פעולות על פונקציות והשפעתן על הגרף

מבוא

עד כה הכרתם פונקציות בודדות — קווית, ריבועית ועוד. אבל בדיוק כפי שאפשר לחבר, לחסר, להכפיל ולחלק מספרים, אפשר לעשות זאת גם לפונקציות. התוצאה היא פונקציה חדשה, שתחום ההגדרה והגרף שלה נקבעים מתוך הפונקציות המקוריות. הרחבת מאגר הפעולות הזו היא צעד מרכזי בבניית "חוש לפונקציות": היא מאפשרת לבנות פונקציות מורכבות מתוך אבני בניין פשוטות, ולנוע בחופשיות בין הביטוי האלגברי לבין הגרף. בשיעור זה נלמד את ארבע הפעולות החשבוניות על פונקציות, ולצידן שתי טרנספורמציות גרפיות חשובות: שיקוף לציר ה-x ושיקוף לציר ה-y.

מטרות השיעור

לחשב את הסכום, ההפרש, המכפלה והמנה של שתי פונקציות נקודה-נקודה
לקבוע את תחום ההגדרה של הפונקציה המתקבלת, ובמיוחד להוציא מהמנה את אפסי המכנה
לזהות כי g(x) = -f(x) הוא שיקוף הגרף ביחס לציר ה-x
לזהות כי g(x) = f(-x) הוא שיקוף הגרף ביחס לציר ה-y
להבחין בין מכפלת פונקציות לבין הרכבת פונקציות

הרעיון המרכזי

ארבע הפעולות על פונקציות

נתונות שתי פונקציות f ו-g. הפעולות מוגדרות בכל נקודה x המשותפת לתחומי ההגדרה:

סכום: (f+g)(x) = f(x) + g(x)

הפרש: (f-g)(x) = f(x) - g(x)

מכפלה: $(f \cdot g) (x) = f (x) \cdot g (x)$

מנה: $(\frac{f}{g}) (x) = \frac{f ( x )}{g ( x )}$ , בתנאי ש- $g (x) \neq = 0$

תחום ההגדרה של הסכום, ההפרש והמכפלה הוא חיתוך תחומי ההגדרה של f ו-g. בתחום ההגדרה של המנה מוסיפים תנאי: מוציאים גם את כל הנקודות שבהן g(x) = 0.

שני שיקופים בסיסיים

שיקוף לציר ה-x: g(x) = -f(x) — כל נקודה (x, y) הופכת ל-(x, -y).

שיקוף לציר ה-y: g(x) = f(-x) — כל נקודה (x, y) הופכת ל-(-x, y).

טיפ לזכירה: מינוס מחוץ לפונקציה משקף למעלה-למטה (ציר x); מינוס בתוך הפונקציה, על המשתנה, משקף ימינה-שמאלה (ציר y).

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: סכום פונקציות בנקודה

נתון $f(x) = 2x + 1$ ו- $g(x) = x^{2}$ . חשבו $(f+g)(3)$

(f+g)(3) = f(3) + g(3) = 7 + 9 = 16

שלב 1 — מחשבים $f(3)$

f(3) = 2 \cdot 3 + 1 = 7

דוגמה 2: מכפלת פונקציות בנקודה

נתון $f(x) = x^{2} - 4$ ו- $g(x) = x + 2$ . חשבו $(f \cdot g)(1)$

(f \cdot g) (1) = f (1) \cdot g (1) = (- 3) \cdot 3 = - 9

שימו לב: מכפלת פונקציות שונה מהרכבה. כאן מכפילים את שני המספרים, ולא מציבים אחד בתוך השני.

שלב 1 — מחשבים $f(1)$

f(1) = 1^{2} - 4 = -3

דוגמה 3: מנת פונקציות ותחום ההגדרה

נתון $f(x) = x^{2} - 9$ ו- $g(x) = x - 3$ . פשטו את $(\frac{f}{g})(x)$ וקבעו את תחום ההגדרה

(\frac{f}{g}) (x) = \frac{( x - 3 ) ( x + 3 )}{x - 3} = x + 3, x \neq = 3

אף שהביטוי המפושט x + 3 מוגדר היטב ב-x = 3, הנקודה הזו אינה בתחום ההגדרה של המנה המקורית, כי שם המכנה מתאפס.

שלב 1 — כותבים את המנה

(\frac{f}{g})(x) = \frac{x^{2} - 9}{x - 3}

דוגמה 4: שיקוף לציר ה-x

נתון $f(x) = x^{2} - 2x$ . מצאו את $g(x) = -f(x)$ ואת ערכה ב- $x = 3$

g (x) = - f (x) = - x^{2} + 2 x

כל נקודה (x, y) על גרף f עוברת ל-(x, -y) על גרף g: שיעור ה-x נשמר, שיעור ה-y מחליף סימן. זהו שיקוף ביחס לציר ה-x.

שלב 1 — כותבים את −f(x)

g(x) = -(x^{2} - 2x) = -x^{2} + 2x

בדיקה מהירה

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: הגרף של $g(x) = -f(x)$ מתקבל משיקוף הגרף של f ביחס לציר ה-x.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 5: שיקוף לציר ה-y

נתון $f(x) = x^{3} + x$ . מצאו את $g(x) = f(-x)$

g (x) = f (- x) = (- x)^{3} + (- x) = - x^{3} - x

המינוס נמצא על המשתנה, ולכן השיקוף הוא ימינה-שמאלה — ביחס לציר ה-y.

שלב 1 — מציבים −x במקום x

g(x) = (-x)^{3} + (-x)

תשובה מספרית

נתון $f(x) = 2x + 1$ ו- $g(x) = x^{2}$ . חשבו את $(f+g)(3)$ .

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 6: תחום הגדרה של מנה כללית

נתון $f(x) = x + 1$ ו- $g(x) = x^{2} - 4$ . מהו תחום ההגדרה של $(\frac{f}{g})(x)$ ?

(\frac{f}{g}) (x) = \frac{x + 1}{x ^{2} - 4}, x \neq = 2, x \neq = - 2

האפס של המונה (x = -1) הוא דווקא אפס של המנה — נקודת חיתוך עם ציר ה-x — ולא נקודה אסורה.

שלב 1 — מתי מנה אינה מוגדרת

כאשר המכנה מתאפס

בדיקה מהירה

תשובה קצרה

נתון $f(x) = x^{2} - 9$ ו- $g(x) = x - 3$ . פשטו את הביטוי של פונקציית המנה $(\frac{f}{g})(x) ($ עבור $x \ne 3)$ . כתבו את הביטוי המפושט.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

נתון $f(x) = x + 1$ ו- $g(x) = x^{2} - 4$ . מהו תחום ההגדרה של פונקציית המנה $(\frac{f}{g})(x)$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: שוכחים להוציא את אפסי המכנה מתחום ההגדרה של מנה

טעות: תחום ההגדרה של $\frac{x + 1}{x ^{2} - 4}$ הוא כל הממשיים.

נכון: כל הממשיים פרט ל-x = 2 ול-x = -2 (שם המכנה מתאפס).

למה זה קורה?

תלמידים מתייחסים למנה כאל ביטוי רגיל ומניחים שהיא מוגדרת בכל מקום.

איך מתקנים?

במנה

(\frac{f}{g})(x)

חובה להוציא כל x שבו

g(x) = 0

. פתרו תמיד את משוואת המכנה לפני שקובעים תחום הגדרה.

טעות נפוצה: מבלבלים בין שיקוף לציר ה-x לבין שיקוף לציר ה-y

g(x) = -f(x) ← שיקוף לציר ה-x

g(x) = f(-x) ← שיקוף לציר ה-y

למה זה קורה?

לא שמים לב אם המינוס פועל על הפונקציה כולה או על המשתנה.

איך מתקנים?

מינוס מחוץ לפונקציה, −f(x), משקף ביחס לציר ה-x (למעלה-למטה). מינוס על המשתנה, f(−x), משקף ביחס לציר ה-y (ימינה-שמאלה).

טעות נפוצה: מבלבלים בין מכפלת פונקציות לבין הרכבה

מכפלה: $(f \cdot g) (x) = f (x) \cdot g (x)$

הרכבה: $(f \circ g) (x) = f (g (x))$

עבור $f (x) = x^{2}$ ו-g(x) = x+1: המכפלה היא $x^{2} (x + 1)$ , אך ההרכבה היא $(x + 1)^{2}$ .

למה זה קורה?

שני הסימונים נראים דומים, אבל הפעולות שונות לחלוטין.

איך מתקנים?

במכפלה מכפילים שני ערכים:

(f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x)

. בהרכבה מציבים פונקציה בתוך פונקציה: f(g(x)).

טעות נפוצה: טעות סימן בהפרש פונקציות

עבור f(x) = 3x ו-g(x) = x - 5:

טעות: (f-g)(x) = 3x - x - 5 = 2x - 5

נכון: (f-g)(x) = 3x - (x - 5) = 2x + 5

למה זה קורה?

שוכחים שצריך לחסר את כל הביטוי g(x), כולל הסימנים שבתוכו.

איך מתקנים?

כתבו את g(x) בסוגריים לפני החיסור:

(f-g)(x) = f(x) - (

כל g(x)). שנו את כל הסימנים בתוך הסוגריים.

סיכום

מה למדנו?

ארבע פעולות על פונקציות (נקודה-נקודה):

(f+g)(x) = f(x) + g(x)
(f-g)(x) = f(x) - g(x)
$(f \cdot g) (x) = f (x) \cdot g (x)$
$(\frac{f}{g}) (x) = \frac{f ( x )}{g ( x )}$ , כאשר $g (x) \neq = 0$

שני שיקופים:

g(x) = -f(x) — שיקוף לציר ה-x
g(x) = f(-x) — שיקוף לציר ה-y

טיפים:

בתחום ההגדרה של מנה — הוציאו תמיד את אפסי המכנה.
בהפרש — הקיפו את g(x) בסוגריים ושנו את כל הסימנים.
מכפלה אינה הרכבה!

כעת יש בידיכם כלים להרכיב פונקציות חדשות מתוך פשוטות — בסיס לכל ההמשך.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על פעולות על פונקציות ושיקופים!

פעולות על פונקציות והשפעתן על הגרף

פעולות על פונקציות והשפעתן על הגרף

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: סכום פונקציות בנקודה

נתון f(x)=2x+1f(x) = 2x + 1f(x)=2x+1 ו-g(x)=x2g(x) = x^{2}g(x)=x2. חשבו (f+g)(3)(f+g)(3)(f+g)(3)

דוגמה 2: מכפלת פונקציות בנקודה

נתון f(x)=x2−4f(x) = x^{2} - 4f(x)=x2−4 ו-g(x)=x+2g(x) = x + 2g(x)=x+2. חשבו (f⋅g)(1)(f \cdot g)(1)(f⋅g)(1)

דוגמה 3: מנת פונקציות ותחום ההגדרה

נתון f(x)=x2−9f(x) = x^{2} - 9f(x)=x2−9 ו-g(x)=x−3g(x) = x - 3g(x)=x−3. פשטו את (fg)(x)(\frac{f}{g})(x)(gf​)(x) וקבעו את תחום ההגדרה

דוגמה 4: שיקוף לציר ה-x

נתון f(x)=x2−2xf(x) = x^{2} - 2xf(x)=x2−2x. מצאו את g(x)=−f(x)g(x) = -f(x)g(x)=−f(x) ואת ערכה ב-x=3x = 3x=3

בדיקה מהירה

דוגמה 5: שיקוף לציר ה-y

נתון f(x)=x3+xf(x) = x^{3} + xf(x)=x3+x. מצאו את g(x)=f(−x)g(x) = f(-x)g(x)=f(−x)

דוגמה 6: תחום הגדרה של מנה כללית

נתון f(x)=x+1f(x) = x + 1f(x)=x+1 ו-g(x)=x2−4g(x) = x^{2} - 4g(x)=x2−4. מהו תחום ההגדרה של (fg)(x)(\frac{f}{g})(x)(gf​)(x)?

בדיקה מהירה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: שוכחים להוציא את אפסי המכנה מתחום ההגדרה של מנה

טעות נפוצה: מבלבלים בין שיקוף לציר ה-x לבין שיקוף לציר ה-y

טעות נפוצה: מבלבלים בין מכפלת פונקציות לבין הרכבה

טעות נפוצה: טעות סימן בהפרש פונקציות

סיכום

תרגול נוסף

נתון $f(x) = 2x + 1$ ו- $g(x) = x^{2}$ . חשבו $(f+g)(3)$

נתון $f(x) = x^{2} - 4$ ו- $g(x) = x + 2$ . חשבו $(f \cdot g)(1)$

נתון $f(x) = x^{2} - 9$ ו- $g(x) = x - 3$ . פשטו את $(\frac{f}{g})(x)$ וקבעו את תחום ההגדרה

נתון $f(x) = x^{2} - 2x$ . מצאו את $g(x) = -f(x)$ ואת ערכה ב- $x = 3$

נתון $f(x) = x^{3} + x$ . מצאו את $g(x) = f(-x)$

נתון $f(x) = x + 1$ ו- $g(x) = x^{2} - 4$ . מהו תחום ההגדרה של $(\frac{f}{g})(x)$ ?