משוואת המשיק לגרף בנקודה

מבוא

ראינו שהנגזרת $f^{'} (x_{0})$ היא שיפוע המשיק לגרף בנקודה $x_{0}$ . כעת נלמד למצוא את משוואת המשיק עצמו — הישר ה'הכי קרוב' לעקום בסביבת הנקודה. כל מה שצריך הוא שיפוע ונקודה אחת שעל הישר, ואת שניהם אנו יודעים לחשב.

מטרות השיעור

להבין שהמשיק הוא ישר שעובר דרך נקודת ההשקה $(x_{0}, f (x_{0}))$ עם שיפוע $f^{'} (x_{0})$
לחשב את שיפוע המשיק כערך הנגזרת בנקודה: $m = f^{'} (x_{0})$
לחשב את שיעור ה-y של נקודת ההשקה: $y_{0} = f (x_{0})$
להציב בנוסחת המשיק $y - y_{0} = f^{'} (x_{0}) (x - x_{0})$ ולפתח לצורה y = mx + b

הרעיון המרכזי

נוסחת המשיק

המשיק לגרף f בנקודה שבה $x = x_{0}$ נתון על ידי:

y - y_{0} = f^{'} (x_{0}) (x - x_{0})

כאשר:

$x_{0}$ — שיעור ה-x של נקודת ההשקה (נתון).
$y_{0} = f (x_{0})$ — שיעור ה-y של נקודת ההשקה (מחשבים בהצבה ב-f).
$f^{'} (x_{0})$ — שיפוע המשיק (מחשבים בהצבה בנגזרת).

שלושה צעדים קבועים:

גוזרים ומחשבים את השיפוע $m = f^{'} (x_{0})$ .
מחשבים את נקודת ההשקה $y_{0} = f (x_{0})$ .
מציבים בנוסחה ופותחים סוגריים כדי לקבל y = mx + b.

שימו לב: השיפוע מגיע מ-f', ושיעור ה-y מגיע מ-f. אלו שני חישובים נפרדים באותה נקודה $x_{0}$ . אם השיפוע $f^{'} (x_{0}) = 0$ המשיק אופקי (ישר מהצורה $y = y_{0}$ ).

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: משיק לפרבולה

מצאו את משוואת המשיק ל- $f(x) = x^{2}$ בנקודה $x_{0} = 3$

y - 9 = 6 (x - 3) \Rightarrow y = 6 x - 9

שלב 1 — שיפוע

f'(x) = 2x ⟸ m = f'(3) = 6

דוגמה 2: משיק אופקי בקודקוד

מצאו את המשיק ל- $f(x) = x^{2} + 1$ בנקודה $x_{0} = 0$

שיפוע 0 ⟸ המשיק אופקי. זה קורה בקודקוד הפרבולה (נקודת קיצון).

שלב 1 — שיפוע

f'(x) = 2x ⟸ m = f'(0) = 0 (

משיק אופקי)

דוגמה 3: משיק עם שיפוע שלילי

מצאו את המשיק ל- $f(x) = x^{3} - 3x^{2}$ בנקודה $x_{0} = 1$

שימו לב לסימנים: $y_{0} = - 2$ , ולכן y - (-2) = y + 2 באגף שמאל.

שלב 1 — שיפוע

f'(x) = 3x^{2} - 6x ⟸ m = f'(1) = 3 - 6 = -3

בדיקה מהירה

מהו שיפוע המשיק לגרף הפונקציה f בנקודה שבה $x = x_{0}$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: המשיק לגרף $f(x) = x^{2} + 1$ בנקודה $x_{0} = 0$ הוא הישר האופקי $y = 1$ .

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

מצאו את משוואת המשיק לגרף $f(x) = x^{2}$ בנקודה שבה $x_{0} = 3$ .

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: משיק לפונקציה ממעלה שלישית

מצאו את המשיק ל- $f(x) = x^{3} - 3x$ בנקודה $x_{0} = 2$

טעות נפוצה: לעצור ב-y = 9x - 18 ולשכוח להוסיף את $y_{0}$ בהעברת אגפים.

שלב 1 — שיפוע

f'(x) = 3x^{2} - 3 ⟸ m = f'(2) = 12 - 3 = 9

דוגמה 5: מחפשים נקודה לפי שיפוע נתון

באיזה $x>0$ שיפוע המשיק ל- $f(x) = x^{3} - 3x$ שווה 9?

כאן השיפוע נתון והנקודה היא הנעלם — פותרים את המשוואה f'(x) = 9.

שלב 1 — כותבים משוואה

f'(x) = 9

, כלומר

3x^{2} - 3 = 9

בדיקה מהירה

תשובה קצרה

מצאו את משוואת המשיק לגרף $f(x) = 2x^{2} - 3x + 1$ בנקודה שבה $x_{0} = 2$ . כתבו את המשוואה בצורה $y = mx + b ($ לדוגמה: $y = 5x - 7)$ .

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

מצאו את משוואת המשיק לגרף $f(x) = x^{3} - 3x$ בנקודה שבה $x_{0} = 2$ .

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

נתונה $f(x) = x^{3} - 3x$ , ולכן $f'(x) = 3x^{2} - 3$ . באיזה ערך x חיובי שיפוע המשיק לגרף שווה 9?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: שמים את ערך הפונקציה כשיפוע

עבור $f (x) = x^{2}$ ב- $x_{0} = 3$ : השיפוע הוא f'(3)=6, לא f(3)=9.

למה זה קורה?

מבלבלים בין

f(x_{0})

ל-

f'(x_{0})

איך מתקנים?

השיפוע הוא

f'(x_{0}) (

מהנגזרת). ערך הפונקציה

f(x_{0})

הוא שיעור ה-y של נקודת ההשקה בלבד.

טעות נפוצה: שוכחים לחשב את $y_{0}$

בנוסחה $y - y_{0} = m (x - x_{0})$ חייבים את $y_{0} = f (x_{0})$ .

למה זה קורה?

מציבים רק

x_{0}

ומדלגים על נקודת ההשקה.

איך מתקנים?

חשבו תמיד

y_{0} = f(x_{0})

בהצבה בפונקציה המקורית. בלי

y_{0}

אי אפשר לכתוב את הנוסחה.

טעות נפוצה: טועים בסימנים בפתיחת הנוסחה

$y - (- 2) = - 3 (x - 1) \Rightarrow y + 2 = - 3 x + 3 \Rightarrow y = - 3 x + 1$ .

למה זה קורה?

קושי בהעברת אגפים, בעיקר כש-

x_{0}

או

y_{0}

שליליים.

איך מתקנים?

פתחו בזהירות:

y - y_{0} = m \cdot x - m \cdot x_{0}

, ואז העבירו את

y_{0}

ימינה. כש-

y_{0}

שלילי

, y - (-2) = y + 2

טעות נפוצה: חושבים שהשיפוע קבוע בכל הגרף

ל- $f (x) = x^{2}$ : השיפוע ב-x=3 הוא 6, אך ב-x=-1 הוא $2 \cdot (- 1) = - 2$ .

למה זה קורה?

מערבבים בין משיק לפונקציה לינארית, שבה השיפוע קבוע.

איך מתקנים?

עבור עקום, השיפוע משתנה מנקודה לנקודה ושווה ל-

f'(x_{0})

בכל נקודה. חשבו אותו מחדש בכל

x_{0}

טעות נפוצה: מתבלבלים בין $x_{0}$ למשתנה x

בנוסחה y - 9 = 6(x - 3): ה-3 הוא $x_{0}$ , וה-x נשאר משתנה.

למה זה קורה?

מציבים את

x_{0}

גם במקום שבו צריך להשאיר את x החופשי.

איך מתקנים?

x_{0}

הוא מספר נתון (נקודת ההשקה). x נשאר משתנה — המשוואה הסופית מתארת את הישר לכל x.

סיכום

מה למדנו?

נוסחת המשיק: $y - y_{0} = f^{'} (x_{0}) (x - x_{0})$ .

שלושה צעדים:

שיפוע: $m = f^{'} (x_{0})$ (מהנגזרת).
נקודת השקה: $y_{0} = f (x_{0})$ (מהפונקציה).
הצבה ופתיחה לצורה y = mx + b.

מקרים מיוחדים:

$f^{'} (x_{0}) = 0$ ⟸ משיק אופקי $y = y_{0}$ (קיצון).
שיפוע נתון ⟸ פותרים f'(x) = m כדי למצוא את הנקודה.

טיפים:

אל תבלבלו בין $f (x_{0})$ (שיעור y) ל- $f^{'} (x_{0})$ (שיפוע).
שימו לב לסימנים בהעברת אגפים.

המשיק הוא כלי מרכזי בחקירת פונקציות, ונשתמש בו בשיעורים הבאים.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על מציאת משוואות משיקים לגרפים של פונקציות פולינומיאליות!

משוואת המשיק לגרף בנקודה

משוואת המשיק לגרף בנקודה

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: משיק לפרבולה

מצאו את משוואת המשיק ל-f(x)=x2f(x) = x^{2}f(x)=x2 בנקודה x0=3x_{0} = 3x0​=3

דוגמה 2: משיק אופקי בקודקוד

מצאו את המשיק ל-f(x)=x2+1f(x) = x^{2} + 1f(x)=x2+1 בנקודה x0=0x_{0} = 0x0​=0

דוגמה 3: משיק עם שיפוע שלילי

מצאו את המשיק ל-f(x)=x3−3x2f(x) = x^{3} - 3x^{2}f(x)=x3−3x2 בנקודה x0=1x_{0} = 1x0​=1

בדיקה מהירה

דוגמה 4: משיק לפונקציה ממעלה שלישית

מצאו את המשיק ל-f(x)=x3−3xf(x) = x^{3} - 3xf(x)=x3−3x בנקודה x0=2x_{0} = 2x0​=2

דוגמה 5: מחפשים נקודה לפי שיפוע נתון

באיזה x>0x>0x>0 שיפוע המשיק ל-f(x)=x3−3xf(x) = x^{3} - 3xf(x)=x3−3x שווה 9?

בדיקה מהירה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: שמים את ערך הפונקציה כשיפוע

טעות נפוצה: שוכחים לחשב את y0y_{0}y0​

טעות נפוצה: טועים בסימנים בפתיחת הנוסחה

טעות נפוצה: חושבים שהשיפוע קבוע בכל הגרף

טעות נפוצה: מתבלבלים בין x0x_{0}x0​ למשתנה x

סיכום

תרגול נוסף

מצאו את משוואת המשיק ל- $f(x) = x^{2}$ בנקודה $x_{0} = 3$

מצאו את המשיק ל- $f(x) = x^{2} + 1$ בנקודה $x_{0} = 0$

מצאו את המשיק ל- $f(x) = x^{3} - 3x^{2}$ בנקודה $x_{0} = 1$

מצאו את המשיק ל- $f(x) = x^{3} - 3x$ בנקודה $x_{0} = 2$

באיזה $x>0$ שיפוע המשיק ל- $f(x) = x^{3} - 3x$ שווה 9?

טעות נפוצה: שוכחים לחשב את $y_{0}$

טעות נפוצה: מתבלבלים בין $x_{0}$ למשתנה x