משפט תאלס והמשפט ההפוך

מבוא

פרק הדמיון נפתח ברעיון הפשוט והעוצמתי שעומד בבסיס כל מה שיבוא אחריו: כאשר מעבירים במשולש ישר מקביל לאחת הצלעות, הוא חותך את שתי הצלעות האחרות לחלקים שמקיימים יחסים שווים. זהו משפט תאלס. נשתמש בו כל הזמן — בחישוב אורכים, בהוכחות, ובהמשך גם בהוכחת משפטי הדמיון עצמם.

מטרות השיעור

לנסח את משפט תאלס: ישר המקביל לצלע במשולש חותך את שתי הצלעות האחרות ביחסים שווים
לכתוב נכון את הפרופורציות $\frac{A D}{D B} = \frac{A E}{EC}$ וגם $\frac{A D}{A B} = \frac{A E}{A C} = \frac{D E}{BC}$
לחשב אורכי קטעים לא ידועים מתוך פרופורציה
ליישם את המשפט ההפוך כדי להוכיח שישר מקביל לצלע
להבין את מקומו הלוגי של המשפט — ומדוע אין לבסס אותו על דמיון "זווית-זווית"

הרעיון המרכזי

משפט תאלס

נתון משולש ABC. הנקודה D על הצלע AB והנקודה E על הצלע AC, ומתקיים $D E ∥ BC$ .

אזי הישר המקביל חותך את שתי הצלעות ביחסים שווים:

\frac{A D}{D B} = \frac{A E}{EC}

ובאופן שקול, גם היחס של כל חלק אל הצלע השלמה שווה, ושווה גם ליחס בין הקטע המקביל לצלע:

\frac{A D}{A B} = \frac{A E}{A C} = \frac{D E}{BC}

המשפט ההפוך לתאלס

אם ישר חותך שתי צלעות של משולש (או את המשכיהן) כך שמתקיים היחס

\frac{A D}{D B} = \frac{A E}{EC}

אזי הישר מקביל לצלע השלישית: $D E ∥ BC$ .

המשפט ההפוך הוא הכלי שבעזרתו מוכיחים מקבילות מתוך שוויון של יחסים.

כלל אלגברי שימושי על פרופורציות

מתוך יחס נתון אפשר לגזור יחסים חדשים. למשל, אם $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ אזי גם

\frac{a + b}{b} = \frac{c + d}{d}

זה בדיוק המעבר בין היחס $\frac{A D}{D B}$ ליחס $\frac{A B}{D B}$ (כי AB = AD + DB), והוא מסביר מדוע שני ניסוחי המשפט שקולים.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: חישוב חלק חסר על צלע

במשולש ABC נתון $DE∥BC, AD=4, DB=6, AE=6$ . מצאו את EC

\frac{4}{6} = \frac{6}{EC} \Rightarrow EC = 9

שלב 1 — כותבים את משפט תאלס

\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}

תשובה מספרית

במשולש ABC מעבירים DE∥BC כאשר D על AB ו-E על AC. נתון: $AD=4, DB=6, AE=6$ . מהו אורך EC?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: מציאת הקטע המקביל DE

נתון $DE∥BC, AD=3, AB=9, BC=12$ . מצאו את DE

\frac{A D}{A B} = \frac{D E}{BC} \Rightarrow \frac{1}{3} = \frac{D E}{12} \Rightarrow D E = 4

כאן השתמשנו ביחס שמערב את הצלע השלמה AB ואת הקטע המקביל DE.

שלב 1 — היחס המתאים

\frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC} (

חלק אל שלם = מקביל אל צלע)

דוגמה 3: שימוש במשפט ההפוך להוכחת מקבילות

נתון $AD=2, DB=3, AE=4, EC=6$ . האם DE∥BC?

\frac{A D}{D B} = \frac{2}{3} = \frac{4}{6} = \frac{A E}{EC} \Rightarrow D E ∥ BC

שלב 1 — מחשבים את היחס הראשון

\frac{AD}{DB} = \frac{2}{3}

נכון או לא נכון

במשולש ABC, D על AB ו-E על AC. נתון $AD=2, DB=3, AE=4, EC=6$ . נכון או לא נכון: לפי המשפט ההפוך לתאלס, DE מקביל ל-BC.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: חישוב צלע שלמה דרך שני שלבים

נתון $DE∥BC, AD=5, AB=8, AE=10$ . מצאו את AC

\frac{5}{3} = \frac{10}{EC} \Rightarrow EC = 6, A C = 10 + 6 = 16

בדיקה: $\frac{A D}{A B} = \frac{5}{8}$ ו- $\frac{A E}{A C} = \frac{10}{16} = \frac{5}{8}$ — היחסים שווים, כמצופה.

שלב 1 — מוצאים את DB

DB = AB - AD = 8 - 5 = 3

תשובה מספרית

במשולש ABC מעבירים DE∥BC (D על AB, E על AC). נתון: $AD=5, AB=8, AE=10$ . מהו אורך הצלע AC?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 5: ישרים מקבילים החותכים שני חוצים

שלושה ישרים מקבילים חותכים שני חוצים. על האחד נוצרו קטעים 3 ו-5; על השני הקטע הראשון 6. מצאו את הקטע השני

\frac{3}{5} = \frac{6}{y} \Rightarrow y = 10

זוהי הכללה של משפט תאלס: ישרים מקבילים חותכים כל חוצה בקטעים בעלי אותם יחסים.

שלב 1 — היחס נשמר בין החוצים

\frac{3}{5} = \frac{6}{y}

בדיקה מהירה

שלושה ישרים מקבילים חותכים שני ישרים חוצים. על החוצה הראשון נוצרים קטעים בני 3 ו-5 (בסדר זה), ועל החוצה השני הקטע הראשון הוא 6. מהו אורך הקטע השני על החוצה השני?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מערבבים בין הצלעות בכתיבת היחס

טעות: $\frac{A D}{D B} = \frac{A E}{A C}$

נכון: $\frac{A D}{D B} = \frac{A E}{EC}$ או $\frac{A D}{A B} = \frac{A E}{A C}$

למה זה קורה?

תלמידים כותבים

\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{AC}

ומחברים קטע מצלע אחת עם צלע שלמה מהשנייה.

איך מתקנים?

היחס חייב לשמור על קטעים מתאימים:

\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} (

חלק עליון מול חלק תחתון), או לחלופין

\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} (

חלק מול שלם).

טעות נפוצה: בלבול בין $\frac{AD}{DB}$ לבין $\frac{AD}{AB}$

אם AD=4, DB=6 אז $\frac{A D}{D B} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ אבל $\frac{A D}{A B} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$ .

למה זה קורה?

חושבים שיש 'יחס אחד נכון' ופוסלים את השני.

איך מתקנים?

שניהם נכונים אך שונים:

\frac{AD}{DB}

הוא יחס בין החלקים, ו-

\frac{AD}{AB}

הוא יחס בין חלק לצלע השלמה. בוחרים את היחס שמתאים לנתון.

טעות נפוצה: הופכים מונה ומכנה באחד היחסים

טעות: $\frac{A D}{D B} = \frac{EC}{A E}$

נכון: $\frac{A D}{D B} = \frac{A E}{EC}$

למה זה קורה?

כותבים

\frac{AD}{DB} = \frac{EC}{AE}

במקום

\frac{AE}{EC}

איך מתקנים?

שני האגפים חייבים להיות באותו 'כיוון': הקטעים שליד הקודקוד למעלה, והקטעים הרחוקים למטה

. \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}

טעות נפוצה: מבססים את הוכחת תאלס על דמיון 'זווית-זווית'

את משפט תאלס מוכיחים בעזרת יחסי שטחים של משולשים בעלי אותו גובה, ולא בעזרת דמיון. רק אחרי שתאלס מוכח, נשתמש בו כדי להוכיח את משפטי הדמיון.

למה זה קורה?

התלמידים מכירים את משפט הדמיון ז.ז מכיתה ח' ומפתים להשתמש בו.

איך מתקנים?

משפט ז.ז לא הוכח בגישה היסקית, ומשפט תאלס הוא הבסיס שעליו מוכיחים בהמשך את הדמיון. שימוש בדמיון להוכחת תאלס הוא מעגליות לוגית — אסור!

טעות נפוצה: שוכחים שהמשפט ההפוך דורש בדיקת שוויון היחסים

אם $\frac{A D}{D B} \neq = \frac{A E}{EC}$ אז הישר אינו מקביל לצלע השלישית.

למה זה קורה?

מניחים מקבילות מבלי לבדוק.

איך מתקנים?

כדי להסיק DE∥BC לפי המשפט ההפוך, חובה להראות תחילה ש-

\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}

. בלי שוויון היחסים — אין מקבילות.

סיכום

מה למדנו?

משפט תאלס: אם $D E ∥ BC$ במשולש ABC, אזי

\frac{A D}{D B} = \frac{A E}{EC} וגם \frac{A D}{A B} = \frac{A E}{A C} = \frac{D E}{BC}

המשפט ההפוך: אם $\frac{A D}{D B} = \frac{A E}{EC}$ , אזי $D E ∥ BC$ .

זכרו:

שמרו על קטעים מתאימים בשני אגפי היחס — אל תערבבו צלעות ואל תהפכו מונה ומכנה.
בחרו בין היחס "חלק-חלק" (AD/DB) ל"חלק-שלם" (AD/AB) לפי הנתונים.
את תאלס מוכיחים ביחסי שטחים — לא בעזרת דמיון "זווית-זווית".

משפט תאלס הוא היסוד של כל פרק הדמיון!

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על משפט תאלס ועל המשפט ההפוך!

משפט תאלס והמשפט ההפוך

משפט תאלס והמשפט ההפוך

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: חישוב חלק חסר על צלע

במשולש ABC נתון DE∥BC,AD=4,DB=6,AE=6DE∥BC, AD=4, DB=6, AE=6DE∥BC,AD=4,DB=6,AE=6. מצאו את EC

דוגמה 2: מציאת הקטע המקביל DE

נתון DE∥BC,AD=3,AB=9,BC=12DE∥BC, AD=3, AB=9, BC=12DE∥BC,AD=3,AB=9,BC=12. מצאו את DE

דוגמה 3: שימוש במשפט ההפוך להוכחת מקבילות

נתון AD=2,DB=3,AE=4,EC=6AD=2, DB=3, AE=4, EC=6AD=2,DB=3,AE=4,EC=6. האם DE∥BC?

דוגמה 4: חישוב צלע שלמה דרך שני שלבים

נתון DE∥BC,AD=5,AB=8,AE=10DE∥BC, AD=5, AB=8, AE=10DE∥BC,AD=5,AB=8,AE=10. מצאו את AC

דוגמה 5: ישרים מקבילים החותכים שני חוצים

שלושה ישרים מקבילים חותכים שני חוצים. על האחד נוצרו קטעים 3 ו-5; על השני הקטע הראשון 6. מצאו את הקטע השני

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מערבבים בין הצלעות בכתיבת היחס

טעות נפוצה: בלבול בין ADDB\frac{AD}{DB}DBAD​ לבין ADAB\frac{AD}{AB}ABAD​

טעות נפוצה: הופכים מונה ומכנה באחד היחסים

טעות נפוצה: מבססים את הוכחת תאלס על דמיון 'זווית-זווית'

טעות נפוצה: שוכחים שהמשפט ההפוך דורש בדיקת שוויון היחסים

סיכום

תרגול נוסף

במשולש ABC נתון $DE∥BC, AD=4, DB=6, AE=6$ . מצאו את EC

נתון $DE∥BC, AD=3, AB=9, BC=12$ . מצאו את DE

נתון $AD=2, DB=3, AE=4, EC=6$ . האם DE∥BC?

נתון $DE∥BC, AD=5, AB=8, AE=10$ . מצאו את AC

טעות נפוצה: בלבול בין $\frac{AD}{DB}$ לבין $\frac{AD}{AB}$