משפט הסינוסים

מבוא

בשיעור הקודם ראינו כיצד לחשב שטח משולש משתי צלעות והזווית שביניהן. עכשיו נשאל שאלה הפוכה: אם נתונות זוויות וצלע אחת, כיצד נמצא את שאר הצלעות? משפט הסינוסים נותן קשר ישיר ויפהפה בין כל צלע לבין הזווית שמולה — וגם מקשר את המשולש למעגל החוסם אותו.

מטרות השיעור

לנסח את משפט הסינוסים: $\frac{a}{sin α} = \frac{b}{sin β} = \frac{c}{sin γ}$
להוכיח אותו בעזרת נוסחת השטח
להוכיח את השוויון $\frac{a}{sin α} = 2 R$ בעזרת המעגל החוסם
להשתמש במשפט לחישוב צלע, זווית ורדיוס המעגל החוסם

הרעיון המרכזי

משפט הסינוסים

בכל משולש ABC, היחס בין כל צלע לסינוס הזווית שמולה הוא קבוע, והוא שווה לקוטר המעגל החוסם:

\frac{a}{sin α} = \frac{b}{sin β} = \frac{c}{sin γ} = 2 R

a היא הצלע שמול הזווית $α$ (וכן הלאה)
R הוא רדיוס המעגל החוסם את המשולש
שימו לב: היחס שווה ל-2R (הקוטר), לא ל-R

הוכחה בעזרת נוסחת השטח

מהשיעור הקודם, שטח המשולש הוא בו-זמנית $S = \frac{1}{2} ab sin γ = \frac{1}{2} b c sin α = \frac{1}{2} a c sin β$ . נכפיל את שלושת הביטויים ב- $\frac{2}{ab c}$ :

\frac{2 S}{ab c} = \frac{sin γ}{c} = \frac{sin α}{a} = \frac{sin β}{b}

נהפוך את השברים ונקבל את משפט הסינוסים. ההוכחה דרך המעגל (למטה) מוסיפה את הערך של הקבוע: 2R.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1 — מציאת צלע משתי זוויות וצלע

b = \frac{a sin β}{sin α} = \frac{10 sin 4 5 ^{\circ}}{sin 3 0 ^{\circ}} = 102

בקרה: $β > α$ ולכן צפוי b > a — ואכן.

שלב 1 — נתונים

\alpha =30^{\circ}, \beta =45^{\circ}, a=10 (a

מול

\alpha )

. מבקשים את b (מול

\beta )

בדיקה מהירה

במשולש ABC נתון: $\alpha = 30^{\circ}, \beta = 45^{\circ}$ , והצלע a (מול $\alpha )$ שווה 10. מהו אורך הצלע b (מול $\beta )$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2 — קוטר המעגל החוסם

2 R = \frac{a}{sin α} = \frac{5}{sin 3 0 ^{\circ}} = 10

שלב 1 — נתונים

a=5, \alpha =30^{\circ}

. מבקשים את 2R.

תשובה מספרית

במשולש, הצלע $a = 5$ נמצאת מול זווית $\alpha = 30^{\circ}$ . מצאו את קוטר המעגל החוסם את המשולש $(2R)$ .

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

רדיוס המעגל החוסם משולש הוא $R = 6$ . זווית $\alpha$ במשולש שווה $30^{\circ}$ . מצאו את אורך הצלע a שמול הזווית $\alpha$ .

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3 — הוכחת $\frac{a}{\sin } \alpha = 2R$ דרך המעגל

sin α = \frac{a}{2 R} \Rightarrow \frac{a}{sin α} = 2 R

ההוכחה הזו נותנת לנו לא רק את השוויון בין היחסים אלא גם את הערך שלהם.

שלב 1 — המיתר במעגל

מציירים את המעגל החוסם. הצלע a היא מיתר בו.

דוגמה 4 — משולש עם זווית קהה

b = \frac{4 sin 12 0 ^{\circ}}{sin 3 0 ^{\circ}} = 43

הזווית השלישית $γ = 18 0^{\circ} - 3 0^{\circ} - 12 0^{\circ} = 3 0^{\circ}$ , ולכן c = a = 4.

שלב 1 — נתונים

\alpha =30^{\circ}, \beta =120^{\circ}, a=4

. מבקשים את b.

תשובה מספרית

במשולש ABC נתון: $\alpha = 30^{\circ}, \beta = 120^{\circ}$ , והצלע a (מול $\alpha )$ שווה 4. מצאו את אורך הצלע b (מול $\beta )$ . עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

סטייה מותרת: ±0.05

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: התאמה שגויה בין צלע לזווית

נכון: $\frac{a}{sin α} = \frac{b}{sin β}$ (a מול α, b מול β)

למה זה קורה?

התלמיד מחלק צלע בסינוס של זווית סמוכה ולא של הזווית שמולה.

איך מתקנים?

כל צלע מתחלקת בסינוס הזווית שמולה: a עם

\alpha , b

עם

\beta , c

עם

\gamma

. סמנו תמיד מי מול מי לפני שמציבים.

טעות נפוצה: בלבול בין R ל-2R

\frac{a}{sin α} = 2 R \neq = R

למה זה קורה?

התלמיד זוכר שהיחס קשור למעגל החוסם, אך שוכח שהוא שווה לקוטר ולא לרדיוס.

איך מתקנים?

\frac{a}{\sin } \alpha = 2R

. אם חישבתם את היחס וקיבלתם 10, זה הקוטר; הרדיוס הוא 5.

טעות נפוצה: חושבים שמשפט הסינוסים תמיד נותן משולש יחיד

sin β = 0.8 \Rightarrow β = 53.1 3^{\circ} או 126.8 7^{\circ}

למה זה קורה?

כשמחפשים זווית מ-

\sin

של זווית, נדמה שיש פתרון אחד.

איך מתקנים?

למשוואה

\sin \beta = k (

כש-

0<k<1)

שני פתרונות בין

0^{\circ}

ל-

180^{\circ}:

זווית חדה וזווית קהה. כשנתונות שתי צלעות וזווית מול הקטנה — בדקו את שתי האפשרויות (המקרה הדו-משמעי).

טעות נפוצה: הופכים את השבר לא נכון

נכון: $b = \frac{a sin β}{sin α}$ — הסינוס של הזווית שמול הצלע המבוקשת נמצא במונה.

למה זה קורה?

כדי לבודד צלע צריך לכפול בסינוס הנכון, ותלמידים מתבלבלים.

איך מתקנים?

מ-

\frac{b}{\sin } \beta = \frac{a}{\sin } \alpha

מקבלים

b = a \cdot \sin \frac{\beta }{\sin } \alpha (

כופלים את שני האגפים ב-

\sin \beta )

סיכום

מה למדנו?

משפט הסינוסים: $\frac{a}{sin α} = \frac{b}{sin β} = \frac{c}{sin γ} = 2 R$
מוכיחים אותו דרך נוסחת השטח, ואת הערך 2R דרך המעגל החוסם
שימושי כשנתונות שתי זוויות וצלע, או צלע, זווית שמולה ועוד נתון
מאפשר גם למצוא את רדיוס המעגל החוסם: $R = \frac{a}{2 sin α}$
שימו לב למקרה הדו-משמעי שבו $sin β$ נותן שתי זוויות אפשריות

כל הכבוד! עכשיו אתם יכולים לקשר בין צלעות, זוויות והמעגל החוסם.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על משפט הסינוסים!

משפט הסינוסים

משפט הסינוסים

מבוא

הרעיון המרכזי

הוכחה בעזרת נוסחת השטח

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1 — מציאת צלע משתי זוויות וצלע

דוגמה 2 — קוטר המעגל החוסם

דוגמה 3 — הוכחת asin⁡α=2R\frac{a}{\sin } \alpha = 2Rsina​α=2R דרך המעגל

דוגמה 4 — משולש עם זווית קהה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: התאמה שגויה בין צלע לזווית

טעות נפוצה: בלבול בין R ל-2R

טעות נפוצה: חושבים שמשפט הסינוסים תמיד נותן משולש יחיד

טעות נפוצה: הופכים את השבר לא נכון

סיכום

תרגול נוסף

דוגמה 3 — הוכחת $\frac{a}{\sin } \alpha = 2R$ דרך המעגל