך מתקנים?

קיצון מקומי הוא הערך הגדול/קטן ביותר בסביבת הנקודה בלבד. קיצון מוחלט הוא על פני כל התחום. השוו תמיד גם לקצוות.

טעות נפוצה: גוזרים נכון אך פותרים את האי-שוויון לא נכון

לתחום ירידה של f'(x)=2x-4 פותרים 2x-4<0, כלומר x<2.

למה זה קורה?

טועים בכיוון אי-השוויון כשמחפשים תחום עלייה/ירידה.

איך מתקנים?

לעלייה פתרו f′(x)>0f'(x) > 0; לירידה פתרו f′(x)<0f'(x) < 0. שימו לב לכיוון הנכון של הסימן.

סיכום

מה למדנו?

הנגזרת ככלי לניתוח הגרף:

  • f'(x) > 0 ⟸ עלייה; f'(x) < 0 ⟸ ירידה; f'(x) = 0 ⟸ נקודה חשודה לקיצון.

מבחן הנגזרת הראשונה (שינוי סימן):

  • חיובי ⟶ שלילי = מקסימום מקומי.
  • שלילי ⟶ חיובי = מינימום מקומי.
  • אין שינוי = אין קיצון.

תחום סגור [a,b]: השוו את f בנקודות הפנימיות (f'=0) ובקצוות, ובחרו את הגדול והקטן ביותר.

מקומי מול מוחלט: מקומי = בסביבה; מוחלט = על פני כל התחום.

טיפים:

  • תמיד בדקו שינוי סימן — אל תסתפקו ב-f'(x)=0.
  • בתחום סגור אל תשכחו את הקצוות.

בכך הנחנו את הבסיס לחקירה מלאה של פונקציות פולינומיאליות.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על קביעת תחומי עלייה וירידה, מציאת קיצון מקומי וחקירה בתחום סגור!

חזרה ליחידה: חקירת פונקציות פולינומיאליות
תרגול