משפטי הדמיון של משולשים

מבוא

שני משולשים נקראים דומים אם הזוויות המתאימות שווות והצלעות המתאימות פרופורציוניות (באותו יחס). כדי לקבוע דמיון אין צורך לבדוק את כל הזוויות והצלעות — שלושה משפטי דמיון מספקים תנאים מספיקים. את כל המשפטים האלה מוכיחים בהתבסס על משפט תאלס שלמדנו בשיעור הקודם.

מטרות השיעור

להכיר את שלושת משפטי הדמיון: צ.ז.צ, ז.ז, צ.צ.צ
להוכיח שמשולשים דומים ולזהות צלעות וזוויות מתאימות
למצוא את יחס הדמיון k ולחשב אורכים חסרים
ליישם את היחסים: היקפים וקטעים מיוחדים ביחס k, ושטחים ביחס $k^{2}$

הרעיון המרכזי

שלושת משפטי הדמיון

צ.ז.צ (SAS-similarity): אם במשולש אחד שתי צלעות פרופורציוניות לשתי צלעות במשולש שני, והזווית הכלואה ביניהן שווה — המשולשים דומים.

ז.ז (AA-similarity): אם שתי זוויות במשולש אחד שוות לשתי זוויות במשולש שני — המשולשים דומים. (הזווית השלישית נקבעת ממילא, כי סכום הזוויות הוא $18 0^{\circ}$ .)

צ.צ.צ (SSS-similarity): אם שלוש הצלעות של משולש אחד פרופורציוניות לשלוש הצלעות של משולש שני — המשולשים דומים.

יחס הדמיון והשלכותיו

אם משולשים דומים ביחס דמיון k (היחס בין צלעות מתאימות), אזי:

כל זוג צלעות מתאימות, וכן ההיקפים, התיכונים, הגבהים, חוצי הזווית ורדיוסי המעגלים החוסם והחסום — כולם ביחס k.
השטחים ביחס $k^{2}$ :

\frac{S _{1}}{S _{2}} = k^{2}

זו נקודה קריטית: כששטח גדל, הוא גדל כריבוע יחס הצלעות, לא כיחס עצמו.

הערה על מקומו של משפט ז.ז

התלמידים מכירים את משפט ז.ז כבר מכיתה ח'. כאן הוא מנוסח בקפדנות, אך הוא ניתן ללא הוכחה היסקית (בשונה מצ.ז.צ ומצ.צ.צ שמוכחים בעזרת תאלס). לכן אין לבסס עליו את הוכחת משפט תאלס — תאלס קודם לו לוגית. בתרגילים מותר להשתמש בכל שלושת המשפטים.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: זיהוי דמיון לפי צ.צ.צ

האם המשולשים 6, 9, 12 ו-8, 12, 16 דומים?

\frac{6}{8} = \frac{9}{12} = \frac{12}{16} = \frac{3}{4}

שלב 1 — מתאימים צלעות לפי גודל

6↔8, 9↔12, 12↔16

בדיקה מהירה

צלעות משולש אחד הן 6, 9, 12. צלעות איזה משולש מבטיחות דמיון לפי משפט צ.צ.צ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: מציאת צלע חסרה במשולשים דומים

ABC∼DEF, AB↔DE, AC↔DF. נתון $AB=8, DE=12, AC=10$ . מצאו DF

\frac{8}{12} = \frac{10}{D F} \Rightarrow D F = 15

יחס הדמיון מ-ABC ל-DEF הוא $\frac{8}{12} = \frac{2}{3}$ , ואכן $\frac{10}{15} = \frac{2}{3}$ .

שלב 1 — יחס צלעות מתאימות קבוע

\frac{AB}{DE} = \frac{AC}{DF}

תשובה מספרית

המשולשים ABC ו-DEF דומים, כך ש-AB מתאים ל-DE ו-AC מתאים ל-DF. נתון $AB=8, DE=12, AC=10$ . מהו אורך DF?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: יחס היקפים

שני משולשים דומים ביחס 2:3. היקף הקטן 12 ס״מ. מצאו את היקף הגדול

\frac{12}{P} = \frac{2}{3} \Rightarrow P = 18

שלב 1 — יחס ההיקפים = יחס הדמיון

\frac{12}{P} = \frac{2}{3}

דוגמה 4: יחס שטחים (ריבוע יחס הדמיון)

צלעות מתאימות 10 ו-25; שטח הגדול 100 סמ״ר. מצאו את שטח הקטן

k^{2} = (\frac{2}{5})^{2} = \frac{4}{25}, S = \frac{4}{25} \cdot 100 = 16

טעות נפוצה: להכפיל ב- $\frac{2}{5}$ ולקבל 40. בשטחים מכפילים ב- $k^{2}$ !

שלב 1 — יחס דמיון

k = \frac{10}{25} = \frac{2}{5}

בדיקה מהירה

שני משולשים דומים. צלע במשולש הקטן היא 10 ס"מ, והצלע המתאימה במשולש הגדול היא 25 ס"מ. שטח המשולש הגדול הוא 100 סמ"ר. מהו שטח המשולש הקטן (בסמ"ר)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 5: מיחס שטחים אל יחס היקפים

יחס השטחים 9:16, היקף הקטן 21 ס״מ. מצאו את היקף הגדול

k = \frac{9}{16} = \frac{3}{4}, \frac{21}{P} = \frac{3}{4} \Rightarrow P = 28

שלב 1 — מיחס שטחים אל יחס דמיון

k = \sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4}

תשובה מספרית

שני משולשים דומים, ויחס השטחים ביניהם הוא 9:16. היקף המשולש הקטן הוא 21 ס"מ. מהו היקף המשולש הגדול (בס"מ)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: חושבים שיחס השטחים שווה ליחס הדמיון

טעות: יחס דמיון 2:3 ⟸ יחס שטחים 2:3

נכון: יחס דמיון 2:3 ⟸ יחס שטחים $2^{2} : 3^{2} = 4 : 9$

למה זה קורה?

מיישמים את יחס הצלעות ישירות על השטח.

איך מתקנים?

יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון: אם הצלעות ביחס k, השטחים ביחס

k^{2}

. ליחס 2:3 שטחים 4:9.

טעות נפוצה: מתאימים צלעות בסדר שגוי

אם $∠ A = ∠ D$ , אז הצלע שמול A מתאימה לצלע שמול D — לא בהכרח לפי סדר האותיות.

למה זה קורה?

כותבים את היחס לפי סדר כתיבת המשולשים ולא לפי הצלעות המתאימות.

איך מתקנים?

כל צלע מתאימה לצלע שמול הזווית השווה לה. נוח לסדר את הצלעות בכל משולש מקטנה לגדולה ואז להתאים.

טעות נפוצה: משתמשים ב'צ.צ.ז' כאילו הוא משפט דמיון

ב-צ.ז.צ הזווית חייבת להיות בין שתי הצלעות הפרופורציוניות, בדיוק כמו במשפט החפיפה צ.ז.צ.

למה זה קורה?

מבלבלים בין צ.ז.צ (זווית כלואה) למצב של זווית שאינה כלואה.

איך מתקנים?

משפט צ.ז.צ דורש שהזווית תהיה כלואה בין שתי הצלעות הפרופורציוניות. שתי צלעות וזווית שאינה כלואה — אינן מבטיחות דמיון.

טעות נפוצה: מבססים את הוכחת תאלס על משפט ז.ז

בתרגילי חישוב והוכחה מותר להשתמש בשלושת משפטי הדמיון — אך לא להוכיח בעזרתם את תאלס עצמו.

למה זה קורה?

ז.ז מוכר מכיתה ח' ונראה נוח.

איך מתקנים?

משפט ז.ז ניתן ללא הוכחה היסקית, ומשפט תאלס קודם לו לוגית (הוא הבסיס להוכחת הדמיון). אין להשתמש בדמיון כדי להוכיח את תאלס.

טעות נפוצה: שוכחים להוציא שורש כשעוברים משטח לצלע

יחס שטחים 9:16 ⟸ יחס היקפים $9 : 16 = 3 : 4$ .

למה זה קורה?

משתמשים ביחס השטחים גם בשביל ההיקף.

איך מתקנים?

היקפים מתנהגים כמו צלעות (יחס k), ושטחים כמו

k^{2}

. כדי לעבור מיחס שטחים ליחס היקפים מוציאים שורש.

סיכום

מה למדנו?

שלושת משפטי הדמיון:

צ.ז.צ — שתי צלעות פרופורציוניות + זווית כלואה שווה
ז.ז — שתי זוויות שוות
צ.צ.צ — שלוש צלעות פרופורציוניות

יחס הדמיון k:

צלעות, היקפים, תיכונים, גבהים, חוצי זווית ורדיוסים — ביחס k
שטחים — ביחס $k^{2}$

זכרו:

התאימו צלעות לפי הזוויות השוות, לא לפי סדר אקראי.
בשטחים מכפילים בריבוע היחס; כדי לחזור מהשטח לצלע — מוציאים שורש.
משפט ז.ז ניתן ללא הוכחה — ולכן אין לבסס עליו את תאלס.

עכשיו אתם יכולים להוכיח דמיון ולחשב כל גודל במשולשים דומים!

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על משפטי הדמיון ועל יחסי הדמיון, ההיקפים והשטחים!

משפטי הדמיון של משולשים

משפטי הדמיון של משולשים

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: זיהוי דמיון לפי צ.צ.צ

האם המשולשים 6, 9, 12 ו-8, 12, 16 דומים?

דוגמה 2: מציאת צלע חסרה במשולשים דומים

ABC∼DEF, AB↔DE, AC↔DF. נתון AB=8,DE=12,AC=10AB=8, DE=12, AC=10AB=8,DE=12,AC=10. מצאו DF

דוגמה 3: יחס היקפים

שני משולשים דומים ביחס 2:3. היקף הקטן 12 ס״מ. מצאו את היקף הגדול

דוגמה 4: יחס שטחים (ריבוע יחס הדמיון)

צלעות מתאימות 10 ו-25; שטח הגדול 100 סמ״ר. מצאו את שטח הקטן

דוגמה 5: מיחס שטחים אל יחס היקפים

יחס השטחים 9:16, היקף הקטן 21 ס״מ. מצאו את היקף הגדול

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: חושבים שיחס השטחים שווה ליחס הדמיון

טעות נפוצה: מתאימים צלעות בסדר שגוי

טעות נפוצה: משתמשים ב'צ.צ.ז' כאילו הוא משפט דמיון

טעות נפוצה: מבססים את הוכחת תאלס על משפט ז.ז

טעות נפוצה: שוכחים להוציא שורש כשעוברים משטח לצלע

סיכום

תרגול נוסף

ABC∼DEF, AB↔DE, AC↔DF. נתון $AB=8, DE=12, AC=10$ . מצאו DF