משפט חוצה הזווית הפנימית

מבוא

ראינו שמקבילוּת יוצרת פרופורציה (משפט תאלס) ושדמיון יוצר פרופורציה (משפטי הדמיון). בשיעור זה נפגוש פרופורציה שמקורה בחוצה זווית: כאשר מעבירים את חוצה הזווית מקודקוד של משולש אל הצלע שמולו, הוא מחלק אותה לשני קטעים שהיחס ביניהם נקבע על ידי הצלעות הסמוכות לזווית. זהו משפט שימושי מאוד לחישוב אורכים.

מטרות השיעור

לנסח את משפט חוצה הזווית הפנימית
לכתוב נכון את הפרופורציה $\frac{B D}{D C} = \frac{A B}{A C}$ תוך שמירה על התאמת קטע-צלע
לחשב אורכי קטעים (BD, DC) ואורכי צלעות (AB, AC) מתוך המשפט
להבין מתי החלוקה שווה (במשולש שווה-שוקיים) ומתי לא

הרעיון המרכזי

משפט חוצה הזווית הפנימית

נתון משולש ABC, והקטע AD הוא חוצה הזווית A, כאשר D נמצאת על הצלע BC.

אזי חוצה הזווית מחלק את הצלע שמולו לשני קטעים שהיחס ביניהם שווה ליחס הצלעות הסמוכות לזווית:

\frac{B D}{D C} = \frac{A B}{A C}

שמירה על ההתאמה: הקטע BD נמצא ליד הקודקוד B, ולכן הוא מתאים לצלע AB (היוצאת מ-B). באופן דומה DC מתאים ל-AC.

שתי דרכי חישוב נפוצות

נתון אורך הצלע BC כולה: מסמנים את החלקים לפי היחס, למשל אם $\frac{A B}{A C} = \frac{2}{3}$ אז BD = 2t ו-DC = 3t, ופותרים 2t + 3t = BC.

נתון קטע אחד או צלע אחת: מציבים ישירות בפרופורציה $\frac{B D}{D C} = \frac{A B}{A C}$ ומחלצים את הנעלם במכפלה צולבת.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: מציאת קטע מתוך קטע נתון

AD חוצה את זווית A. נתון $AB=10, AC=15, BD=4$ . מצאו DC

\frac{4}{D C} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3} \Rightarrow D C = 6

שלב 1 — המשפט

\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}

בדיקה מהירה

במשולש ABC, AD חוצה את הזווית A (D על BC). נתון: $AB=9, AC=6, BD=6$ . מהו אורך DC?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: חלוקת הצלע השלמה לפי היחס

AD חוצה את זווית A. נתון $AB=8, AC=12, BC=15$ . מצאו BD

B D = 2 t = 6, D C = 3 t = 9, B D + D C = 15 ✓

שלב 1 — היחס

\frac{BD}{DC} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}

תשובה מספרית

במשולש ABC, AD חוצה את הזווית A (D על BC). נתון: $AB=10, AC=15, BD=4$ . מהו אורך DC?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

במשולש ABC, AD חוצה את הזווית A (D על BC). נתון: $AB=8, AC=12, BC=15$ . מהו אורך BD?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: מציאת צלע מתוך קטעים נתונים

AD חוצה את זווית A. נתון $BD=3, DC=5, AB=9$ . מצאו AC

\frac{3}{5} = \frac{9}{A C} \Rightarrow A C = 15

שלב 1 — המשפט

\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}

דוגמה 4: כשהצלע הגדולה גוררת חלק גדול

AD חוצה את זווית A. נתון $AB=12, AC=18, BC=20$ . מצאו DC

D C = 3 t = 12, B D = 2 t = 8

DC > BD כי הצלע AC גדולה מ-AB — החלק הגדול נמצא מול הצלע הגדולה.

שלב 1 — היחס

\frac{BD}{DC} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}

תשובה מספרית

במשולש ABC, AD חוצה את הזווית A (D על BC). נתון: $AB=12, AC=18, BC=20$ . מהו אורך DC?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 5: משולש שווה-שוקיים — חלוקה שווה

במשולש עם $AB=AC=7, AD$ חוצה את זווית A ו- $BC=10$ . מצאו BD

\frac{B D}{D C} = 1 \Rightarrow B D = D C = 5

במשולש שווה-שוקיים חוצה זווית הראש הוא גם תיכון לבסיס — אך זהו מקרה פרטי בלבד.

שלב 1 — היחס

\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{7}{7} = 1

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: כותבים את היחס הפוך

טעות: $\frac{B D}{D C} = \frac{A C}{A B}$

נכון: $\frac{B D}{D C} = \frac{A B}{A C}$

למה זה קורה?

לא שומרים על התאמת קטע-צלע ורושמים

\frac{BD}{DC} = \frac{AC}{AB}

איך מתקנים?

הקטע BD שליד B מתאים לצלע AB שיוצאת מ-B. לכן

\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}

טעות נפוצה: חושבים שחוצה הזווית הוא תיכון

אם $A B \neq = A C$ אז $B D \neq = D C$ — חוצה הזווית בדרך כלל אינו תיכון.

למה זה קורה?

מניחים שהצלע מתחלקת לשני חלקים שווים.

איך מתקנים?

BD=DC

רק אם

AB=AC (

משולש שווה-שוקיים). במשולש כללי החלקים שונים, ביחס AB:AC.

טעות נפוצה: מחילים את המשפט על ישר שאינו חוצה הזווית הפנימית

ודאו שהקטע באמת חוצה את הזווית (שני חצאים שווים) ושהנקודה D על הצלע BC.

למה זה קורה?

מבלבלים בין חוצה זווית פנימית, חוצה חיצוני, או ישר אקראי מהקודקוד.

איך מתקנים?

המשפט תקף אך ורק לחוצה הזווית הפנימית של המשולש (D על הצלע BC עצמה).

טעות נפוצה: מתבלבלים איזה חלק גדול יותר

ב-AB=12, AC=18 מתקבל BD:DC = 2:3, ולכן DC (ליד AC הגדולה) הוא הגדול.

למה זה קורה?

לא מקשרים בין גודל החלק לגודל הצלע הסמוכה.

איך מתקנים?

החלק הגדול נמצא מול (ליד) הצלע הגדולה. אם

AB>AC

אז

BD>DC

סיכום

מה למדנו?

משפט חוצה הזווית הפנימית: אם AD חוצה את הזווית A במשולש ABC (D על BC), אזי

\frac{B D}{D C} = \frac{A B}{A C}

זכרו:

שמרו על התאמה: BD ליד B מתאים ל-AB; DC ל-AC.
נתון BC כולה? סמנו את החלקים לפי היחס ופתרו BD + DC = BC.
נתון קטע/צלע בודדים? הציבו ישירות בפרופורציה.
חלוקה שווה (BD=DC) רק במשולש שווה-שוקיים.

עכשיו אתם שולטים בשלושת מקורות הפרופורציה: מקבילוּת (תאלס), דמיון, וחוצה זווית!

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על משפט חוצה הזווית הפנימית!

משפט חוצה הזווית הפנימית

משפט חוצה הזווית הפנימית

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: מציאת קטע מתוך קטע נתון

AD חוצה את זווית A. נתון AB=10,AC=15,BD=4AB=10, AC=15, BD=4AB=10,AC=15,BD=4. מצאו DC

דוגמה 2: חלוקת הצלע השלמה לפי היחס

AD חוצה את זווית A. נתון AB=8,AC=12,BC=15AB=8, AC=12, BC=15AB=8,AC=12,BC=15. מצאו BD

דוגמה 3: מציאת צלע מתוך קטעים נתונים

AD חוצה את זווית A. נתון BD=3,DC=5,AB=9BD=3, DC=5, AB=9BD=3,DC=5,AB=9. מצאו AC

דוגמה 4: כשהצלע הגדולה גוררת חלק גדול

AD חוצה את זווית A. נתון AB=12,AC=18,BC=20AB=12, AC=18, BC=20AB=12,AC=18,BC=20. מצאו DC

דוגמה 5: משולש שווה-שוקיים — חלוקה שווה

במשולש עם AB=AC=7,ADAB=AC=7, ADAB=AC=7,AD חוצה את זווית A ו-BC=10BC=10BC=10. מצאו BD

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: כותבים את היחס הפוך

טעות נפוצה: חושבים שחוצה הזווית הוא תיכון

טעות נפוצה: מחילים את המשפט על ישר שאינו חוצה הזווית הפנימית

טעות נפוצה: מתבלבלים איזה חלק גדול יותר

סיכום

תרגול נוסף

AD חוצה את זווית A. נתון $AB=10, AC=15, BD=4$ . מצאו DC

AD חוצה את זווית A. נתון $AB=8, AC=12, BC=15$ . מצאו BD

AD חוצה את זווית A. נתון $BD=3, DC=5, AB=9$ . מצאו AC

AD חוצה את זווית A. נתון $AB=12, AC=18, BC=20$ . מצאו DC

במשולש עם $AB=AC=7, AD$ חוצה את זווית A ו- $BC=10$ . מצאו BD