המעגל החוסם והמעגל החסום

מבוא

בשיעור הקודם גילינו שמפגש האנכים האמצעיים שווה-מרחק מהקודקודים, ושמפגש חוצי הזוויות שווה-מרחק מהצלעות. שתי עובדות אלה מובילות למסקנה יפה: לכל משולש יש מעגל אחד החוסם אותו ומעגל אחד החסום בו. בשיעור זה נבסס את הקיום הזה ונלמד לחשב רדיוסים במקרים נוחים.

מטרות השיעור

להגדיר את המעגל החוסם (עובר דרך שלושת הקודקודים) ואת המעגל החסום (נוגע בשלוש הצלעות).
לזהות את מרכזיהם: מרכז המעגל החוסם = מפגש האנכים האמצעיים; מרכז המעגל החסום = מפגש חוצי הזוויות.
לנמק מדוע שני המעגלים קיימים בכל משולש.
לחשב רדיוסים במקרים מיוחדים (משולש ישר-זווית ומשולש שווה-צלעות).

הרעיון המרכזי

שני המעגלים של המשולש

מעגל חוסם — עובר דרך שלושת הקודקודים. מרכזו O הוא מפגש האנכים האמצעיים, ורדיוסו R = OA = OB = OC.
מעגל חסום — נוגע בשלוש הצלעות. מרכזו I הוא מפגש חוצי הזוויות, ורדיוסו r הוא המרחק (האנך) מ-I לכל צלע.

קיום: מאחר שבכל משולש האנכים האמצעיים נחתכים בנקודה אחת וחוצי הזוויות נחתכים בנקודה אחת — לכל משולש קיימים שני המעגלים.

קשר שימושי לרדיוס המעגל החסום

לכל משולש מתקיים $r = \frac{S}{s}$ , כאשר S הוא שטח המשולש ו-s הוא חצי ההיקף. הקשר נובע מחלוקת המשולש לשלושה משולשים קטנים בעלי גובה משותף r.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: זיהוי המעגלים והמרכזים

במשולש נתון בנו מעגל שעובר דרך שלושת הקודקודים. איזה מעגל זה ומהו מרכזו?

מעגל דרך הקודקודים $\Rightarrow$ חוסם, מרכז במפגש האנכים האמצעיים.

שלב 1 — מזהים

מעגל העובר דרך הקודקודים נקרא המעגל החוסם.

דוגמה 2: רדיוס המעגל החוסם במשולש ישר-זווית

במשולש ישר-זווית הניצבים 5 ס״מ ו-12 ס״מ. מצאו את רדיוס המעגל החוסם

R = \frac{יתר}{2} = \frac{13}{2} = 6.5

שלב 1 — יתר

לפי פיתגורס: היתר

= \sqrt{5^{2} + 12^{2}} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13

ס״מ.

דוגמה 3: רדיוס המעגל החסום דרך השטח

במשולש ישר-זווית הניצבים 5 ס״מ ו-12 ס״מ והיתר 13 ס״מ. מצאו את רדיוס המעגל החסום

r = \frac{S}{s} = \frac{30}{15} = 2

שלב 1 — שטח

S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30

סמ״ר.

בדיקה מהירה

מהו המעגל החוסם של משולש?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

במשולש ישר-זווית הניצבים הם 6 ס"מ ו-8 ס"מ. מהו רדיוס המעגל החוסם (בס"מ)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: שני הרדיוסים במשולש שווה-צלעות

במשולש שווה-צלעות רדיוס המעגל החוסם 8 ס״מ. מצאו את רדיוס המעגל החסום

R = 2 r \Rightarrow r = \frac{8}{2} = 4

שלב 1 — מרכז משותף

במשולש שווה-צלעות המעגל החוסם והמעגל החסום חולקים מרכז אחד — מרכז הכובד.

בדיקה מהירה

תשובה מספרית

במשולש ישר-זווית הניצבים הם 6 ס"מ ו-8 ס"מ והיתר 10 ס"מ. מהו רדיוס המעגל החסום (בס"מ)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

במשולש שווה-צלעות מרכז המעגל החוסם ומרכז המעגל החסום מתלכדים. רדיוס המעגל החוסם הוא 6 ס"מ. מהו רדיוס המעגל החסום (בס"מ)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: החלפה בין המעגל החוסם למעגל החסום

חוסם: דרך הקודקודים. חסום: נוגע בצלעות.

למה זה קורה?

שני השמות דומים, והתלמיד מתבלבל מי עובר דרך הקודקודים ומי נוגע בצלעות.

איך מתקנים?

חוסם = עוטף מבחוץ, עובר דרך הקודקודים (מרכז במפגש האנכים האמצעיים). חסום = נמצא בפנים, נוגע בצלעות (מרכז במפגש חוצי הזוויות).

טעות נפוצה: לוקחים את היתר כרדיוס המעגל החוסם

$R = \frac{יתר}{2}$ , ולא $R = יתר$ .

למה זה קורה?

התלמיד זוכר שהמרכז על היתר ומזהה את היתר עצמו עם הרדיוס.

איך מתקנים?

המרכז הוא אמצע היתר, ולכן הרדיוס הוא חצי היתר, לא היתר כולו.

טעות נפוצה: חושבים שרק חלק מהמשולשים ניתנים לחסימה

לכל משולש יש שני המעגלים.

למה זה קורה?

התלמיד מניח שלמשולשים 'מוזרים' אין מעגל חוסם או חסום.

איך מתקנים?

לכל משולש בלי יוצא מן הכלל יש מעגל חוסם ומעגל חסום, כי המפגשים של האנכים האמצעיים ושל חוצי הזוויות קיימים תמיד.

טעות נפוצה: ערבוב הנוסחה $r = \frac{S}{s}$

$r = \frac{S}{s}, s = \frac{a + b + c}{2}$ .

למה זה קורה?

התלמיד מחלק בהיקף המלא במקום בחצי ההיקף.

איך מתקנים?

במכנה נמצא חצי ההיקף s, לא ההיקף המלא. ודאו ש-

s = \frac{a+b+c}{2}

סיכום

מה למדנו?

מעגל חוסם: עובר דרך הקודקודים; מרכז = מפגש האנכים האמצעיים; R = OA = OB = OC.
מעגל חסום: נוגע בצלעות; מרכז = מפגש חוצי הזוויות; $r = \frac{S}{s}$ .
לכל משולש קיימים שני המעגלים.
במשולש ישר-זווית רדיוס החוסם הוא חצי היתר. במשולש שווה-צלעות המרכזים מתלכדים ו-R = 2r.

יפה מאוד! עכשיו נעבור לכלי הוכחה חדשים: משפט החפיפה הרביעי והמשפט ההפוך לפיתגורס.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על זיהוי שני המעגלים ועל חישוב רדיוסים!

המעגל החוסם והמעגל החסום

המעגל החוסם והמעגל החסום

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: זיהוי המעגלים והמרכזים

במשולש נתון בנו מעגל שעובר דרך שלושת הקודקודים. איזה מעגל זה ומהו מרכזו?

דוגמה 2: רדיוס המעגל החוסם במשולש ישר-זווית

במשולש ישר-זווית הניצבים 5 ס״מ ו-12 ס״מ. מצאו את רדיוס המעגל החוסם

דוגמה 3: רדיוס המעגל החסום דרך השטח

במשולש ישר-זווית הניצבים 5 ס״מ ו-12 ס״מ והיתר 13 ס״מ. מצאו את רדיוס המעגל החסום

בדיקה מהירה

דוגמה 4: שני הרדיוסים במשולש שווה-צלעות

במשולש שווה-צלעות רדיוס המעגל החוסם 8 ס״מ. מצאו את רדיוס המעגל החסום

בדיקה מהירה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: החלפה בין המעגל החוסם למעגל החסום

טעות נפוצה: לוקחים את היתר כרדיוס המעגל החוסם

טעות נפוצה: חושבים שרק חלק מהמשולשים ניתנים לחסימה

טעות נפוצה: ערבוב הנוסחה r=Ssr = \frac{S}{s}r=sS​

סיכום

תרגול נוסף

טעות נפוצה: ערבוב הנוסחה $r = \frac{S}{s}$