פונקציית השורש ונגזרתה

מבוא

פונקציית השורש הריבועי $f (x) = x$ מוגדרת רק עבור $x \geq 0$ , עולה לאורך כל תחומה, ומתחילה בנקודה (0,0) במשיק אנכי. בשיעור זה נחשב את נגזרתה, נלמד לגזור שורש מורכב $f (x)$ בעזרת כלל השרשרת, ונחקור את הפונקציה: תחום, מונוטוניות, קיצון ומשיק. נראה גם תובנה יפה — פונקציית השורש היא ההפוכה של הפונקציה הריבועית, וגרפיהן הם שיקוף זה של זה ביחס לישר y=x; קשר זה מסביר את הקשר בין הנגזרות שלהן.

מטרות השיעור

להוכיח כי $(x)^{'} = \frac{1}{2 x}$ (עבור x>0)
לגזור שורש מורכב $f (x)$ בעזרת כלל השרשרת ולמצוא תחום, מונוטוניות וקיצון
למצוא שיפוע ומשוואת משיק לגרף פונקציית שורש
להבין את $x$ כהפוכה של $x^{2}$ (שיקוף ביחס ל-y=x) ואת הקשר בין נגזרות פונקציות הפוכות

הרעיון המרכזי

נגזרות, תחום וקשר ההפכיות

נגזרת השורש: $(x)^{'} = \frac{1}{2 x}, x > 0$

שורש מורכב (כלל השרשרת): $(f (x))^{'} = \frac{f ^{'} ( x )}{2 f ( x )}$

תחום ההגדרה: דורשים $f (x) \geq 0$ (הביטוי תחת השורש אי-שלילי).

קשר ההפכיות: $x$ היא ההפוכה של $x^{2}$ (עבור $x \geq 0$ ). הגרפים הם שיקוף ביחס לישר y=x, ולכן בנקודות מתאימות: $g^{'} (y) = \frac{1}{f ^{'} ( x )}$

הערה לגבי x=0: השיפוע $\frac{1}{2 x}$ שואף לאינסוף כאשר $x \to 0^{+}$ — המשיק לגרף השורש בראשית הוא אנכי, ולכן הנגזרת אינה מוגדרת ב-x=0 אף שהפונקציה עצמה כן מוגדרת שם.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: ההוכחה על פי ההגדרה (הכפלה בצמוד)

הוכיחו: אם $f(x) = √x$ אז $f'(x) = \frac{1}{2√x}$

(x)^{'} = \frac{1}{2 x}

הטריק המרכזי: הכפלה בצמוד $x + Δ x + x$ מבטלת את השורשים במונה.

שלב 1 — מנת ההפרשים

[\sqrt{x+\Delta x} - √x] / \Delta x

דוגמה 2: שורש מורכב — כלל השרשרת

גזרו: $y = \sqrt{2x+1}$ ומצאו את תחום ההגדרה

(2 x + 1)^{'} = \frac{2}{2 2 x + 1} = \frac{1}{2 x + 1}

הנגזרת חיובית בכל התחום ⇐ הפונקציה עולה. אסור לשכוח את הנגזרת הפנימית 2!

שלב 1 — תחום

2x+1 \ge 0 ⇐ x \ge -\frac{1}{2}

דוגמה 3: משוואת משיק

מצאו את משוואת המשיק לגרף $f(x) = √x$ בנקודה $x = 9$

y = \frac{1}{6} x + \frac{3}{2}

בדיקה: ב-x=9 מתקבל y = 1.5 + 1.5 = 3 ✓.

שלב 1 — נקודת ההשקה

f(9) = \sqrt{9} = 3

, הנקודה

(9, 3)

דוגמה 4: הפוכה לריבועית והקשר בין הנגזרות

$g(x)=√x$ הפוכה ל- $f(x)=x^{2} (x \ge 0)$ . מצאו $g'(4)$ בעזרת קשר ההפכיות

השיקוף ביחס לישר y=x מחליף את תפקיד הצירים, ולכן השיפועים הם הופכיים: $g^{'} (4) = \frac{1}{f ^{'} ( 2 )}$ .

שלב 1 — נקודות מתאימות

(2, 4)

על הפרבולה

↔ (4, 2)

על השורש (שיקוף ביחס ל-

y=x)

בדיקה מהירה

דוגמה 5: חקירת קיצון של שורש מורכב

חקרו את $y = \sqrt{9-x^{2}}:$ תחום, נגזרת וקיצון

y^{'} = - \frac{x}{9 - x ^{2}}

זהו החצי העליון של מעגל ברדיוס 3 — הפסגה בראש המעגל, בנקודה (0,3).

שלב 1 — תחום

9-x^{2} \ge 0 ⇐ -3 \le x \le 3

תשובה מספרית

נתון $f(x) = √x$ . מהו שיפוע המשיק לגרף בנקודה שבה $x = 4? ($ חשבו $f'(4))$

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

מהי נגזרת הפונקציה $f(x) = √x$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

נתון $y = \sqrt{2x+1}$ . מהי הנגזרת y'? (השתמשו בכלל השרשרת)

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

הפונקציה $g(x) = √x$ היא הפונקציה ההפוכה ל- $f(x) = x^{2} ($ עבור $x \ge 0)$ . בנקודה $(2, 4)$ על הפרבולה מתקיים $f'(2) = 4$ . בעזרת הקשר בין נגזרות פונקציות הפוכות, מהו $g'(4)$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: שוכחים את תחום ההגדרה של השורש

$x - 4$ מוגדרת רק עבור $x \geq 4$ , לא לכל x.

למה זה קורה?

מתייחסים ל-

√f(x)

כאילו היא מוגדרת לכל x, כמו פולינום.

איך מתקנים?

הביטוי תחת השורש חייב להיות אי-שלילי. דורשים

f(x) \ge 0

ופותרים את האי-שוויון לפני כל חקירה.

טעות נפוצה: שוכחים את הנגזרת הפנימית (כלל השרשרת)

טעות: $(2 x + 1)^{'} = \frac{1}{2 2 x + 1}$

נכון: $(2 x + 1)^{'} = \frac{2}{2 2 x + 1} = \frac{1}{2 x + 1}$

למה זה קורה?

כותבים את הנגזרת כ-

\frac{1}{2√f}

ועוצרים, בלי להכפיל ב-f'(x).

איך מתקנים?

(√f)' = f'/(2√f)

. חייבים להכפיל בנגזרת הפנימית f'. עבור

\sqrt{2x+1}

, הנגזרת הפנימית היא 2.

טעות נפוצה: חושבים שנגזרת ההפוכה שווה לנגזרת המקורית

$f (x) = x^{2}, f^{'} (2) = 4$ ⇒ עבור ההפוכה $g^{'} (4) = \frac{1}{4}$ (לא 4).

למה זה קורה?

מבלבלים בין הפונקציה ההפוכה לבין הנגזרת ההפוכה.

איך מתקנים?

נגזרת הפונקציה ההפוכה היא ההופך

(1

חלקי) של נגזרת המקורית בנקודה המתאימה:

g'(y) = \frac{1}{f}'(x)

. זה נובע מהשיקוף ביחס ל-

y=x

טעות נפוצה: גוזרים $√x$ ב- $x=0$

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{2 x} = \infty$ ⇒ משיק אנכי ב-(0,0).

למה זה קורה?

מניחים שאם הפונקציה מוגדרת ב-0, גם הנגזרת מוגדרת שם.

איך מתקנים?

ב-

x=0

השיפוע

\frac{1}{2√x}

שואף לאינסוף — המשיק אנכי. הפונקציה מוגדרת ב-0 אך הנגזרת לא.

טעות נפוצה: כותבים $\sqrt{a+b} = √a + √b$

טעות: $9 - x^{2} = 3 - x$

נכון: $9 - x^{2}$ נשאר כמכלול (למשל ב-x=0: $9 = 3$ , לא 3-0 במקרה כללי).

למה זה קורה?

מחילים את הכלל של חזקה על מכפלה גם על סכום.

איך מתקנים?

השורש אינו מתפצל על חיבור

! \sqrt{9-x^{2}}

אינו

3-x

. משאירים את הביטוי תחת השורש כמכלול וגוזרים בכלל השרשרת.

סיכום

מה למדנו?

נגזרת השורש: $(x)^{'} = \frac{1}{2 x}$ (הוכחה בהכפלה בצמוד).

שורש מורכב: $(f (x))^{'} = \frac{f ^{'} ( x )}{2 f ( x )}$ (כלל השרשרת).

חקירה:

תחום: דורשים $f (x) \geq 0$ .
מונוטוניות וקיצון: לפי סימן ואפסים של הנגזרת.
משיק: $y - y_{0} = f^{'} (x_{0}) (x - x_{0})$ .

קשר ההפכיות: $x$ הפוכה ל- $x^{2}$ ; שיקוף ביחס ל-y=x ⇒ $g^{'} (y) = \frac{1}{f ^{'} ( x )}$ .

זכרו:

אל תשכחו את התחום ואת הנגזרת הפנימית.
נגזרת ההפוכה היא ההופך — לא שווה למקורית.
ב-x=0 המשיק ל- $x$ אנכי (הנגזרת לא מוגדרת).

בכך השלמנו את חקירת פונקציות השורש — מהנגזרת, דרך חקירת קיצון ומשיק, ועד הקשר העמוק עם הפונקציה הריבועית ההפוכה.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על נגזרת השורש, גזירת שורש מורכב, משיקים וקיצון!

פונקציית השורש ונגזרתה

פונקציית השורש ונגזרתה

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: ההוכחה על פי ההגדרה (הכפלה בצמוד)

הוכיחו: אם f(x)=√xf(x) = √xf(x)=√x אז f′(x)=12√xf'(x) = \frac{1}{2√x}f′(x)=2√x1​

דוגמה 2: שורש מורכב — כלל השרשרת

גזרו: y=2x+1y = \sqrt{2x+1}y=2x+1​ ומצאו את תחום ההגדרה

דוגמה 3: משוואת משיק

מצאו את משוואת המשיק לגרף f(x)=√xf(x) = √xf(x)=√x בנקודה x=9x = 9x=9

דוגמה 4: הפוכה לריבועית והקשר בין הנגזרות

g(x)=√xg(x)=√xg(x)=√x הפוכה ל-f(x)=x2(x≥0)f(x)=x^{2} (x \ge 0)f(x)=x2(x≥0). מצאו g′(4)g'(4)g′(4) בעזרת קשר ההפכיות

בדיקה מהירה

דוגמה 5: חקירת קיצון של שורש מורכב

חקרו את y=9−x2:y = \sqrt{9-x^{2}}:y=9−x2​: תחום, נגזרת וקיצון

בדיקה מהירה

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: שוכחים את תחום ההגדרה של השורש

טעות נפוצה: שוכחים את הנגזרת הפנימית (כלל השרשרת)

טעות נפוצה: חושבים שנגזרת ההפוכה שווה לנגזרת המקורית

טעות נפוצה: גוזרים √x√x√x ב-x=0x=0x=0

טעות נפוצה: כותבים a+b=√a+√b\sqrt{a+b} = √a + √ba+b​=√a+√b

סיכום

תרגול נוסף

הוכיחו: אם $f(x) = √x$ אז $f'(x) = \frac{1}{2√x}$

גזרו: $y = \sqrt{2x+1}$ ומצאו את תחום ההגדרה

מצאו את משוואת המשיק לגרף $f(x) = √x$ בנקודה $x = 9$

$g(x)=√x$ הפוכה ל- $f(x)=x^{2} (x \ge 0)$ . מצאו $g'(4)$ בעזרת קשר ההפכיות

חקרו את $y = \sqrt{9-x^{2}}:$ תחום, נגזרת וקיצון

טעות נפוצה: גוזרים $√x$ ב- $x=0$

טעות נפוצה: כותבים $\sqrt{a+b} = √a + √b$