פתרון משולשים, יישומים והמקרה הדו-משמעי

30%
📖שיעור
60 דקות

פתרון משולשים, יישומים והמקרה הדו-משמעי

בשיעור זה נלמד לבחור בין משפט הסינוסים לקוסינוסים, לפתור בעיות יישומיות, ולטפל במקרה הדו-משמעי שבו ייתכנו שני משולשים — תוך בקרה על הנתונים

פתרון משולשים, יישומים והמקרה הדו-משמעי

מבוא

עכשיו, כשיש בידינו שלושה כלים — נוסחת השטח, משפט הסינוסים ומשפט הקוסינוסים — נשאלת שאלה מעשית: באיזה כלי להשתמש מתי? ויש עוד הפתעה מעניינת: לפעמים אותם נתונים מתאימים לשני משולשים שונים. בשיעור הזה נלמד לבחור נכון, לפתור בעיות מהחיים, ולזהות את המקרה הדו-משמעי.

מטרות השיעור

  • לבחור בין משפט הסינוסים למשפט הקוסינוסים לפי הנתונים
  • לפתור בעיות יישומיות (מרחקים, ניווט, מסלולים)
  • לזהות ולפתור את המקרה הדו-משמעי בעזרת
  • לבצע בקרה: עודף נתונים, חוסר נתונים וסדרי גודל

הרעיון המרכזי

איזה משפט לבחור?

  • שתי צלעות + הזווית הכלואה (צ.ז.צ) ⟸ משפט הקוסינוסים (מוצאים צלע שלישית)
  • שלוש צלעות (צ.צ.צ) ⟸ משפט הקוסינוסים (מוצאים זווית)
  • שתי זוויות + צלע, או צלע מול זווית ידועה ⟸ משפט הסינוסים

המקרה הדו-משמעי: כשנתונות שתי צלעות וזווית מול הקטנה מביניהן, המשוואה נותנת שתי זוויות — חדה וקהה — ולכן ייתכנו שני משולשים.

למה יש שני פתרונות?

הסיבה היא הזהות . אם מצאנו , אז גם וגם מקיימים את המשוואה. כל אחת מהן עשויה לתת משולש תקין. זה קשור ישירות למשפט החפיפה הרביעי: שתי צלעות וזווית מול הקטנה אינן קובעות משולש יחיד.


דוגמאות מפורטות

דוגמה 1 — בעיית מרחק (משפט הקוסינוסים)

1

שלב 1 — מתרגמים לציור

מנקודת מוצא יוצאים שני שבילים, 3 ק״מ ו-8 ק״מ, בזווית 6060^{\circ} ביניהם. מבקשים את המרחק בין הקצוות.
תשובה מספרית

משתי נקודות יוצאים שני שבילים ישרים מאותה נקודת מוצא: אחד באורך 3 ק"מ והשני באורך 8 ק"מ, והזווית ביניהם 6060^{\circ}. מהו המרחק (בק"מ) בין הקצוות של שני השבילים?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם


דוגמה 2 — שני מטוסים (זווית קהה)

1

שלב 1 — ציור

משדה תעופה יוצאים שני מטוסים, 7 ק״מ ו-14 ק״מ, בזווית 120120^{\circ} ביניהם.

דוגמה 3 — המקרה הדו-משמעי (שני פתרונות)

שתי האפשרויות תקפות, ולכן יש כאן שני משולשים.

1

שלב 1 — נתונים

a=5,b=8,α=30(a=5, b=8, \alpha =30^{\circ} (מול a, שהיא הקטנה). מבקשים את β\beta.
נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: כאשר נתונות שתי צלעות והזווית מול הקטנה מביניהן, ייתכנו שני משולשים שונים המקיימים את הנתונים.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

במשולש ABC נתון: a=5,b=8a = 5, b = 8, והזווית α=30(\alpha = 30^{\circ} (מול a). זהו מקרה דו-משמעי. מצאו את הגודל הקהה האפשרי של הזווית β(\beta (במעלות, עגלו לשתי ספרות).

סטייה מותרת: ±0.1

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם


דוגמה 4 — מתי יש משולש יחיד?

כלל: כשהזווית הנתונה נמצאת מול הצלע הגדולה מבין השתיים, יש בדיוק משולש אחד.

1

שלב 1 — נתונים

a=8,b=5,α=30(a=8, b=5, \alpha =30^{\circ} (מול a, שהיא הגדולה מבין השתיים).
בדיקה מהירה

במשולש נתון: a=8,b=5a = 8, b = 5, והזווית α=30(\alpha = 30^{\circ} (מול a, שהיא הצלע הגדולה מבין השתיים). כמה משולשים שונים מקיימים את הנתונים?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם


טעויות נפוצות

טעות נפוצה: בוחרים את המשפט הלא נכון

שתי צלעות + זווית כלואה ⟸

למה זה קורה?

התלמיד מנסה משפט הסינוסים כשנתונות שתי צלעות והזווית הכלואה — ונתקע, כי אין זוג צלע-וזווית-שמולה.

איך מתקנים?

צ.ז.צ או צ.צ.צ ⟸ קוסינוסים. צלע מול זווית ידועה ⟸ סינוסים. סמנו את הנתונים לפני שמתחילים.

טעות נפוצה: מתעלמים מהפתרון הקהה

למה זה קורה?

התלמיד מחשב β\beta מ-sinβ\sin \beta ועוצר אחרי הזווית החדה.

איך מתקנים?

בדקו תמיד את הזווית הקהה 180β:180^{\circ}-\beta : אם α+(180β)<180\alpha +(180^{\circ}-\beta )<180^{\circ} היא נותנת משולש שני תקין.

טעות נפוצה: לא בודקים תקפות של הפתרון

— תנאי הכרחי לקיום המשולש.

למה זה קורה?

התלמיד מקבל את שתי הזוויות בלי לבדוק אם הן באמת אפשריות.

איך מתקנים?

זווית מועמדת תקפה רק אם סכום הזוויות הידועות קטן מ-180180^{\circ}. אחרת אין מקום לזווית השלישית.

טעות נפוצה: מתעלמים מעודף או חוסר נתונים

בקרה: האם התוצאה מייצגת אורך/שטח? האם סדר הגודל הגיוני?

למה זה קורה?

התלמיד לא עוצר לבדוק אם הנתונים עקביים או חסרים.

איך מתקנים?

עודף נתונים ⟸ ודאו שאין סתירה. חוסר נתון ⟸ הגדירו אותו כפרמטר ובטאו את התוצאה בעזרתו. בדקו תמיד סדרי גודל.

סיכום

מה למדנו?

  • בחירת משפט: צ.ז.צ / צ.צ.צ ⟸ קוסינוסים; צלע-מול-זווית ⟸ סינוסים
  • יישומים: מתרגמים בעיה מילולית לציור משולש ובוחרים את המשפט
  • המקרה הדו-משמעי: נותן שתי זוויות; בודקים תקפות של כל אחת
  • כשהזווית מול הצלע הגדולה — משולש יחיד
  • בקרה תמיד: עודף/חוסר נתונים, ויחידות וסדרי גודל

כל הכבוד! עכשיו אתם יודעים לא רק לפתור משולש, אלא גם לבדוק כמה פתרונות יש לו.


תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על פתרון משולשים, יישומים והמקרה הדו-משמעי!

תרגול