נוסחת שטח המשולש לפי סינוס

מבוא

עד עכשיו חישבתם שטח משולש בעזרת הנוסחה $S = \frac{1}{2} \cdot בסיס \cdot גובה$ . אבל פעמים רבות לא נתון לנו הגובה — נתונות שתי צלעות והזווית שביניהן. בשיעור הזה נראה כיצד הטריגונומטריה נותנת לנו כלי ישיר וחזק לחישוב השטח במצב כזה, ונוכיח שהכלי תקף לכל משולש: חד-זווית, ישר-זווית וקהה-זווית.

מטרות השיעור

להכיר את נוסחת השטח $S = \frac{1}{2} ab sin γ$ , שבה $γ$ היא הזווית הכלואה בין הצלעות a ו-b
להוכיח את הנוסחה עבור משולש חד-זווית
להוכיח את הנוסחה עבור משולש קהה-זווית, תוך שימוש בזהות $sin (18 0^{\circ} - γ) = sin γ$
ליישם את הנוסחה לחישוב שטח, למציאת צלע ולמציאת זווית כלואה — תוך שימוש בערכים מדויקים

הרעיון המרכזי

נוסחת השטח

בכל משולש, אם a ו-b הן שתי צלעות ו- $γ$ היא הזווית הכלואה ביניהן, אז שטח המשולש הוא:

S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot sin γ

שלוש דרכים שקולות (כל זוג צלעות עם הזווית שביניהן):

S = \frac{1}{2} ab sin γ = \frac{1}{2} b c sin α = \frac{1}{2} a c sin β

הזווית חייבת להיות כלואה בין שתי הצלעות שאת אורכן הכפלנו — זו הנקודה החשובה ביותר.

למה זה עובד? — ההוכחה למשולש חד-זווית

נתון משולש ABC חד-זווית. נוריד גובה h מהקודקוד C אל הבסיס AB. במשולש ישר-הזווית שנוצר ליד הקודקוד A מתקיים $sin A = \frac{h}{b}$ , כלומר $h = b sin A$ . מכאן:

S = \frac{1}{2} \cdot A B \cdot h = \frac{1}{2} \cdot c \cdot b sin A = \frac{1}{2} b c sin A

באותו אופן בדיוק, אם נבחר צלעות אחרות, נקבל את הזווית הכלואה ביניהן.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1 — שטח לפי שתי צלעות וזווית חדה

S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 \cdot sin 6 0^{\circ} = 20 \cdot \frac{3}{2} = 103

שלב 1 — מזהים את הזווית הכלואה

הצלעות הן

AB=8

ו-

AC=5

, והזווית

A=60^{\circ}

כלואה ביניהן בדיוק.

תשובה מספרית

במשולש ABC נתון: $AB = 8, AC = 5$ , והזווית $A = 60^{\circ}$ . חשבו את שטח המשולש (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

סטייה מותרת: ±0.05

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2 — הוכחת הנוסחה למשולש קהה-זווית

sin (18 0^{\circ} - C) = sin C \Rightarrow S = \frac{1}{2} ab sin C

זו הסיבה שאין צורך בנוסחה נפרדת למשולש קהה-זווית.

שלב 1 — מורידים גובה

במשולש שבו הזווית C קהה, מורידים גובה h מ-B אל הישר שעליו AC. הגובה נופל מחוץ לקטע AC.

דוגמה 3 — שטח עם זווית קהה

S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 5 \cdot sin 12 0^{\circ} = \frac{15}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{15 3}{4}

שלב 1 — נתונים

שתי צלעות 3 ו-5, הזווית הכלואה

120^{\circ}

תשובה מספרית

במשולש נתונות שתי צלעות שאורכן 3 ו-5, והזווית הכלואה ביניהן היא $120^{\circ}$ . חשבו את שטח המשולש (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

סטייה מותרת: ±0.05

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

במשולש שתי צלעות שאורכן 6 ו-8 והזווית הכלואה ביניהן $45^{\circ}$ . מהו השטח המדויק של המשולש?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4 — מהשטח אל זווית כלואה

sin γ = \frac{27}{54} = \frac{1}{2} \Rightarrow γ = 3 0^{\circ} או 15 0^{\circ}

שימו לב: למשוואה $sin γ = \frac{1}{2}$ שני פתרונות בין $0^{\circ}$ ל- $18 0^{\circ}$ .

שלב 1 — מציבים את הנתון

השטח 27, הצלעות 9 ו-

12: 27 = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 12 \cdot \sin \gamma

תשובה מספרית

שטח משולש הוא 27, ושתי הצלעות הכולאות זווית חדה הן 9 ו-12. מצאו את גודל הזווית הכלואה (במעלות).

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 5 — מהשטח אל אורך צלע

30 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot b \cdot \frac{1}{2} = 2.5 b \Rightarrow b = 12

שלב 1 — מסמנים

נסמן את הצלע השנייה ב-b. נתון: שטח 30, צלע 10, זווית כלואה

30^{\circ}

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: משתמשים בזווית שאינה כלואה

טעות: עבור צלעות AB, AC משתמשים ב- $sin B$ .

נכון: הזווית הכלואה בין AB ל-AC היא A, ולכן $S = \frac{1}{2} \cdot A B \cdot A C \cdot sin A$ .

למה זה קורה?

התלמיד מכפיל שתי צלעות ב-

\sin

של זווית כלשהי בלי לבדוק שהזווית כלואה בדיוק ביניהן.

איך מתקנים?

ודאו תמיד שהזווית נמצאת בין שתי הצלעות שאת אורכן הכפלתם. למשל, לצלעות AB ו-AC הזווית הכלואה היא A.

טעות נפוצה: חושבים שהנוסחה לא עובדת לזווית קהה

sin 12 0^{\circ} = sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2}

הנוסחה $S = \frac{1}{2} ab sin γ$ נכונה לכל $0^{\circ} < γ < 18 0^{\circ}$ .

למה זה קורה?

הגובה נופל מחוץ למשולש, ונדמה שצריך נוסחה אחרת או את הזווית החיצונית.

איך מתקנים?

\sin (180^{\circ}-\gamma ) = \sin \gamma

, ולכן בדיוק אותה נוסחה תקפה. אין צורך לשנות דבר — מציבים את הזווית הקהה עצמה.

טעות נפוצה: מבלבלים בין סינוס לקוסינוס

טעות: $S = \frac{1}{2} ab cos γ$

נכון: $S = \frac{1}{2} ab sin γ$

למה זה קורה?

התלמיד זוכר 'צלע כפול צלע כפול פונקציה טריגונומטרית' אך לא איזו.

איך מתקנים?

הגובה הוא

b \cdot \sin \gamma (

לא

b \cdot \cos \gamma )

, ולכן בנוסחת השטח מופיע סינוס. קוסינוס מופיע במשפט הקוסינוסים, לא בשטח.

טעות נפוצה: מעגלים מוקדם מדי במקום לשמור על ערך מדויק

מדויק: $\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot sin 4 5^{\circ} = 24 \cdot \frac{2}{2} = 122$

מקורב בלבד: $\approx 16.97$

למה זה קורה?

התלמיד כותב

\sin 45^{\circ} ≈ 0.707

גם כשנדרשת תשובה מדויקת.

איך מתקנים?

כשנדרש דיוק (למשל בהוכחה או בתשובה סופית מדויקת), השתמשו ב-

\sin 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}

. הקירוב 0.707 מתאים רק לחישוב מספרי מקורב.

סיכום

מה למדנו?

שטח משולש לפי שתי צלעות והזווית הכלואה: $S = \frac{1}{2} ab sin γ$
ההוכחה נשענת על הגובה $h = b sin γ$ ; היא תקפה למשולש חד-זווית ישירות
במשולש קהה-זווית משתמשים ב- $sin (18 0^{\circ} - γ) = sin γ$ , ולכן אותה נוסחה עובדת
אפשר להשתמש בנוסחה גם הפוך: מהשטח למצוא צלע חסרה או זווית כלואה
שומרים על ערכים מדויקים (כמו $sin 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}$ ) כשנדרש דיוק

כל הכבוד! עכשיו יש לכם כלי טריגונומטרי ישיר לחישוב שטח משולש.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על נוסחת שטח המשולש לפי סינוס!