משפט הקוסינוסים

מבוא

משפט הסינוסים נהדר כשנתונות זוויות — אבל מה עושים כשנתונות שתי צלעות והזווית שביניהן, או אפילו שלוש צלעות בלי שום זווית? במצבים אלה משפט הסינוסים לבדו לא מספיק. כאן נכנס משפט הקוסינוסים: הכללה יפהפייה של משפט פיתגורס שעובדת לכל משולש.

מטרות השיעור

לנסח את משפט הקוסינוסים: $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos γ$
להבין מדוע הוא הכללה של משפט פיתגורס
למצוא צלע שלישית כשנתונות שתי צלעות והזווית הכלואה
למצוא זווית כשנתונות שלוש הצלעות, ולזהות אם היא חדה, ישרה או קהה

הרעיון המרכזי

משפט הקוסינוסים

בכל משולש ABC, עבור הצלע c שמול הזווית $γ$ :

c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos γ

ובסימטריה, לכל צלע:

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β

שלושה דברים לזכור: מופיע קוסינוס, המקדם הוא 2, והסימן הוא מינוס.

מציאת זווית (כשנתונות שלוש צלעות) — מבודדים את הקוסינוס:

cos γ = \frac{a ^{2} + b ^{2} - c ^{2}}{2 ab}

הקשר לפיתגורס

כש- $γ = 9 0^{\circ}$ מתקיים $cos 9 0^{\circ} = 0$ , והאיבר $- 2 ab cos γ$ מתאפס:

c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab \cdot 0 = a^{2} + b^{2}

זהו בדיוק משפט פיתגורס! לכן משפט הקוסינוסים מכליל אותו לכל זווית. האיבר $- 2 ab cos γ$ הוא "תיקון" המתאר כמה המשולש רחוק מלהיות ישר-זווית.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1 — מציאת צלע שלישית (זווית חדה)

c^{2} = 25 + 64 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} = 49 \Rightarrow c = 7

שלב 1 — נתונים

a=5, b=8, \gamma =60^{\circ}

כלואה ביניהן.

תשובה מספרית

במשולש נתונות שתי צלעות $a = 5$ ו- $b = 8$ , והזווית הכלואה ביניהן $\gamma = 60^{\circ}$ . מצאו את אורך הצלע השלישית c.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2 — מציאת צלע שלישית (זווית קהה)

c^{2} = 9 + 25 - 30 \cdot (- \frac{1}{2}) = 34 + 15 = 49

הסימן השלילי של $cos 12 0^{\circ}$ הופך את האיבר לחיובי ומגדיל את c — הגיוני, כי זווית קהה "פותחת" את המשולש.

שלב 1 — נתונים

a=3, b=5, \gamma =120^{\circ} (

קהה).

תשובה מספרית

במשולש שתי צלעות $a = 3$ ו- $b = 5$ , והזווית הכלואה ביניהן $\gamma = 120^{\circ}$ . מצאו את אורך הצלע השלישית c.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3 — מציאת זווית משלוש צלעות

cos γ = \frac{49 + 64 - 169}{112} = - \frac{1}{2} \Rightarrow γ = 12 0^{\circ}

זו הזווית מול הצלע הגדולה ביותר, ולכן הגיוני שהיא הגדולה ביותר — וקהה.

שלב 1 — נתונים

צלעות 7, 8, 13. מחפשים את הזווית מול 13.

בדיקה מהירה

במשולש שלוש צלעות: 7, 8 ו-13. מהי הזווית שמול הצלע הגדולה ביותר (מול הצלע 13)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

במשולש שלוש צלעות: 8, 15 ו-13. מצאו את גודל הזווית שמול הצלע 13 (במעלות).

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4 — אלכסון במקבילית

d^{2} = 25 + 64 - 80 cos 6 0^{\circ} = 49 \Rightarrow d = 7

זוויות סמוכות במקבילית משלימות ל- $18 0^{\circ}$ , ולכן האלכסון השני מול $12 0^{\circ}$ .

שלב 1 — מזהים משולש

האלכסון הקצר, יחד עם שתי הצלעות 5 ו-8 והזווית

60^{\circ}

שביניהן, יוצר משולש.

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: שוכחים את המקדם 2 או את הסימן מינוס

נכון: $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos γ$

למה זה קורה?

התלמיד כותב

c^{2} = a^{2} + b^{2} - ab \cdot \cos \gamma

או עם פלוס.

איך מתקנים?

הנוסחה היא

c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2ab \cdot \cos \gamma

. המקדם 2 והסימן מינוס חיוניים.

טעות נפוצה: מתאימים צלע לזווית שאינה מולה

c \leftrightarrow γ, a \leftrightarrow α, b \leftrightarrow β

למה זה קורה?

התלמיד מציב את הזווית הלא נכונה ביחס לצלע c.

איך מתקנים?

בנוסחה

c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2ab \cdot \cos \gamma

, הזווית

\gamma

חייבת להיות מול הצלע c, ו-a,b הן הצלעות הכולאות אותה.

טעות נפוצה: פוסלים זווית קהה כי הקוסינוס שלילי

$cos γ = - 0.5 \Rightarrow γ = 12 0^{\circ}$ (תקין לחלוטין)

למה זה קורה?

התלמיד חושב שתוצאה שלילית של קוסינוס היא שגיאה.

איך מתקנים?

קוסינוס שלילי פירושו פשוט שהזווית קהה (בין

90^{\circ}

ל-

180^{\circ})

. אין צורך בערך מוחלט — קבלו את הזווית הקהה.

טעות נפוצה: שוכחים להוציא שורש בסוף

$c^{2} = 49 \Rightarrow c = 7$ (לא 49!)

למה זה קורה?

הנוסחה נותנת את

c^{2}

, והתלמיד עוצר שם.

איך מתקנים?

הנוסחה נותנת את c בריבוע. כדי לקבל את אורך הצלע, הוציאו שורש:

c = \sqrt{c^{2}}

סיכום

מה למדנו?

משפט הקוסינוסים: $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos γ$
מכליל את פיתגורס: כש- $γ = 9 0^{\circ}$ האיבר עם הקוסינוס מתאפס
שימושי כשנתונות שתי צלעות והזווית הכלואה (מוצאים צלע שלישית)
וכשנתונות שלוש צלעות (מוצאים זווית): $cos γ = \frac{a ^{2} + b ^{2} - c ^{2}}{2 ab}$
סימן $a^{2} + b^{2} - c^{2}$ מגלה אם $γ$ חדה (חיובי), ישרה (אפס) או קהה (שלילי)

כל הכבוד! עכשיו יש לכם כלי לכל משולש — גם בלי אף זווית נתונה.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על משפט הקוסינוסים!