אי-שוויונים פולינומיאליים ורציונליים

מבוא

הניתוח האיכותני של פולינומים מהשיעור הקודם מוביל אותנו ישירות לכלי שימושי מאוד: פתרון אי-שוויונים בשיטת הסימנים. במקום לנחש, נמצא את הנקודות שבהן הביטוי מתאפס (או אינו מוגדר), נסמן אותן על ציר המספרים, ונבדוק את הסימן של הביטוי בכל תחום. השיטה עובדת באותו אופן לפולינומים ולביטויים רציונליים — עם הבדל אחד קריטי: באי-שוויון רציונלי, הנקודות שבהן המכנה מתאפס תמיד מוצאות מתחום הפתרון.

מטרות השיעור

לפתור אי-שוויון פולינומי כמו (x-2)(x+3) > 0 בשיטת הסימנים
למצוא אפסי גורמים, לסמנם על ציר המספרים ולבדוק סימן בכל תחום
לפתור אי-שוויון רציונלי מהצורה $\frac{f ( x )}{g ( x )} \geq 0$ (נתון מפורק או ממעלה נמוכה)
להקפיד להוציא תמיד את אפסי המכנה מתחום הפתרון
להימנע מכפל באי-שוויון בביטוי שסימנו לא ידוע

הרעיון המרכזי

שיטת הסימנים — שלב אחר שלב

מאפסים כל גורם ומסמנים את הנקודות על ציר המספרים.
הנקודות מחלקות את הציר לתחומים.
בכל תחום בוחרים נקודת בדיקה אחת ומוצאים את סימן הביטוי שם.
בוחרים את התחומים המתאימים לאי-שוויון (>0 ⟸ חיובי, <0 ⟸ שלילי).
מטפלים בקצוות: באי-שוויון לא-חמור ( $\geq, \leq$ ) אפסי המונה נכללים; אפסי המכנה לעולם לא.

שני כללי זהירות חשובים

1. אל תכפילו במכנה לא ידוע! אם תכפילו אי-שוויון בביטוי שסימנו לא ידוע (כמו x-2), אתם עלולים להפוך את כיוון האי-שוויון בטעות. במקום זאת — נתחו סימנים.

2. המכנה תמיד יוצא. בביטוי $\frac{f ( x )}{g ( x )}$ כל x שבו g(x) = 0 אינו בתחום ההגדרה, ולכן אינו בפתרון — גם באי-שוויון לא-חמור.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: אי-שוויון פולינומי בסיסי

פתרו $(x - 1)(x - 4) < 0$

(x - 1) (x - 4) < 0 ⟺ 1 < x < 4

המכפלה שלילית רק בין השורשים. הקצוות אינם כלולים כי האי-שוויון חמור.

שלב 1 — אפסי הגורמים

x = 1

ו-

x = 4

דוגמה 2: אי-שוויון ריבועי

פתרו $x^{2} - x - 6 \ge 0$

x^{2} - x - 6 \geq 0 ⟺ x \leq - 2 או x \geq 3

פרבולה הנפתחת כלפי מעלה אי-שלילית מחוץ לשורשיה.

שלב 1 — מפרקים

x^{2} - x - 6 = (x - 3)(x + 2)

דוגמה 3: אי-שוויון רציונלי

פתרו $\frac{x + 1}{x - 2} > 0$

\frac{x + 1}{x - 2} > 0 ⟺ x < - 1 או x > 2

השבר חיובי כאשר המונה והמכנה בעלי אותו סימן. x = 2 מוצא תמיד; x = -1 לא נכלל כי שם השבר שווה 0.

שלב 1 — אפס מונה ואפס מכנה

מונה:

x = -1

; מכנה:

x = 2 (

מוצא)

דוגמה 4: אי-שוויון רציונלי לא-חמור

פתרו $\frac{x - 1}{x + 3} \le 0$

\frac{x - 1}{x + 3} \leq 0 ⟺ - 3 < x \leq 1

שימו לב לקצוות הא-סימטריים: אפס המונה נכלל, אפס המכנה מוצא.

שלב 1 — אפסים

מונה:

x = 1 (

יכלל) ; מכנה:

x = -3 (

מוצא)

בדיקה מהירה

תשובה קצרה

פתרו את האי-שוויון $(x - 1)(x - 4) < 0$ . כתבו את תחום הפתרון.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

פתרו את האי-שוויון $x^{2} - x - 6 \ge 0$ .

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 5: אי-שוויון ממעלה שלישית (מפורק)

פתרו $x(x - 2)(x + 4) > 0$

x (x - 2) (x + 4) > 0 ⟺ - 4 < x < 0 או x > 2

עם שלושה אפסים, הסימן מתחלף בכל מעבר (כל השורשים מריבוי 1).

שלב 1 — אפסים

x = -4, x = 0, x = 2

דוגמה 6: ספירת פתרונות שלמים

כמה פתרונות שלמים יש ל- $(x - 1)(x - 5) \le 0$ ?

$1 \leq x \leq 5$ מכיל את השלמים 1, 2, 3, 4, 5 — חמישה במספר.

שלב 1 — אפסים

x = 1

ו-

x = 5

בדיקה מהירה

תשובה קצרה

פתרו את האי-שוויון הרציונלי $\frac{x + 1}{x - 2} > 0$ . כתבו את תחום הפתרון.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה קצרה

פתרו את האי-שוויון הרציונלי $\frac{x - 1}{x + 3} \le 0$ . כתבו את תחום הפתרון.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: כוללים את אפס המכנה בפתרון

ב- $\frac{x - 1}{x + 3} \leq 0$ : הנקודה x = -3 מוצאת (מכנה אפס), אך x = 1 נכללת (מונה אפס).

למה זה קורה?

תלמידים רואים אי-שוויון לא-חמור (≥ או ≤) ומניחים שכל האפסים נכללים.

איך מתקנים?

אפס המכנה לעולם אינו בתחום הפתרון, כי שם הביטוי אינו מוגדר. רק אפסי המונה נכללים באי-שוויון לא-חמור.

טעות נפוצה: כופלים במכנה שסימנו לא ידוע

טעות: מ- $\frac{x + 1}{x - 2} > 0$ מסיקים ש-x + 1 > 0 (התעלמות מסימן המכנה).

נכון: מנתחים סימנים — הפתרון הוא x < -1 או x > 2.

למה זה קורה?

רוצים 'להיפטר' מהשבר כמו במשוואה רגילה.

איך מתקנים?

כפל באי-שוויון בביטוי שלילי הופך את הכיוון. כשהסימן לא ידוע — אל תכפילו, אלא נתחו סימנים על הציר.

טעות נפוצה: מבלבלים בין 'בין השורשים' ל'מחוץ לשורשים'

(x-1)(x-4) < 0 ⟸ בין השורשים (1<x<4);

(x-1)(x-4) > 0 ⟸ מחוץ לשורשים.

למה זה קורה?

לא זוכרים את כיוון הפתיחה של הפרבולה.

איך מתקנים?

לפרבולה הנפתחת כלפי מעלה: שלילית בין השורשים, חיובית מחוץ להם. בדקו תמיד עם נקודת בדיקה.

טעות נפוצה: שוכחים לבדוק סימן בנקודת בדיקה

בתחום x > 2 של x(x-2)(x+4): הצבת x = 3 נותנת $3 \cdot 1 \cdot 7 = 21 > 0$ — חיובי.

למה זה קורה?

מנחשים את הסימן במקום לחשב.

איך מתקנים?

בכל תחום הציבו ערך נוח אחד וחשבו את סימן הביטוי בפועל. זה מונע טעויות.

סיכום

מה למדנו?

שיטת הסימנים לאי-שוויונים:

מאפסים כל גורם ומסמנים על הציר.
בודקים סימן בכל תחום עם נקודת בדיקה.
בוחרים את התחומים המתאימים לכיוון האי-שוויון.
קצוות: אפסי מונה נכללים ב- $\geq / \leq$ ; אפסי מכנה לעולם לא.

שני כללי זהב:

אל תכפילו במכנה שסימנו לא ידוע — נתחו סימנים.
המכנה תמיד יוצא מתחום הפתרון.

זכרו:

פרבולה הנפתחת מעלה: שלילית בין השורשים, חיובית מחוצה להם.
בדקו תמיד עם נקודת בדיקה אחת בכל תחום.

כל הכבוד! סיימתם את היחידה של פעולות על פונקציות והפונקציה ההפוכה.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על אי-שוויונים פולינומיאליים ורציונליים!

אי-שוויונים פולינומיאליים ורציונליים

אי-שוויונים פולינומיאליים ורציונליים

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: אי-שוויון פולינומי בסיסי

פתרו (x−1)(x−4)<0(x - 1)(x - 4) < 0(x−1)(x−4)<0

דוגמה 2: אי-שוויון ריבועי

פתרו x2−x−6≥0x^{2} - x - 6 \ge 0x2−x−6≥0

דוגמה 3: אי-שוויון רציונלי

פתרו x+1x−2>0\frac{x + 1}{x - 2} > 0x−2x+1​>0

דוגמה 4: אי-שוויון רציונלי לא-חמור

פתרו x−1x+3≤0\frac{x - 1}{x + 3} \le 0x+3x−1​≤0

בדיקה מהירה

דוגמה 5: אי-שוויון ממעלה שלישית (מפורק)

פתרו x(x−2)(x+4)>0x(x - 2)(x + 4) > 0x(x−2)(x+4)>0

דוגמה 6: ספירת פתרונות שלמים

כמה פתרונות שלמים יש ל-(x−1)(x−5)≤0(x - 1)(x - 5) \le 0(x−1)(x−5)≤0?

בדיקה מהירה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: כוללים את אפס המכנה בפתרון

טעות נפוצה: כופלים במכנה שסימנו לא ידוע

טעות נפוצה: מבלבלים בין 'בין השורשים' ל'מחוץ לשורשים'

טעות נפוצה: שוכחים לבדוק סימן בנקודת בדיקה

סיכום

תרגול נוסף

פתרו $(x - 1)(x - 4) < 0$

פתרו $x^{2} - x - 6 \ge 0$

פתרו $\frac{x + 1}{x - 2} > 0$

פתרו $\frac{x - 1}{x + 3} \le 0$

פתרו $x(x - 2)(x + 4) > 0$

כמה פתרונות שלמים יש ל- $(x - 1)(x - 5) \le 0$ ?