קטעים פרופורציוניים והסקת יחסים חדשים

מבוא

מטרות השיעור

לזהות פרופורציה בין קטעים ולהשתמש במכפלה הצולבת $a \cdot d = b \cdot c$ .
להכיר את תכונות הפרופורציה: חילוף, היפוך, הרכבה והפרדה.
לדעת להסיק בדרך אלגברית יחסים חדשים מתוך יחס נתון, למשל מ- $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ אל $\frac{a + b}{b} = \frac{c + d}{d}$ .

הרעיון המרכזי

פרופורציה היא שוויון בין שני יחסים: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ . בגאומטריה זה מופיע כשקטעים מתחלקים באותו יחס — למשל לפי משפט תאלס, או בין צלעות מתאימות במשולשים דומים.

תכונות הפרופורציה

נתון $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ (כל הגדלים חיוביים).

מכפלה הצולבת: $a \cdot d = b \cdot c$

חילוף (האמצעיים): $\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$

היפוך: $\frac{b}{a} = \frac{d}{c}$

הרכבה (חיבור): $\frac{a + b}{b} = \frac{c + d}{d}$

הפרדה (חיסור): $\frac{a - b}{b} = \frac{c - d}{d}$

הכלי המרכזי הוא פשוט: כדי לקבל $\frac{a + b}{b}$ מתוך $\frac{a}{b}$ , מוסיפים 1 — וזוכרים ש- $1 = \frac{b}{b}$ : $\frac{a}{b} + 1 = \frac{a}{b} + \frac{b}{b} = \frac{a + b}{b}$ .

מכיוון שאותו דבר נעשה לשני אגפי השוויון, השוויון נשמר.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: מכפלה הצולבת

נתון $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ עם $a=6, b=4, c=9$ . מצאו d.

a \cdot d = b \cdot c \Rightarrow 6 d = 36 \Rightarrow d = 6

בדיקה: $\frac{6}{4} = \frac{9}{6} = 1.5$ ✓

שלב 1 — מכפלה הצולבת

a \cdot d = b \cdot c

, כלומר

6 \cdot d = 4 \cdot 9

דוגמה 2: הרכבה — הוספת 1

נתון $\frac{a}{b} = \frac{3}{5}$ . חשבו $\frac{a+b}{b}$ .

\frac{a + b}{b} = \frac{a}{b} + 1 = \frac{3}{5} + 1 = \frac{8}{5} = 1.6

שלב 1 — מפרקים

\frac{a+b}{b} = \frac{a}{b} + \frac{b}{b} = \frac{a}{b} + 1

תשובה מספרית

נתון $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ כאשר $a=6, b=4, c=9$ . מהו d?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

נתון $\frac{a}{b} = \frac{3}{5}$ . חשבו את הערך של $\frac{a+b}{b}$ . הזינו כמספר עשרוני.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: ההסקה הכללית

הוכיחו: מ- $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ נובע $\frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d}$ .

\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Rightarrow \frac{a}{b} + 1 = \frac{c}{d} + 1 \Rightarrow \frac{a + b}{b} = \frac{c + d}{d}

שלב 1 — הנתון

\frac{a}{b} = \frac{c}{d}

בדיקה מהירה

נתון היחס $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ . איזה מהיחסים הבאים נובע ממנו תמיד?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: שילוב הרכבה והפרדה

נתון $\frac{a}{b} = \frac{7}{3}$ . חשבו $\frac{a+b}{a-b}$ .

\frac{a + b}{a - b} = \frac{7 + 3}{7 - 3} = \frac{10}{4} = 2.5

שלב 1 — הרכבה

\frac{a+b}{b} = \frac{7+3}{3} = \frac{10}{3}

תשובה מספרית

נתון $\frac{a}{b} = \frac{7}{3}$ . בעזרת תכונות הפרופורציה חשבו את הערך של $\frac{a+b}{a-b}$ . הזינו כמספר עשרוני.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 5: קטעים פרופורציוניים בישר

נתון $\frac{AB}{CD} = \frac{EF}{GH}$ עם $AB=8, CD=12, EF=10$ . מצאו GH.

8 \cdot G H = 120 \Rightarrow G H = 15

בדיקה: $\frac{8}{12} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$ ✓

שלב 1 — מכפלה הצולבת

AB \cdot GH = CD \cdot EF

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מוסיפים אותו מספר למונה ולמכנה

טעות: $\frac{2}{4} = \frac{2 + 1}{4 + 1} = \frac{3}{5}$ — לא נכון! $\frac{2}{4} = 0.5$ אבל $\frac{3}{5} = 0.6$ .

נכון: $\frac{a + b}{b} = \frac{a}{b} + 1$

למה זה קורה?

תלמידים חושבים ש-

\frac{a}{b}

שווה ל-

\frac{a+1}{b+1}

, בהיקש מוטעה מתכונת ההרכבה.

איך מתקנים?

הוספת אותו מספר למונה ולמכנה משנה את היחס. תכונת ההרכבה מוסיפה את b למונה (ולא 1), וזה שקול להוספת 1 לכל היחס.

טעות נפוצה: מכפלה הצולבת הפוכה

מ- $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ נובע $a \cdot d = b \cdot c$ — ולא $a \cdot c = b \cdot d$ .

למה זה קורה?

מכפילים מונה במונה ומכנה במכנה

(a \cdot c = b \cdot d)

במקום בהצלבה.

איך מתקנים?

במכפלה הצולבת מכפילים אלכסונית:

a \cdot d = b \cdot c

טעות נפוצה: מערבבים בין האגפים בהרכבה

נכון: $\frac{a + b}{b} = \frac{c + d}{d}$

טעות נפוצה: $\frac{a + d}{b} = \frac{c + b}{d}$

למה זה קורה?

מחברים נכון באגף אחד אך לא מתאימים את החיבור לאגף השני.

איך מתקנים?

הרכבה מוסיפה את המכנה של אותו אגף: b לאגף של b, ו-d לאגף של d. לא מערבבים b עם d.

טעות נפוצה: שוכחים שתנאי החילוף דורש אותו סוג גודל

מ- $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ נובע אלגברית $\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$ (כי ad=bc).

למה זה קורה?

מחליפים אמצעיים גם כשהגדלים לא משתייכים לאותה משפחה.

איך מתקנים?

תכונת החילוף

\frac{a}{c} = \frac{b}{d}

נכונה מבחינה אלגברית כל עוד היחס המקורי מתקיים, אך פירושה הגאומטרי תקף רק כשהגדלים מתאימים.

סיכום

מה למדנו?

תכונות הפרופורציה (נתון $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ ):

מכפלה הצולבת: $a \cdot d = b \cdot c$
חילוף: $\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$
היפוך: $\frac{b}{a} = \frac{d}{c}$
הרכבה: $\frac{a + b}{b} = \frac{c + d}{d}$
הפרדה: $\frac{a - b}{b} = \frac{c - d}{d}$

הטריק המרכזי: הוספה או חיסור של $1 = \frac{b}{b}$ לשני אגפי השוויון.

זהירות:

אסור להוסיף אותו מספר למונה ולמכנה.
מכפלה הצולבת היא אלכסונית: $a \cdot d = b \cdot c$ .

כל הכבוד! עכשיו אתם יודעים להסיק יחסים חדשים מתוך פרופורציה נתונה.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על תכונות הפרופורציה והסקת יחסים חדשים!

קטעים פרופורציוניים והסקת יחסים חדשים

קטעים פרופורציוניים והסקת יחסים חדשים

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: מכפלה הצולבת

נתון ab=cd\frac{a}{b} = \frac{c}{d}ba​=dc​ עם a=6,b=4,c=9a=6, b=4, c=9a=6,b=4,c=9. מצאו d.

דוגמה 2: הרכבה — הוספת 1

נתון ab=35\frac{a}{b} = \frac{3}{5}ba​=53​. חשבו a+bb\frac{a+b}{b}ba+b​.

דוגמה 3: ההסקה הכללית

הוכיחו: מ-ab=cd\frac{a}{b} = \frac{c}{d}ba​=dc​ נובע a+bb=c+dd\frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d}ba+b​=dc+d​.

דוגמה 4: שילוב הרכבה והפרדה

נתון ab=73\frac{a}{b} = \frac{7}{3}ba​=37​. חשבו a+ba−b\frac{a+b}{a-b}a−ba+b​.

דוגמה 5: קטעים פרופורציוניים בישר

נתון ABCD=EFGH\frac{AB}{CD} = \frac{EF}{GH}CDAB​=GHEF​ עם AB=8,CD=12,EF=10AB=8, CD=12, EF=10AB=8,CD=12,EF=10. מצאו GH.

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מוסיפים אותו מספר למונה ולמכנה

טעות נפוצה: מכפלה הצולבת הפוכה

טעות נפוצה: מערבבים בין האגפים בהרכבה

טעות נפוצה: שוכחים שתנאי החילוף דורש אותו סוג גודל

סיכום

תרגול נוסף

נתון $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ עם $a=6, b=4, c=9$ . מצאו d.

נתון $\frac{a}{b} = \frac{3}{5}$ . חשבו $\frac{a+b}{b}$ .

הוכיחו: מ- $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ נובע $\frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d}$ .

נתון $\frac{a}{b} = \frac{7}{3}$ . חשבו $\frac{a+b}{a-b}$ .

נתון $\frac{AB}{CD} = \frac{EF}{GH}$ עם $AB=8, CD=12, EF=10$ . מצאו GH.