נגזרת הפונקציה 1/x

מבוא

הפונקציה $f (x) = \frac{1}{x}$ היא היפרבולה מוכרת: היא מוגדרת לכל $x \neq = 0$ , יורדת בכל אחד משני הענפים שלה, ומתקרבת לצירים. עד עכשיו חישבנו נגזרות של פולינומים. כעת נחשב — על פי הגדרת הנגזרת — את נגזרת הפונקציה הרציונלית הראשונה שלנו, ונגלה את התוצאה החשובה $f^{'} (x) = - \frac{1}{x ^{2}}$ . ההוכחה הזו תהיה הבסיס לחקירת כל הפונקציות הרציונליות בהמשך היחידה.

מטרות השיעור

להוכיח על פי הגדרת הנגזרת כי $(\frac{1}{x})^{'} = - \frac{1}{x ^{2}}$
להבין מדוע הסימן של הנגזרת שלילי, ולקשר זאת לכך שהפונקציה יורדת בכל ענף
לחשב שיפוע משיק $f^{'} (x_{0})$ בנקודה נתונה
למצוא משוואת משיק לגרף $\frac{1}{x}$ בנקודה שעל הגרף

הרעיון המרכזי

הגדרת הנגזרת והתוצאה

הגדרת הנגזרת (גבול מנת ההפרשים): $f^{'} (x) = lim_{Δ x \to 0} \frac{f ( x + Δ x ) - f ( x )}{Δ x}$

התוצאה עבור $f (x) = \frac{1}{x}$ : $f^{'} (x) = - \frac{1}{x ^{2}}$

מסקנות מיידיות:

$x^{2} > 0$ תמיד, ולכן f'(x) < 0 בכל נקודה ⟵⟶ הפונקציה יורדת בכל ענף.
ככל ש-|x| גדל, $x^{2}$ גדל והשיפוע $- \frac{1}{x ^{2}}$ מתקרב ל-0 (המשיק נעשה מתון יותר).
לכפולה בקבוע: $(\frac{a}{x})^{'} = - \frac{a}{x ^{2}}$ .

הסימון של הגבול ייעשה בעזרת חיצים: כאשר $Δ x \to 0$ הביטוי שואף לערך הנגזרת. זהו חישוב אינטואיטיבי של גבול — נציב את הערך הגבולי לאחר שנצמצם את $Δ x$ מהמכנה.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: ההוכחה המלאה על פי ההגדרה

הוכיחו: אם $f(x) = \frac{1}{x}$ אז $f'(x) = -\frac{1}{x^{2}}$

(\frac{1}{x})^{'} = - \frac{1}{x ^{2}}

הסימן השלילי נולד בשלב 2: המונה הוא $x - (x + Δ x) = - Δ x$ .

שלב 1 — כותבים את מנת ההפרשים

[f(x+\Delta x) - f(x)]/\Delta x = [\frac{1}{x+\Delta x} - \frac{1}{x}] / \Delta x

דוגמה 2: שיפוע משיק בנקודה

חשבו את שיפוע המשיק לגרף $\frac{1}{x}$ בנקודה $x = 1$ וב- $x = 2$

שני השיפועים שליליים — בהתאם לכך שהפונקציה יורדת.

שלב 1 — הנגזרת

f'(x) = -\frac{1}{x^{2}}

דוגמה 3: משוואת משיק

מצאו את משוואת המשיק לגרף $\frac{1}{x}$ בנקודה $(2, \frac{1}{2})$

y = - \frac{1}{4} x + 1

בדיקה: ב-x = 2 מתקבל y = -0.5 + 1 = 0.5 ✓ — המשיק עובר דרך נקודת ההשקה.

שלב 1 — נקודת ההשקה

f(2) = \frac{1}{2}

, הנקודה היא

(2, 0.5)

דוגמה 4: כפולה בקבוע

נתון $g(x) = \frac{6}{x}$ . חשבו $g'(2)$

(\frac{6}{x})^{'} = - \frac{6}{x ^{2}}

הקבוע פשוט מכפיל את הנגזרת של $\frac{1}{x}$ .

שלב 1 — כותבים כקבוע כפול $\frac{1}{x}$

g(x) = 6 \cdot (\frac{1}{x})

בדיקה מהירה

מהי נגזרת הפונקציה $f(x) = \frac{1}{x}$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

נתון $f(x) = \frac{1}{x}$ . מהו שיפוע המשיק לגרף בנקודה שבה $x = 1? ($ כלומר חשבו $f'(1))$

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 5: היכן השיפוע שווה לערך נתון

עבור $f(x) = \frac{1}{x}$ , באיזה x שיפוע המשיק שווה $-\frac{1}{4}$ ?

שימו לב: בגלל ה- $x^{2}$ יש שני ערכי x עם אותו שיפוע — אחד בכל ענף.

שלב 1 — כותבים משוואה

f'(x) = -\frac{1}{x^{2}} = -\frac{1}{4}

בדיקה מהירה

מהי משוואת המשיק לגרף $f(x) = \frac{1}{x}$ בנקודה $(1, 1)$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

נתון $g(x) = \frac{6}{x}$ . בעזרת הכלל שנגזרת של קבוע כפול פונקציה היא הקבוע כפול הנגזרת, חשבו את $g'(2)$ .

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: שוכחים את הסימן השלילי בנגזרת

טעות: $(\frac{1}{x})^{'} = \frac{1}{x ^{2}}$

נכון: $(\frac{1}{x})^{'} = - \frac{1}{x ^{2}}$

למה זה קורה?

התלמיד זוכר '1 חלקי x בריבוע' אך מתעלם מהמינוס שנובע מהמונה

-\Delta x

איך מתקנים?

הנגזרת היא

-\frac{1}{x^{2}}

, עם מינוס. הסימן השלילי נובע מכך שבמונה מתקבל

x-(x+\Delta x) = -\Delta x

, ומשקף את העובדה שהפונקציה יורדת.

טעות נפוצה: טעות סימן באיחוד השברים

טעות: המונה $= + Δ x$ ⟵ מוביל לנגזרת חיובית שגויה.

נכון: המונה $= x - (x + Δ x) = - Δ x$ .

למה זה קורה?

כותבים את המונה כ-

x+\Delta x-x = +\Delta x

במקום

x-(x+\Delta x) = -\Delta x

איך מתקנים?

המכנה המשותף הוא

x(x+\Delta x)

, והמונה הוא

x - (x+\Delta x)

. פתחו את הסוגריים בזהירות:

x - x - \Delta x = -\Delta x

טעות נפוצה: חושבים שנגזרת של $\frac{1}{x}$ היא 1 חלקי הנגזרת של x

טעות: $(\frac{1}{x})^{'} = \frac{1}{( x ) ^{'}} = \frac{1}{1} = 1$

נכון: $(\frac{1}{x})^{'} = (x^{- 1})^{'} = - x^{- 2} = - \frac{1}{x ^{2}}$

למה זה קורה?

הכללה שגויה — מניחים שאפשר 'לגזור את המכנה' ולהפוך.

איך מתקנים?

אסור לגזור מונה ומכנה בנפרד. רושמים

\frac{1}{x}

כ-x בחזקת

(-1)

ומשתמשים בכלל החזקה, או מוכיחים על פי ההגדרה — בשני המקרים מתקבל

-\frac{1}{x^{2}}

טעות נפוצה: מאמינים שהנגזרת יכולה להיות חיובית

$x^{2} > 0 \Rightarrow - \frac{1}{x ^{2}} < 0$ תמיד.

למה זה קורה?

לא שמים לב שהמכנה

x^{2}

חיובי תמיד.

איך מתקנים?

x^{2} > 0

לכל

x \ne 0

, ולכן

-\frac{1}{x^{2}}

שלילי בכל נקודה. אין אף נקודה שבה המשיק עולה — הפונקציה יורדת בכל ענף.

טעות נפוצה: מציבים $x=0$ בנגזרת

התחום הוא $x \neq = 0$ ; אין שיפוע משיק ב-x = 0.

למה זה קורה?

שוכחים שהפונקציה כלל אינה מוגדרת ב-

x=0

איך מתקנים?

גם

f(x)=\frac{1}{x}

וגם

f'(x)=-\frac{1}{x^{2}}

אינן מוגדרות ב-

x=0

. ב-

x=0

יש לפונקציה אסימפטוטה אנכית, לא נקודה — לכן אין שם משיק.

סיכום

מה למדנו?

הנגזרת של הפונקציה הרציונלית הראשונה: $(\frac{1}{x})^{'} = - \frac{1}{x ^{2}}$

ההוכחה (על פי ההגדרה): מנת ההפרשים → מכנה משותף (המונה $- Δ x$ ) → צמצום $Δ x$ → הצבת $Δ x \to 0$ .

תכונות:

הנגזרת שלילית בכל נקודה (כי $x^{2} > 0$ ) ⟵⟶ הפונקציה יורדת בכל ענף.
כפולה בקבוע: $(\frac{a}{x})^{'} = - \frac{a}{x ^{2}}$ .

שימושים:

שיפוע משיק: מציבים $x_{0}$ בנגזרת.
משוואת משיק: $y - y_{0} = f^{'} (x_{0}) (x - x_{0})$ .

תוצאה זו תלווה אותנו לאורך כל היחידה — היא הבסיס לגזירת פונקציות רציונליות ולחקירתן.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על ההוכחה, חישוב שיפועים ומשוואות משיק לגרף 1/x!

נגזרת הפונקציה 1/x

נגזרת הפונקציה 1/x

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: ההוכחה המלאה על פי ההגדרה

הוכיחו: אם f(x)=1xf(x) = \frac{1}{x}f(x)=x1​ אז f′(x)=−1x2f'(x) = -\frac{1}{x^{2}}f′(x)=−x21​

דוגמה 2: שיפוע משיק בנקודה

חשבו את שיפוע המשיק לגרף 1x\frac{1}{x}x1​ בנקודה x=1x = 1x=1 וב-x=2x = 2x=2

דוגמה 3: משוואת משיק

מצאו את משוואת המשיק לגרף 1x\frac{1}{x}x1​ בנקודה (2,12)(2, \frac{1}{2})(2,21​)

דוגמה 4: כפולה בקבוע

נתון g(x)=6xg(x) = \frac{6}{x}g(x)=x6​. חשבו g′(2)g'(2)g′(2)

בדיקה מהירה

דוגמה 5: היכן השיפוע שווה לערך נתון

עבור f(x)=1xf(x) = \frac{1}{x}f(x)=x1​, באיזה x שיפוע המשיק שווה −14-\frac{1}{4}−41​?

בדיקה מהירה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: שוכחים את הסימן השלילי בנגזרת

טעות נפוצה: טעות סימן באיחוד השברים

טעות נפוצה: חושבים שנגזרת של 1x\frac{1}{x}x1​ היא 1 חלקי הנגזרת של x

טעות נפוצה: מאמינים שהנגזרת יכולה להיות חיובית

טעות נפוצה: מציבים x=0x=0x=0 בנגזרת

סיכום

תרגול נוסף

הוכיחו: אם $f(x) = \frac{1}{x}$ אז $f'(x) = -\frac{1}{x^{2}}$

חשבו את שיפוע המשיק לגרף $\frac{1}{x}$ בנקודה $x = 1$ וב- $x = 2$

מצאו את משוואת המשיק לגרף $\frac{1}{x}$ בנקודה $(2, \frac{1}{2})$

נתון $g(x) = \frac{6}{x}$ . חשבו $g'(2)$

עבור $f(x) = \frac{1}{x}$ , באיזה x שיפוע המשיק שווה $-\frac{1}{4}$ ?

טעות נפוצה: חושבים שנגזרת של $\frac{1}{x}$ היא 1 חלקי הנגזרת של x

טעות נפוצה: מציבים $x=0$ בנגזרת