ארבע הנקודות המיוחדות במשולש

מבוא

בכל משולש קיימות ארבע "שלישיות" של קווים מיוחדים: שלושת האנכים האמצעיים, שלושת חוצי הזוויות, שלושת התיכונים ושלושת הגבהים. תופעה מפתיעה — בכל אחת מהשלישיות שלושת הקווים נחתכים בנקודה אחת (אומרים שהם קונקורנטיים). בשיעור זה נכיר את ארבע הנקודות, ננמק את המפגש בעזרת מושג המקום הגאומטרי, ונשתמש בתכונת היחס 2:1 של מרכז הכובד.

מטרות השיעור

לזהות את ארבע הנקודות: מרכז המעגל החוסם, מרכז המעגל החסום, מרכז הכובד ומפגש הגבהים.
לדעת איזו שלישיית קווים מגדירה כל נקודה ומהי תכונתה.
לנמק מדוע האנכים האמצעיים נחתכים בנקודה אחת (הוכחת קונקורנטיות).
ליישם את יחס 2:1 שבו מרכז הכובד מחלק כל תיכון.

הרעיון המרכזי

ארבע הנקודות המיוחדות

מרכז המעגל החוסם — מפגש שלושת האנכים האמצעיים. שווה-מרחק משלושת הקודקודים (OA = OB = OC).
מרכז המעגל החסום — מפגש שלושת חוצי הזוויות. שווה-מרחק משלוש הצלעות. תמיד בתוך המשולש.
מרכז הכובד — מפגש שלושת התיכונים. מחלק כל תיכון ביחס 2:1 (החלק מצד הקודקוד גדול פי שניים).
מפגש הגבהים — מפגש שלושת הגבהים (אנכים מקודקוד לצלע שמולו).

שימו לב למיקום: מרכז המעגל החסום נמצא תמיד בתוך המשולש. לעומת זאת מרכז המעגל החוסם ומפגש הגבהים נמצאים בתוך המשולש רק כשהוא חד-זוויות; במשולש קהה-זווית הם נמצאים מחוץ למשולש, ובמשולש ישר-זווית הם נופלים על היתר ועל קודקוד הזווית הישרה בהתאמה.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: זיהוי הנקודה לפי הקווים

שלושה תיכונים של משולש נחתכים בנקודה G. איזו נקודה זו ומהי תכונתה?

מפגש תיכונים $\Rightarrow$ מרכז כובד, יחס 2:1.

שלב 1 — מזהים את הקווים

תיכון מחבר קודקוד עם אמצע הצלע שמולו.

דוגמה 2: הוכחת קונקורנטיות של האנכים האמצעיים

הוכיחו ששלושת האנכים האמצעיים של משולש ABC נחתכים בנקודה אחת

$O A = OB = OC \Rightarrow$ שלושת האנכים האמצעיים נפגשים ב-O.

שלב 1 — חיתוך שני אנכים

האנכים האמצעיים של AB ושל BC אינם מקבילים, ולכן נחתכים בנקודה O.

דוגמה 3: יחס מרכז הכובד

אורך התיכון מהקודקוד A הוא 15 ס״מ. מצאו את המרחק מ-A למרכז הכובד ואת המרחק ממרכז הכובד לאמצע הצלע

$\frac{2}{3} \cdot 15 = 10$ , $\frac{1}{3} \cdot 15 = 5$ .

שלב 1 — היחס

מרכז הכובד מחלק את התיכון ביחס 2:1 מצד הקודקוד, כלומר ל-3 חלקים שווים.

בדיקה מהירה

שלושת האנכים האמצעיים של צלעות משולש נחתכים בנקודה אחת. מהי התכונה המיוחדת של נקודה זו?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

במשולש אורך התיכון מהקודקוד A הוא 12 ס"מ. מרכז הכובד מחלק אותו ביחס 2:1. מהו אורך הקטע מהקודקוד A עד מרכז הכובד (בס"מ)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: מרכז המעגל החוסם במשולש ישר-זווית

במשולש ישר-זווית שבו הזווית הישרה בקודקוד C, היכן מרכז המעגל החוסם?

$M A = MB = MC \Rightarrow$ המרכז הוא אמצע היתר.

שלב 1 — תכונת המרכז

מרכז המעגל החוסם שווה-מרחק משלושת הקודקודים A, B, C.

בדיקה מהירה

סידור

סדרו את שלבי ההוכחה ששלושת האנכים האמצעיים של משולש ABC נחתכים בנקודה אחת:

גררו את הפריטים לסדר הנכון

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

במשולש ישר-זווית, היכן נמצא מרכז המעגל החוסם (מפגש האנכים האמצעיים)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: החלפה בין הנקודות המיוחדות

תיכונים נפגשים במרכז הכובד, ולא במרכז המעגל החוסם.

למה זה קורה?

ארבע הנקודות נשמעות דומות, והתלמיד מערבב ביניהן.

איך מתקנים?

קושרים כל נקודה לקווים שלה: אנכים אמצעיים ← מעגל חוסם; חוצי זוויות ← מעגל חסום; תיכונים ← מרכז כובד; גבהים ← מפגש הגבהים.

טעות נפוצה: היפוך יחס מרכז הכובד

$קודקוד \to מרכז הכובד = \frac{2}{3} תיכון$ .

למה זה קורה?

התלמיד לוקח את החלק מצד הקודקוד כשליש במקום שני שלישים.

איך מתקנים?

היחס 2:1 — החלק הגדול נמצא מצד הקודקוד. החלק מהקודקוד הוא

\frac{2}{3}

מהתיכון, והחלק עד אמצע הצלע הוא

\frac{1}{3}

טעות נפוצה: חושבים שכל הנקודות תמיד בתוך המשולש

במשולש קהה-זווית מרכז המעגל החוסם נמצא מחוץ למשולש.

למה זה קורה?

ברוב הציורים המשולש חד-זוויות, ואז כל הנקודות בפנים.

איך מתקנים?

רק מרכז המעגל החסום תמיד בפנים. מרכז המעגל החוסם ומפגש הגבהים יוצאים מחוץ למשולש קהה-זווית.

טעות נפוצה: בלבול בין גובה לתיכון

גובה: ניצב לצלע. תיכון: לאמצע הצלע.

למה זה קורה?

שניהם יוצאים מקודקוד אל הצלע שמולו.

איך מתקנים?

גובה ניצב לצלע (זווית

90^{\circ})

. תיכון מגיע לאמצע הצלע. רק במשולש שווה-שוקיים (אל הבסיס) ובמשולש שווה-צלעות הם מתלכדים.

סיכום

מה למדנו?

מרכז המעגל החוסם = מפגש האנכים האמצעיים, שווה-מרחק מהקודקודים.
מרכז המעגל החסום = מפגש חוצי הזוויות, שווה-מרחק מהצלעות, תמיד בפנים.
מרכז הכובד = מפגש התיכונים, מחלק כל תיכון ביחס 2:1.
מפגש הגבהים = מפגש הגבהים.
הוכחת קונקורנטיות נשענת על תכונת המקום הגאומטרי ועל הכיוון ההפוך שלה.

מצוין! בשיעור הבא נראה כיצד שתי מהנקודות האלה הופכות למרכזי המעגל החוסם והחסום של כל משולש.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על זיהוי הנקודות המיוחדות ועל יחס 2:1 של מרכז הכובד!