הפונקציה ההופכית g(x)=1/f(x)

מבוא

אחת הפעולות המעניינות ביותר על פונקציה היא לקחת את ההופכי שלה: מתוך f בונים פונקציה חדשה $g (x) = \frac{1}{f ( x )}$ . שימו לב — זו אינה הפונקציה ההפוכה (שנלמד בהמשך), אלא ה"הופכי" במובן של חלוקה: בכל נקודה לוקחים את הערך f(x) ומחלקים בו את 1. הקשר בין הגרף של f לגרף של g עשיר ומפתיע: היכן ש-f מתאפסת נוצרות אסימפטוטות אנכיות, היכן ש-f גדולה g קטנה, וההפך. נחקור את כל אלה אינטואיטיבית, בעזרת שפת הגבולות.

מטרות השיעור

לקבוע את תחום ההגדרה של $g (x) = \frac{1}{f ( x )}$ על ידי הוצאת אפסי f
להבין מדוע אפס של f הופך לאסימפטוטה אנכית של g
להבין מדוע ל- $g (x) = \frac{1}{f ( x )}$ אין אפסים כלל
לתאר את הקשר בין גודל הערכים של f ושל g (קטן/גדול, חיובי/שלילי)

הרעיון המרכזי

שלוש תכונות יסוד של $\frac{1}{f}$

נתונה $g (x) = \frac{1}{f ( x )}$ .

1. תחום ההגדרה: כל הנקודות שבתחום של f פרט לאלה שבהן f(x) = 0.

2. אסימפטוטות אנכיות: בכל נקודה x = a שבה f(a) = 0, כאשר $x \to a$ מתקיים $\frac{1}{f ( x )} \to \pm \infty$ — זו אסימפטוטה אנכית.

3. אין אפסים: המשוואה $\frac{1}{f ( x )} = 0$ חסרת פתרון, כי שבר עם מונה 1 לעולם אינו 0. הגרף של g אינו חותך את ציר ה-x.

בנוסף: סימן של g זהה לסימן של f (חיובי/שלילי נשמרים), אך הגודל מתהפך — היכן ש-f גדולה, g קרובה ל-0, והיכן ש-f קרובה ל-0, g גדולה בערכה המוחלט.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: תחום הגדרה ואסימפטוטה אנכית

נתון $f(x) = x - 3, g(x) = \frac{1}{f(x)}$ . מצאו את תחום ההגדרה והאסימפטוטה האנכית

$g (x) = \frac{1}{x - 3}$ — אסימפטוטה אנכית ב-x = 3.

ככל ש-x מתקרב ל-3, המכנה מתקרב ל-0 והשבר "מתפוצץ" לאינסוף (חיובי מימין, שלילי משמאל).

שלב 1 — מאפסים את המכנה

x - 3 = 0 ⟸ x = 3

דוגמה 2: ערך נקודתי של 1/f

נתון $f(x) = 2x + 1, g(x) = \frac{1}{f(x)}$ . חשבו $g(2)$

g (2) = \frac{1}{f ( 2 )} = \frac{1}{5} = 0.2

שלב 1 — מחשבים את המכנה

f(2) = 2 \cdot 2 + 1 = 5

דוגמה 3: שתי אסימפטוטות אנכיות

נתון $f(x) = x^{2} - 4, g(x) = \frac{1}{f(x)}$ . מצאו את כל האסימפטוטות האנכיות

$g (x) = \frac{1}{x ^{2} - 4}$ — שתי אסימפטוטות אנכיות, ב-x = 2 וב-x = -2.

כל אפס (פשוט) של המכנה תורם אסימפטוטה אנכית אחת.

שלב 1 — מאפסים את המכנה

x^{2} - 4 = 0 ⟸ x^{2} = 4

דוגמה 4: התנהגות סביב גבולות (שפת הגבולות)

כיצד מתנהגת $g(x) = \frac{1}{f(x)}$ כאשר f(x) גדולה מאוד, וכאשר f(x) קרובה ל-0?

f (x) \to + \infty \Rightarrow \frac{1}{f ( x )} \to 0^{+}

f (x) \to 0^{+} \Rightarrow \frac{1}{f ( x )} \to + \infty

זו ההמחשה האינטואיטיבית: ככל שמחלקים במספר גדול יותר, התוצאה קטנה יותר, ולהפך.

שלב 1 — f גדולה חיובית

f(x) → +\infty ⟸ \frac{1}{f(x)} → 0^{+} (

קטן וחיובי)

בדיקה מהירה

נתונה הפונקציה $g(x) = \frac{1}{f(x)}$ . אילו נקודות מוצאות מתחום ההגדרה של g?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: בכל נקודה שבה לפונקציה f יש אפס $(f(x) = 0)$ , לפונקציה $g(x) = \frac{1}{f(x)}$ יש אסימפטוטה אנכית.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 5: כשהמכנה לעולם אינו מתאפס

נתון $f(x) = x^{2} + 1, g(x) = \frac{1}{f(x)}$ . יש ל-g אסימפטוטות אנכיות?

$g (x) = \frac{1}{x ^{2} + 1}$ מוגדרת בכל מקום, כי $x^{2} + 1 > 0$ תמיד.

הערך המקסימלי של g מתקבל היכן ש-f מינימלית — ב-x = 0, שם g(0) = 1.

שלב 1 — בודקים אם המכנה מתאפס

x^{2} + 1 \ge 1 > 0

לכל x

דוגמה 6: קצב שינוי הפוך

נתון $f(x) = x, g(x) = \frac{1}{x}$ . מה קורה לערכי g כאשר x גדל בתחום החיובי?

g(0.5) = 2 > g(1) = 1 > g(2) = 0.5 > g(4) = 0.25

שימו לב: זו פעולה שונה מהותית מהכפלה ב-קבוע. ההופכי "הופך" את מגמת הגודל.

שלב 1 — מחשבים כמה ערכים

g(0.5)=2, g(1)=1, g(2)=0.5, g(4)=0.25

בדיקה מהירה

תשובה קצרה

נתון $f(x) = x^{2} - 4$ , ו- $g(x) = \frac{1}{f(x)}$ . מצאו את כל ערכי ה-x שבהם יש לגרף של g אסימפטוטות אנכיות.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

נתון $f(x) = x^{2} + 1$ , ו- $g(x) = \frac{1}{f(x)}$ . איזו טענה נכונה לגבי g?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: חושבים שלאפסי f יש אפסים של $\frac{1}{f}$

טעות: ל- $\frac{1}{x - 3}$ יש אפס ב-x = 3.

נכון: ב-x = 3 יש אסימפטוטה אנכית. אפסים — אין.

למה זה קורה?

תלמידים מבלבלים בין אפס של הפונקציה לבין אפס של ההופכי שלה.

איך מתקנים?

היכן ש-

f(x) = 0

דווקא נוצרת אסימפטוטה אנכית של

\frac{1}{f}

. לפונקציה

\frac{1}{f}

אין אפסים כלל, כי 1 חלקי משהו לעולם אינו 0.

טעות נפוצה: מניחים שתמיד יש אסימפטוטה אנכית

טעות: ל- $\frac{1}{x ^{2} + 1}$ יש אסימפטוטות אנכיות.

נכון: $x^{2} + 1 > 0$ תמיד, ולכן אין אסימפטוטות אנכיות.

למה זה קורה?

תלמידים זוכרים את הכלל 'מכנה מתאפס' ושוכחים לבדוק אם הוא בכלל יכול להתאפס.

איך מתקנים?

בדקו תחילה אם למשוואה

f(x) = 0

יש פתרון. אם המכנה תמיד חיובי (או תמיד שלילי), אין אסימפטוטות אנכיות כלל.

טעות נפוצה: חושבים ש- $\frac{1}{f}$ גדל כאשר f גדל

$f (2) = 2 \Rightarrow \frac{1}{f} = 0.5$ , אבל $f (4) = 4 \Rightarrow \frac{1}{f} = 0.25$ — קטן יותר!

למה זה קורה?

מצפים שכל הפונקציות 'גדלות יחד'.

איך מתקנים?

ההופכי מהפך את הגודל: כאשר f גדל

, \frac{1}{f}

קטֵן (ושואף ל-0). כאשר f קרוב ל-

0, \frac{1}{f}

גדול בערכו המוחלט.

טעות נפוצה: הופכים את הסימן בטעות

$f (x) = - 2 \Rightarrow \frac{1}{f ( x )} = - 0.5$ (שלילי, לא חיובי).

למה זה קורה?

מבלבלים בין ההופכי

\frac{1}{f}

לבין הנגדי −f.

איך מתקנים?

ההופכי שומר על הסימן: אם f חיובית גם

\frac{1}{f}

חיובית, ואם f שלילית גם

\frac{1}{f}

שלילית. רק הגודל משתנה.

סיכום

מה למדנו?

הפונקציה $g (x) = \frac{1}{f ( x )}$ :

תחום ההגדרה: כל הממשיים פרט לאפסי f.
אסימפטוטות אנכיות: בכל אפס של f (היכן ש- $f \to 0$ ולכן $1/ f \to \pm \infty$ ).
אין אפסים: הגרף לעולם אינו חותך את ציר ה-x.
גודל וסימן: הסימן נשמר, הגודל מתהפך — f גדול ⟸ 1/f קרוב ל-0, ולהפך.

טיפים:

תמיד פתרו f(x) = 0 כדי למצוא אסימפטוטות וגבולות תחום.
בדקו אם המכנה בכלל יכול להתאפס.
ההופכי 1/f שונה מהנגדי -f ומהפונקציה ההפוכה.

עכשיו אתם מוכנים לעבור להרכבת פונקציות ולפונקציה ההפוכה!

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על הפונקציה ההופכית 1/f!

הפונקציה ההופכית g(x)=1/f(x)

הפונקציה ההופכית g(x)=1/f(x)

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: תחום הגדרה ואסימפטוטה אנכית

נתון f(x)=x−3,g(x)=1f(x)f(x) = x - 3, g(x) = \frac{1}{f(x)}f(x)=x−3,g(x)=f(x)1​. מצאו את תחום ההגדרה והאסימפטוטה האנכית

דוגמה 2: ערך נקודתי של 1/f

נתון f(x)=2x+1,g(x)=1f(x)f(x) = 2x + 1, g(x) = \frac{1}{f(x)}f(x)=2x+1,g(x)=f(x)1​. חשבו g(2)g(2)g(2)

דוגמה 3: שתי אסימפטוטות אנכיות

נתון f(x)=x2−4,g(x)=1f(x)f(x) = x^{2} - 4, g(x) = \frac{1}{f(x)}f(x)=x2−4,g(x)=f(x)1​. מצאו את כל האסימפטוטות האנכיות

דוגמה 4: התנהגות סביב גבולות (שפת הגבולות)

כיצד מתנהגת g(x)=1f(x)g(x) = \frac{1}{f(x)}g(x)=f(x)1​ כאשר f(x) גדולה מאוד, וכאשר f(x) קרובה ל-0?

בדיקה מהירה

דוגמה 5: כשהמכנה לעולם אינו מתאפס

נתון f(x)=x2+1,g(x)=1f(x)f(x) = x^{2} + 1, g(x) = \frac{1}{f(x)}f(x)=x2+1,g(x)=f(x)1​. יש ל-g אסימפטוטות אנכיות?

דוגמה 6: קצב שינוי הפוך

נתון f(x)=x,g(x)=1xf(x) = x, g(x) = \frac{1}{x}f(x)=x,g(x)=x1​. מה קורה לערכי g כאשר x גדל בתחום החיובי?

בדיקה מהירה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: חושבים שלאפסי f יש אפסים של 1f\frac{1}{f}f1​

טעות נפוצה: מניחים שתמיד יש אסימפטוטה אנכית

טעות נפוצה: חושבים ש-1f\frac{1}{f}f1​ גדל כאשר f גדל

טעות נפוצה: הופכים את הסימן בטעות

סיכום

תרגול נוסף

נתון $f(x) = x - 3, g(x) = \frac{1}{f(x)}$ . מצאו את תחום ההגדרה והאסימפטוטה האנכית

נתון $f(x) = 2x + 1, g(x) = \frac{1}{f(x)}$ . חשבו $g(2)$

נתון $f(x) = x^{2} - 4, g(x) = \frac{1}{f(x)}$ . מצאו את כל האסימפטוטות האנכיות

כיצד מתנהגת $g(x) = \frac{1}{f(x)}$ כאשר f(x) גדולה מאוד, וכאשר f(x) קרובה ל-0?

נתון $f(x) = x^{2} + 1, g(x) = \frac{1}{f(x)}$ . יש ל-g אסימפטוטות אנכיות?

נתון $f(x) = x, g(x) = \frac{1}{x}$ . מה קורה לערכי g כאשר x גדל בתחום החיובי?

טעות נפוצה: חושבים שלאפסי f יש אפסים של $\frac{1}{f}$

טעות נפוצה: חושבים ש- $\frac{1}{f}$ גדל כאשר f גדל