בעיות קיצון בעזרת הנגזרת

מבוא

בכל תחום שבו פוגשים אותנו השאלות "מה הכי גדול?" או "מה הכי קטן?", אנחנו עוסקים למעשה בבעיית קיצון. חקלאי שואל איך לגדר את השטח הגדול ביותר עם כמות גדר נתונה; יצרן שואל איזו קופסה תכיל את הנפח הגדול ביותר; כלכלן מחפש את הרווח המקסימלי. הנגזרת היא הכלי המדויק שמאפשר לנו לענות על שאלות אלה: בנקודת קיצון פנימית של פונקציה חלקה, המשיק אופקי ולכן הנגזרת מתאפסת. בשיעור זה נלמד תהליך עבודה מסודר שמתרגם בעיה מילולית לפונקציה, מאתר את נקודת הקיצון ומפרש את משמעותה.

מטרות השיעור

לבטא את גודל המטרה בבעיה מילולית כפונקציה של משתנה אחד, עם תחום הגדרה מתאים
למצוא נקודות חשודות לקיצון על ידי פתרון המשוואה f'(x) = 0
לוודא את סוג הקיצון (מקסימום או מינימום) ולא לעצור ב-f'(x)=0
לפתור בעיות קיצון בתחום פתוח ובתחום סגור, כולל בדיקת הקצוות
לטפל בפונקציות פולינומיאליות ובפונקציות שורש
לפרש את משמעות ערך הקיצון בהקשר הבעיה (גאומטריה, כלכלה, פיזיקה)

הרעיון המרכזי

שיטת העבודה לפתרון בעיית קיצון

חמשת השלבים:

ניסוח — מבטאים את הגודל שרוצים למקסם/למזער כפונקציה f(x) של משתנה אחד, תוך שימוש באילוצי הבעיה. קובעים תחום הגדרה הגיוני.
גזירה — מחשבים את f'(x).
נקודות חשודות — פותרים f'(x) = 0.
וידוא — בודקים שזהו אכן הקיצון המבוקש (שינוי סימן הנגזרת, או הסימן של f''). בתחום סגור [a,b] בודקים גם את ערכי הפונקציה בקצוות.
מענה ופירוש — מציבים, עונים בדיוק על מה שנשאל, ומפרשים את המשמעות.

זכרו: f'(x)=0 הוא תנאי הכרחי לקיצון פנימי — אך לא מספיק. תמיד מוודאים.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: מינימום של פרבולה

מצאו את הערך המינימלי של $f(x) = x^{2} - 6x + 10$

f^{'} (x) = 2 x - 6 = 0 \Rightarrow x = 3, f (3) = 1

שימו לב: נשאלנו על הערך המינימלי (ה-y), לא על ה-x שבו הוא מתקבל.

שלב 1 — גוזרים

f'(x) = 2x - 6

דוגמה 2: קיצון מוחלט בתחום סגור

מצאו את הערך המקסימלי של $f(x) = x^{3} - 3x$ בתחום [0, 2]

f (0) = 0, f (1) = - 2, f (2) = 2

כאן המקסימום מתקבל דווקא בקצה ולא במקום שבו הנגזרת מתאפסת — לכן חובה לבדוק את הקצוות!

שלב 1 — גוזרים

f'(x) = 3x^{2} - 3

דוגמה 3: בעיית גידור (גאומטריה + תחום פתוח)

עם 60 מ' גדר גודרים מכלאה מלבנית הצמודה לקיר $(3$ צלעות). מהו השטח המקסימלי?

A (x) = 60 x - 2 x^{2}, A^{'} (x) = 60 - 4 x = 0 \Rightarrow x = 15

משמעות: השטח מקסימלי כשהצלע המקבילה לקיר כפולה מכל אחת מהניצבות.

שלב 1 — מנסחים

x =

הצלע הניצבת לקיר. שתי ניצבות צורכות 2x, אז המקבילה

= 60 - 2x

. תחום:

0 < x < 30

דוגמה 4: קופסה פתוחה (גאומטריית המרחב)

מגיליון ריבועי $12 \times 12$ ס״מ גוזרים ריבוע בצלע x מכל פינה ומקפלים. מהו הנפח המקסימלי?

V^{'} (x) = 12 (x - 2) (x - 6) = 0 \Rightarrow x = 2 (כי x = 6 נפסל)

שלב 1 — מנסחים

בסיס בצלע

(12 - 2x)

, גובה x. תחום:

0 < x < 6

בדיקה מהירה

תשובה מספרית

נתונה הפונקציה $f(x) = x^{2} - 6x + 10$ . מצאו את הערך המינימלי של הפונקציה בעזרת הנגזרת.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

נתונה הפונקציה $f(x) = x^{3} - 3x$ בתחום הסגור [0, 2]. מצאו את הערך המקסימלי (המוחלט) של הפונקציה בתחום זה.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

חקלאי גודר מכלאה מלבנית הצמודה לקיר ארוך וישר. הקיר משמש כאחת הצלעות, ולכן יש לגדר רק שלוש צלעות: שתי צלעות הניצבות לקיר וצלע אחת המקבילה לו. ברשותו 60 מטר גדר. מהו השטח המקסימלי (במ"ר) שניתן לגדר?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 5: פונקציית שורש

מצאו את ה-x שבו $f(x) = x \cdot \sqrt{12 - x}$ מקבלת ערך מקסימלי $(0 \le x \le 12)$

f^{'} (x) = \frac{24 - 3 x}{2 12 - x} = 0 \Rightarrow x = 8

בפונקציית שורש, הנגזרת היא שבר — והוא מתאפס כאשר המונה מתאפס.

שלב 1 — כלל המכפלה

(\sqrt{12 - x})' = -\frac{1}{2\sqrt{12 - x}}

, אז

f'(x) = \sqrt{12 - x} - \frac{x}{2\sqrt{12 - x}}

בדיקה מהירה

תשובה מספרית

מגיליון פח ריבועי שאורך צלעו 12 ס"מ בונים קופסה פתוחה (ללא מכסה) על ידי גזירת ריבוע זהה בכל פינה וקיפול הדפנות כלפי מעלה. אם אורך צלע הריבוע הנגזר הוא x ס"מ, מהו הנפח המקסימלי של הקופסה (בסמ"ק)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: עוצרים ב- $f'(x)=0$ בלי לוודא

טעות: "מצאתי x = 3, סיימתי."

נכון: בודקים אם זה מקסימום או מינימום. ב- $f (x) = x^{3}$ הנגזרת מתאפסת ב-x=0, אבל זו אינה נקודת קיצון אלא פיתול אופקי.

למה זה קורה?

תלמידים חושבים שמציאת x שבו הנגזרת מתאפסת מסיימת את הבעיה.

איך מתקנים?

f'(x)=0

הוא תנאי הכרחי בלבד. תמיד מוודאים את סוג הקיצון לפי שינוי סימן הנגזרת או לפי הסימן של f''.

תשובה קצרה

נתונה הפונקציה $f(x) = x \cdot \sqrt{12 - x}$ בתחום $0 \le x \le 12$ . בעזרת הנגזרת, מצאו את ערך ה-x שבו הפונקציה מקבלת את ערכה המקסימלי. ענו במספר.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעות נפוצה: מתעלמים מהקצוות בתחום סגור

ב- $f (x) = x^{3} - 3 x$ על [0, 2]: הנגזרת מתאפסת ב-x=1 ונותנת f(1) = −2, אבל המקסימום (2) מתקבל דווקא בקצה x=2.

למה זה קורה?

מחפשים את הקיצון רק במקום שבו הנגזרת מתאפסת.

איך מתקנים?

בתחום סגור [a, b], הקיצון המוחלט יכול להתקבל בקצה. בודקים את f בכל הנקודות החשודות וגם ב-

x=a

וב-

x=b

טעות נפוצה: מבלבלים בין משתנה הבעיה לערך המטרה

אם נשאל "מהו השטח המקסימלי?" — לא מספיק לכתוב x=15. צריך A(15)=450.

למה זה קורה?

עונים על ה-x שבו מתקבל הקיצון במקום על ערך הקיצון עצמו (או להפך).

איך מתקנים?

קראו שוב את השאלה: שואלים על המידה (x), על השטח, על הנפח או על הרווח? הציבו את ה-x בפונקציה כדי לקבל את הערך המבוקש.

טעות נפוצה: מתעלמים מתחום ההגדרה הפיזיקלי

בבעיית הקופסה התקבל x=2 או x=6. הערך x=6 נותן בסיס 12 − 12 = 0 — אין קופסה, ולכן נפסל.

למה זה קורה?

מקבלים כל פתרון אלגברי של

f'(x)=0

בלי לבדוק אם הוא אפשרי.

איך מתקנים?

בבעיה ממשית, אורך וגובה חייבים להיות חיוביים. פותרים את הפתרונות שאינם אפשריים (למשל

x=6

בקופסה שבסיסה

12 - 2x)

טעות נפוצה: שגיאה בגזירת פונקציית שורש

(x 12 - x)^{'} = 12 - x - \frac{x}{2 12 - x} = \frac{24 - 3 x}{2 12 - x}

למה זה קורה?

שוכחים את כלל המכפלה או את הנגזרת של השורש.

איך מתקנים?

זכרו:

(\sqrt{g(x}))' = g'(x)/(2\sqrt{g(x}))

. בפונקציה כמו

x \cdot \sqrt{12 - x}

חובה כלל מכפלה.

סיכום

מה למדנו?

שיטת העבודה לבעיית קיצון:

ניסוח — גודל המטרה כפונקציה של משתנה אחד + תחום הגדרה.
גזירה — מחשבים f'(x).
פתרון f'(x)=0 — נקודות חשודות.
וידוא — סוג הקיצון; בתחום סגור גם הקצוות.
מענה ופירוש — עונים בדיוק על מה שנשאל.

נקודות מפתח:

f'(x)=0 הכרחי אך לא מספיק — תמיד מוודאים.
בתחום סגור בודקים את הקצוות.
בפונקציית שורש הנגזרת היא שבר — מתאפס כשהמונה מתאפס.
פוסלים פתרונות שאינם אפשריים פיזיקלית.

עכשיו אתם יודעים לתרגם בעיה מילולית לפונקציה, למצוא את הקיצון ולפרש את משמעותו!

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על פתרון בעיות קיצון בעזרת הנגזרת!

בעיות קיצון בעזרת הנגזרת

בעיות קיצון בעזרת הנגזרת

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: מינימום של פרבולה

מצאו את הערך המינימלי של f(x)=x2−6x+10f(x) = x^{2} - 6x + 10f(x)=x2−6x+10

דוגמה 2: קיצון מוחלט בתחום סגור

מצאו את הערך המקסימלי של f(x)=x3−3xf(x) = x^{3} - 3xf(x)=x3−3x בתחום [0, 2]

דוגמה 3: בעיית גידור (גאומטריה + תחום פתוח)

עם 60 מ' גדר גודרים מכלאה מלבנית הצמודה לקיר (3(3(3 צלעות). מהו השטח המקסימלי?

דוגמה 4: קופסה פתוחה (גאומטריית המרחב)

מגיליון ריבועי 12×1212 \times 1212×12 ס״מ גוזרים ריבוע בצלע x מכל פינה ומקפלים. מהו הנפח המקסימלי?

בדיקה מהירה

דוגמה 5: פונקציית שורש

מצאו את ה-x שבו f(x)=x⋅12−xf(x) = x \cdot \sqrt{12 - x}f(x)=x⋅12−x​ מקבלת ערך מקסימלי (0≤x≤12)(0 \le x \le 12)(0≤x≤12)

בדיקה מהירה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: עוצרים ב-f′(x)=0f'(x)=0f′(x)=0 בלי לוודא

טעות נפוצה: מתעלמים מהקצוות בתחום סגור

טעות נפוצה: מבלבלים בין משתנה הבעיה לערך המטרה

טעות נפוצה: מתעלמים מתחום ההגדרה הפיזיקלי

טעות נפוצה: שגיאה בגזירת פונקציית שורש

סיכום

תרגול נוסף

מצאו את הערך המינימלי של $f(x) = x^{2} - 6x + 10$

מצאו את הערך המקסימלי של $f(x) = x^{3} - 3x$ בתחום [0, 2]

עם 60 מ' גדר גודרים מכלאה מלבנית הצמודה לקיר $(3$ צלעות). מהו השטח המקסימלי?

מגיליון ריבועי $12 \times 12$ ס״מ גוזרים ריבוע בצלע x מכל פינה ומקפלים. מהו הנפח המקסימלי?

מצאו את ה-x שבו $f(x) = x \cdot \sqrt{12 - x}$ מקבלת ערך מקסימלי $(0 \le x \le 12)$

טעות נפוצה: עוצרים ב- $f'(x)=0$ בלי לוודא