הרכבת פונקציות ופונקציה הפוכה

מבוא

בשיעור זה נכיר שתי דרכים חזקות לשלב פונקציות. הראשונה היא הרכבה — הפעלת פונקציה אחת על תוצאת השנייה, כמו שרשרת של פעולות. כך נוצרות פונקציות מוכרות: ערך מוחלט של פונקציה, ריבוע של פונקציה, או שורש של פונקציה. הדרך השנייה היא ההיפוך — מציאת הפונקציה ההפוכה, ש"מבטלת" את פעולת הפונקציה ומחזירה אותנו לקלט המקורי. נראה מתי הפוכה בכלל קיימת, נגדיר את $x$ כהפוך של $x^{2}$ ואת השורש השלישי כהפוך של $x^{3}$ , ונבין את הזהות החשובה $x^{2} = ∣ x ∣$ .

מטרות השיעור

להרכיב פונקציות ולחשב $(f \circ g) (x) = f (g (x))$
להבין שהרכבה אינה חילופית: בדרך כלל $(f \circ g) (x) \neq = (g \circ f) (x)$
לקבוע מתי קיימת פונקציה הפוכה (רק לפונקציה חד-חד-ערכית) ולמצוא הפוכה של פונקציה לינארית
להכיר את $x$ כהפוך של $x^{2}$ (עבור $x \geq 0$ ) ואת השורש השלישי כהפוך של $x^{3}$
להבין מדוע $x^{2} = ∣ x ∣$ , ולזכור את הסימטריה של גרפים הפוכים ביחס לישר y = x

הרעיון המרכזי

הרכבה ופונקציה הפוכה

הרכבת פונקציות: $(f \circ g) (x) = f (g (x))$

מחשבים קודם את הפונקציה הפנימית g(x), ואז מציבים את התוצאה בפונקציה החיצונית f. דוגמאות: ערך מוחלט של פונקציה |f(x)|, ריבוע של פונקציה $(f (x))^{2}$ , שורש של פונקציה $f (x)$ .

פונקציה הפוכה: הפונקציה $f^{- 1}$ "מבטלת" את f: $f^{- 1} (f (x)) = x$

הפוכה קיימת רק אם f חד-חד-ערכית (כל ערך מתקבל מקלט יחיד). גרף f וגרף $f^{- 1}$ סימטריים ביחס לישר y = x.

שורשים כפונקציות הפוכות

$x$ היא ההפוכה של $x^{2}$ בתחום $x \geq 0$ (אפשר לסמן גם $x^{1/2}$ ).
השורש השלישי הוא ההפוכה של $x^{3}$ לכל x (אפשר לסמן $x^{1/3}$ ).
זהות חשובה: $x^{2} = ∣ x ∣$ — סימן השורש מחזיר תמיד ערך אי-שלילי.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: חישוב הרכבה בנקודה

נתון $f(x) = x^{2}$ ו- $g(x) = x + 1$ . חשבו $(f∘g)(2)$

(f \circ g) (2) = f (g (2)) = f (3) = 9

שלב 1 — הפונקציה הפנימית

g(2) = 2 + 1 = 3

דוגמה 2: הרכבה אינה חילופית

נתון $f(x) = x + 3$ ו- $g(x) = 2x$ . השוו בין $(f∘g)(5)$ ל- $(g∘f)(5)$

(f \circ g) (5) = 13 \neq = 16 = (g \circ f) (5)

הרכבה היא פעולה שאינה חילופית: חשוב לשים לב מי הפנימית ומי החיצונית.

שלב 1 — $(f∘g)(5)$

g(5) = 10

, ואז

f(10) = 13

דוגמה 3: מציאת פונקציה הפוכה

מצאו את הפונקציה ההפוכה של $f(x) = 2x + 6$

f^{- 1} (x) = \frac{x - 6}{2} = \frac{x}{2} - 3

לפונקציה לינארית (לא קבועה) תמיד יש הפוכה, כי היא חד-חד-ערכית.

שלב 1 — כותבים y במקום f(x)

y = 2x + 6

דוגמה 4: השורש כהפוך של ריבוע — והזהות √(x²)=|x|

חשבו $\sqrt{(-3}^{2})$ והסבירו מדוע $\sqrt{x^{2}} = |x|$

(- 3)^{2} = 9 = 3 = ∣ - 3∣

לכן הכלל הנכון הוא $x^{2} = ∣ x ∣$ ולא $x^{2} = x$ . השורש הריבועי הוא ההפוכה של $x^{2}$ דווקא בתחום $x \geq 0$ .

שלב 1 — מחשבים את הפנימי

(-3)^{2} = 9

בדיקה מהירה

תשובה מספרית

נתון $f(x) = x^{2}$ ו- $g(x) = x + 1$ . חשבו את $(f∘g)(2)$ .

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: לכל מספר ממשי x מתקיים $\sqrt{x^{2}} = |x|$ .

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 5: הרכבת שורש על פולינום

נתון $f(x) = √x$ ו- $g(x) = x^{2} + 9$ . חשבו $(f∘g)(4)$

(f \circ g) (4) = g (4) = 25 = 5

זו דוגמה ל"שורש של פונקציה" — הרכבה נפוצה מאוד.

שלב 1 — הפנימית

g(4) = 16 + 9 = 25

דוגמה 6: מתי הפוכה קיימת?

האם ל- $f(x) = x^{2} ($ על כל הממשיים) יש פונקציה הפוכה?

f(2) = f(-2) = 4 ← לא חד-חד-ערכית.

לעומת זאת $x^{3}$ כן חד-חד-ערכית על כל הממשיים, ולכן הפוכתה (השורש השלישי) מוגדרת לכל x.

שלב 1 — בודקים חד-חד-ערכיות

f(2) = 4

וגם

f(-2) = 4

— שני קלטים, אותו פלט

בדיקה מהירה

תשובה קצרה

נתונה הפונקציה $f(x) = 2x + 6$ . מצאו את הפונקציה ההפוכה $f^{-1}(x)$ . כתבו את הביטוי.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

מדוע מגדירים את $√x$ כפונקציה ההפוכה של $x^{2}$ רק עבור $x \ge 0$ , ולא על כל הממשיים?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: חושבים שהרכבה חילופית

עבור f(x) = x+3, g(x) = 2x:

$(f \circ g) (5) = 13$ אבל $(g \circ f) (5) = 16$ .

למה זה קורה?

תלמידים מניחים ש-(f∘g) ו-(g∘f) נותנות אותו דבר, כמו בחיבור או כפל.

איך מתקנים?

הרכבה אינה חילופית! בדקו תמיד מי הפונקציה הפנימית. לרוב

(f∘g)(x) \ne (g∘f)(x)

טעות נפוצה: כותבים $\sqrt{x^{2}} = x$ במקום |x|

טעות: $(- 3)^{2} = - 3$

נכון: $(- 3)^{2} = 9 = 3 = ∣ - 3∣$

למה זה קורה?

שוכחים שערכי שורש ריבועי הם תמיד אי-שליליים.

איך מתקנים?

\sqrt{x^{2}} = |x|

. עבור x שלילי

, \sqrt{x^{2}}

נותן את הערך החיובי. בדקו עם מספר שלילי.

טעות נפוצה: חושבים שלכל פונקציה יש הפוכה

$x^{2}$ אינה הפיכה על כל הממשיים (כי $2^{2} = (- 2)^{2}$ ), אבל הפיכה בתחום $x \geq 0$ .

למה זה קורה?

מניחים שאפשר תמיד 'להפוך' את הפעולה.

איך מתקנים?

הפוכה קיימת רק לפונקציה חד-חד-ערכית. אם שני קלטים שונים נותנים אותו פלט (כמו ב-

x^{2})

, אין הפוכה — אלא אם מצמצמים את התחום.

טעות נפוצה: מבלבלים בין סדר השלבים בהרכבה

$(f \circ g) (x) = f (ראשון g (x))$ — g בפנים, f בחוץ.

למה זה קורה?

לא ברור איזו פונקציה מחשבים קודם.

איך מתקנים?

ב-(f∘g)(x) הפונקציה ה'קרובה ל-x', כלומר g, פועלת ראשונה. f פועלת על התוצאה.

סיכום

מה למדנו?

הרכבת פונקציות: $(f \circ g) (x) = f (g (x))$ — פנימית קודם, חיצונית אחר כך. אינה חילופית.

פונקציה הפוכה:

קיימת רק לפונקציה חד-חד-ערכית.
מוצאים אותה על ידי בידוד x מתוך y = f(x) והחלפת שמות.
גרף f וגרף $f^{- 1}$ סימטריים ביחס לישר y = x.

שורשים כהפוכים:

$x$ הפוך ל- $x^{2}$ (עבור $x \geq 0$ ).
השורש השלישי הפוך ל- $x^{3}$ (לכל x).
$x^{2} = ∣ x ∣$ .

טיפים:

בהרכבה — שימו לב מי הפנימית ומי החיצונית.
בדקו הפוכה על ידי הצבה: $f (f^{- 1} (x))$ צריך לתת x.
אל תשכחו את הערך המוחלט בזהות השורש.

כעת אתם מוכנים לחקירה איכותנית של פולינומים!

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על הרכבה ופונקציה הפוכה!

הרכבת פונקציות ופונקציה הפוכה

הרכבת פונקציות ופונקציה הפוכה

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: חישוב הרכבה בנקודה

נתון f(x)=x2f(x) = x^{2}f(x)=x2 ו-g(x)=x+1g(x) = x + 1g(x)=x+1. חשבו (f∘g)(2)(f∘g)(2)(f∘g)(2)

דוגמה 2: הרכבה אינה חילופית

נתון f(x)=x+3f(x) = x + 3f(x)=x+3 ו-g(x)=2xg(x) = 2xg(x)=2x. השוו בין (f∘g)(5)(f∘g)(5)(f∘g)(5) ל-(g∘f)(5)(g∘f)(5)(g∘f)(5)

דוגמה 3: מציאת פונקציה הפוכה

מצאו את הפונקציה ההפוכה של f(x)=2x+6f(x) = 2x + 6f(x)=2x+6

דוגמה 4: השורש כהפוך של ריבוע — והזהות √(x²)=|x|

חשבו (−32)\sqrt{(-3}^{2})(−3​2) והסבירו מדוע x2=∣x∣\sqrt{x^{2}} = |x|x2​=∣x∣

בדיקה מהירה

דוגמה 5: הרכבת שורש על פולינום

נתון f(x)=√xf(x) = √xf(x)=√x ו-g(x)=x2+9g(x) = x^{2} + 9g(x)=x2+9. חשבו (f∘g)(4)(f∘g)(4)(f∘g)(4)

דוגמה 6: מתי הפוכה קיימת?

האם ל-f(x)=x2(f(x) = x^{2} (f(x)=x2(על כל הממשיים) יש פונקציה הפוכה?

בדיקה מהירה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: חושבים שהרכבה חילופית

טעות נפוצה: כותבים x2=x\sqrt{x^{2}} = xx2​=x במקום |x|

טעות נפוצה: חושבים שלכל פונקציה יש הפוכה

טעות נפוצה: מבלבלים בין סדר השלבים בהרכבה

סיכום

תרגול נוסף

נתון $f(x) = x^{2}$ ו- $g(x) = x + 1$ . חשבו $(f∘g)(2)$

נתון $f(x) = x + 3$ ו- $g(x) = 2x$ . השוו בין $(f∘g)(5)$ ל- $(g∘f)(5)$

מצאו את הפונקציה ההפוכה של $f(x) = 2x + 6$

חשבו $\sqrt{(-3}^{2})$ והסבירו מדוע $\sqrt{x^{2}} = |x|$

נתון $f(x) = √x$ ו- $g(x) = x^{2} + 9$ . חשבו $(f∘g)(4)$

האם ל- $f(x) = x^{2} ($ על כל הממשיים) יש פונקציה הפוכה?

טעות נפוצה: כותבים $\sqrt{x^{2}} = x$ במקום |x|