בעיות קיצון ללא נגזרת

מבוא

הנגזרת היא כלי רב-עוצמה לבעיות קיצון — אבל לא תמיד היא נחוצה. כשהמודל של הבעיה הוא פונקציה ריבועית, אנחנו כבר יודעים בדיוק היכן הקיצון: בקודקוד הפרבולה. רבות מבעיות הקיצון הקלאסיות (שטח מקסימלי בהיקף נתון, מכפלה מקסימלית בסכום נתון, גובה מקסימלי של כדור נזרק) מובילות לפרבולה, ולכן ניתן לפתור אותן בכלים אלגבריים בלבד. בשיעור זה נחזק שתי דרכים: נוסחת הקודקוד $x = - \frac{b}{2 a}$ ושיטת ההשלמה לריבוע. נראה גם טריק יפה: כדי למזער שורש, מספיק למזער את מה שמתחתיו.

מטרות השיעור

למצוא את הקיצון של פונקציה ריבועית בעזרת קודקוד הפרבולה: $x = - \frac{b}{2 a}$
להשתמש בהשלמה לריבוע כדי לכתוב $f (x) = a (x - h)^{2} + k$ ולקרוא את הקיצון
לקבוע אם הקיצון הוא מקסימום או מינימום לפי הסימן של a
לתרגם בעיה מילולית למודל ריבועי ולפתור אותה ללא נגזרת
לזהות שמינימום של $g (x)$ מתקבל היכן ש-g(x) מינימלי

הרעיון המרכזי

קיצון של פרבולה — בלי נגזרת

לפונקציה ריבועית $f (x) = a x^{2} + b x + c$ :

שיעור הקודקוד: $x = - \frac{b}{2 a}$

סוג הקיצון לפי הסימן של a:

a > 0 → הפרבולה פתוחה כלפי מעלה → הקודקוד הוא מינימום
a < 0 → הפרבולה פתוחה כלפי מטה → הקודקוד הוא מקסימום

השלמה לריבוע: כותבים $f (x) = a (x - h)^{2} + k$ . אז הקיצון הוא k ומתקבל ב-x = h.

שורש: הפונקציה $t$ עולה, ולכן $g (x)$ מינימלי בדיוק היכן ש-g(x) מינימלי.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: מינימום בעזרת הקודקוד

מצאו את הערך המינימלי של $f(x) = x^{2} - 8x + 20$

x = - \frac{b}{2 a} = 4, f (4) = 4

שלב 1 — שיעור הקודקוד

x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-8}{2 \cdot 1} = 4

דוגמה 2: השלמה לריבוע

מצאו את הערך המינימלי של $f(x) = x^{2} - 8x + 20$ בהשלמה לריבוע

x^{2} - 8 x + 20 = (x - 4)^{2} + 4 \geq 4

שימו לב: אסור לשכוח את ההתאמה −16 בשלב 3!

שלב 1 — חצי ממקדם x בריבוע

(-\frac{8}{2})^{2} = (-4)^{2} = 16

דוגמה 3: מכפלה מקסימלית (סכום נתון)

סכום שני מספרים הוא 30. מהי המכפלה המקסימלית שלהם?

P (x) = - x^{2} + 30 x, x = 15 \Rightarrow P = 225

משמעות: מבין כל הזוגות בעלי סכום קבוע, המכפלה מקסימלית כשהמספרים שווים.

שלב 1 — מנסחים

מספר אחד x, השני

30 - x

. תחום:

0 \le x \le 30

דוגמה 4: גובה מקסימלי של כדור (פיזיקה)

גובה כדור: $h(t) = -5t^{2} + 20t + 25$ . מהו הגובה המקסימלי?

h (t) = - 5 (t - 2)^{2} + 45, h_{m a x} = 45

שלב 1 — סוג הקיצון

a = -5 < 0

— הקודקוד הוא מקסימום (מתאים: הכדור עולה ואז יורד)

בדיקה מהירה

תשובה מספרית

נתונה הפונקציה $f(x) = x^{2} - 8x + 20$ . מצאו את הערך המינימלי שלה בעזרת קודקוד הפרבולה (ללא נגזרת).

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

סכומם של שני מספרים אי-שליליים הוא 30. מהי המכפלה המקסימלית שלהם? פתרו ללא נגזרת.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

גנן מתכנן ערוגה מלבנית ויש לו 36 מטר של גדר נמוכה להקיף את כל ארבע צלעותיה. מהו השטח המקסימלי (במ"ר) של הערוגה? פתרו ללא נגזרת.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 5: מזעור שורש בלי נגזרת

מצאו את הערך המינימלי של $f(x) = \sqrt{x^{2} - 6x + 13}$

x^{2} - 6 x + 13 = (x - 3)^{2} + 4 \geq 4 = 2

אין צורך לגזור — מספיק למזער את מה שמתחת לשורש!

שלב 1 — רעיון מפתח

השורש עולה, אז ממזערים את הביטוי שמתחתיו

בדיקה מהירה

תשובה קצרה

מצאו את הערך המינימלי של $f(x) = \sqrt{x^{2} - 6x + 13}$ , ללא נגזרת. ענו במספר.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

כדור נזרק כלפי מעלה, וגובהו (במטרים) אחרי t שניות נתון על ידי $h(t) = -5t^{2} + 20t + 25$ . מהו הגובה המקסימלי (במטרים) שאליו מגיע הכדור? פתרו ללא נגזרת.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מנחשים את הקודקוד במקום לחשב

ב- $f (x) = - x^{2} + 30 x$ : $x = - \frac{30}{2 \cdot ( - 1 )} = 15$ — לא 30 ולא −15.

למה זה קורה?

תלמידים מנסים 'לראות' איפה השיפוע אפס במקום להשתמש בנוסחה.

איך מתקנים?

השתמשו תמיד בנוסחה המדויקת

x = -\frac{b}{2a}

. שימו לב לסימן המינוס ולחלוקה ב-2a (ולא ב-a).

טעות נפוצה: מניחים שהקודקוד הוא תמיד מינימום

ב- $h (t) = - 5 t^{2} + 20 t + 25$ המקדם a=-5<0, ולכן הקודקוד הוא מקסימום (גובה מקסימלי).

למה זה קורה?

לא שמים לב לסימן של a.

איך מתקנים?

אם

a < 0

הפרבולה פתוחה כלפי מטה והקודקוד הוא מקסימום. בדקו תמיד את הסימן של a לפני שקובעים את סוג הקיצון.

טעות נפוצה: שוכחים את ההתאמה בהשלמה לריבוע

טעות: $x^{2} - 6 x + 13 = (x - 3)^{2} + 13$

נכון: $x^{2} - 6 x + 13 = (x - 3)^{2} - 9 + 13 = (x - 3)^{2} + 4$

למה זה קורה?

ממירים

x^{2} - 6x

ל-

(x - 3)^{2}

בלי לחסר את 9.

איך מתקנים?

(x - 3)^{2} = x^{2} - 6x + 9

, אז

x^{2} - 6x = (x - 3)^{2} - 9

. חובה לחסר את מה שהוספנו, אחרת הביטוי לא שקול.

טעות נפוצה: מנסים למזער שורש ישירות

כדי למזער $(x - 3)^{2} + 4$ , ממזערים את $(x - 3)^{2} + 4$ (שמינימומו 4) ואז $4 = 2$ .

למה זה קורה?

לא מזהים שהשורש הוא פונקציה עולה.

איך מתקנים?

מכיוון ש-

√t

עולה

, \sqrt{g(x})

מינימלי בדיוק היכן ש-g(x) מינימלי. ממזערים את הרדיקנד ואז מוציאים שורש.

טעות נפוצה: עונים על ה-x במקום על ערך הקיצון

בכדור: זמן השיא הוא t=2, אבל הגובה המקסימלי הוא h(2)=45 מ'.

למה זה קורה?

מבלבלים בין מיקום הקיצון לערכו.

איך מתקנים?

קראו את השאלה: שואלים 'מהו הגובה/השטח/המכפלה המקסימלית' (ערך) או 'מתי/באיזה x' (מיקום)? הציבו כדי לקבל את הערך.

סיכום

מה למדנו?

קיצון של פרבולה בלי נגזרת:

קודקוד: $x = - \frac{b}{2 a}$ , ואז מציבים לקבלת ערך הקיצון.
השלמה לריבוע: $f (x) = a (x - h)^{2} + k$ → הקיצון הוא k.
סוג הקיצון: a>0 מינימום, a<0 מקסימום.
שורש: $g (x)$ מינימלי היכן ש-g(x) מינימלי.

נקודות מפתח:

בבעיות שטח/מכפלה/גובה רבות המודל הוא פרבולה — אין צורך בנגזרת.
בדקו את הסימן של a לפני קביעת סוג הקיצון.
בהשלמה לריבוע אל תשכחו את ההתאמה של האיבר החופשי.
ענו בדיוק על מה שנשאל — מיקום הקיצון או ערכו.

עכשיו יש לכם כלי אלגברי מהיר ומדויק לבעיות קיצון מתאימות!

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על פתרון בעיות קיצון ללא נגזרת!

בעיות קיצון ללא נגזרת

בעיות קיצון ללא נגזרת

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: מינימום בעזרת הקודקוד

מצאו את הערך המינימלי של f(x)=x2−8x+20f(x) = x^{2} - 8x + 20f(x)=x2−8x+20

דוגמה 2: השלמה לריבוע

מצאו את הערך המינימלי של f(x)=x2−8x+20f(x) = x^{2} - 8x + 20f(x)=x2−8x+20 בהשלמה לריבוע

דוגמה 3: מכפלה מקסימלית (סכום נתון)

סכום שני מספרים הוא 30. מהי המכפלה המקסימלית שלהם?

דוגמה 4: גובה מקסימלי של כדור (פיזיקה)

גובה כדור: h(t)=−5t2+20t+25h(t) = -5t^{2} + 20t + 25h(t)=−5t2+20t+25. מהו הגובה המקסימלי?

בדיקה מהירה

דוגמה 5: מזעור שורש בלי נגזרת

מצאו את הערך המינימלי של f(x)=x2−6x+13f(x) = \sqrt{x^{2} - 6x + 13}f(x)=x2−6x+13​

בדיקה מהירה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מנחשים את הקודקוד במקום לחשב

טעות נפוצה: מניחים שהקודקוד הוא תמיד מינימום

טעות נפוצה: שוכחים את ההתאמה בהשלמה לריבוע

טעות נפוצה: מנסים למזער שורש ישירות

טעות נפוצה: עונים על ה-x במקום על ערך הקיצון

סיכום

תרגול נוסף

מצאו את הערך המינימלי של $f(x) = x^{2} - 8x + 20$

מצאו את הערך המינימלי של $f(x) = x^{2} - 8x + 20$ בהשלמה לריבוע

גובה כדור: $h(t) = -5t^{2} + 20t + 25$ . מהו הגובה המקסימלי?

מצאו את הערך המינימלי של $f(x) = \sqrt{x^{2} - 6x + 13}$