דמיון משולשים במעגל: מיתרים, חותכים ומשיק

מבוא

מטרות השיעור

לזהות משולשים דומים מתוך זוויות במעגל (זוויות היקפיות על אותה קשת, זווית קודקודית, זווית בין משיק למיתר).
להסיק מהדמיון את מכפלת מקטעי מיתרים נחתכים: $P A \cdot PB = PC \cdot P D$ .
להסיק את מכפלת המשיק והחותך: $P T^{2} = P A \cdot PB$ .
להסיק את מכפלת שני החותכים: $P A \cdot PB = PC \cdot P D$ .

חשוב להבנת הנושא

לאורך השיעור נחשוף את שלוש המכפלות דרך דמיון משולשים — נזהה את המשולשים הדומים, נכתוב את יחס הצלעות, ונקבל את המכפלה. כך נדע למה כל קשר נכון, ולא רק נשנן נוסחה. בכל תרגיל מומלץ לחזור ולזהות את זוג המשולשים הדומים שעומד מאחורי הקשר.

הרעיון המרכזי

הכלי שמופעל שוב ושוב הוא זווית היקפית: שתי זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת — שוות. בצירוף זווית משותפת או זווית קודקודית, מקבלים דמיון לפי זווית-זווית, ומהדמיון — יחס בין צלעות, ומהיחס — מכפלה.

שלושת הקשרים

1. מיתרים נחתכים בתוך המעגל (נקודה פנימית P): $P A \cdot PB = PC \cdot P D$

2. משיק וחותך מנקודה חיצונית P (PT משיק, PB חותך שלם): $P T^{2} = P A \cdot PB$

3. שני חותכים מנקודה חיצונית P: $P A \cdot PB = PC \cdot P D$

בקשרים 2 ו-3, בכל חותך מכפילים את המקטע החיצוני באורך החותך השלם.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: זיהוי המשולשים הדומים במיתרים נחתכים

שני מיתרים AB ו-CD נחתכים ב-P. מצאו זוג משולשים דומים והסבירו.

\frac{P A}{P D} = \frac{PC}{PB} \Rightarrow P A \cdot PB = PC \cdot P D

שלב 1 — זווית קודקודית

\angle APC = \angle DPB (

זוויות קודקודיות)

בדיקה מהירה

שני מיתרים AB ו-CD במעגל נחתכים בנקודה פנימית P. איזה זוג משולשים דומים זה לזה, ומהי הסיבה?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: חישוב במיתרים נחתכים

מיתרים נחתכים ב- $P: PA=4, PB=6, PC=3$ . מצאו PD.

4 \cdot 6 = 3 \cdot P D \Rightarrow P D = 8

שלב 1 — הקשר

PA \cdot PB = PC \cdot PD

תשובה מספרית

שני מיתרים נחתכים בתוך מעגל בנקודה P. המיתר הראשון מחולק למקטעים $PA=4$ ו- $PB=6$ , והמיתר השני למקטעים $PC=3$ ו-PD. מהו אורך PD?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: משיק וחותך — הדמיון והחישוב

מ-P משיק $PT=6$ וחותך עם $PA=4 ($ חיצוני). מצאו את החותך השלם PB.

P T^{2} = P A \cdot PB \Rightarrow 6^{2} = 4 \cdot PB \Rightarrow PB = 9

שלב 1 — זווית משותפת

∠P משותפת ל-△PTA ו-△PBT

בדיקה מהירה

מנקודה P מחוץ למעגל יוצאים משיק PT (T נקודת ההשקה) וחותך החותך את המעגל בנקודות A ו-B (A קרובה ל-P). נתון $PT=6$ ו- $PA=4$ . מהו אורך החותך השלם PB?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: שני חותכים

מ-P שני חותכים: $PA=5, PB=15 ($ ראשון) $, PC=6 ($ חיצוני בשני). מצאו PD.

5 \cdot 15 = 6 \cdot P D \Rightarrow P D = 12.5

שלב 1 — הקשר

PA \cdot PB = PC \cdot PD (

מקטע חיצוני × חותך שלם)

דוגמה 5: משיק וחותך כשנתון המיתר הפנימי

מ-P משיק PT וחותך עם $PA=4 ($ חיצוני) ומיתר $AB=12$ . מצאו PT.

P T^{2} = P A \cdot PB = 4 \cdot 16 = 64 \Rightarrow PT = 8

שימו לב: מכפילים ב-PB (החותך השלם), לא ב-AB.

שלב 1 — החותך השלם

PB = PA + AB = 4 + 12 = 16

תשובה מספרית

מנקודה P מחוץ למעגל יוצאים משיק PT וחותך. החותך נכנס למעגל בנקודה A (הקרובה ל-P) ויוצא בנקודה B. נתון שהמקטע החיצוני $PA=4$ והמיתר $AB=12$ . מהו אורך המשיק PT?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מכפילים במקטע החיצוני בלבד

טעות: $P T^{2} = P A \cdot A B = 4 \cdot 12 = 48$

נכון: $P T^{2} = P A \cdot PB = 4 \cdot 16 = 64$

למה זה קורה?

במשיק-חותך או בשני חותכים, תלמידים מכפילים במקטע החיצוני ובמיתר הפנימי במקום בחותך השלם.

איך מתקנים?

בכל חותך מכפילים את המקטע החיצוני באורך החותך השלם:

PA \cdot PB

, כאשר

PB = PA + (

המיתר הפנימי).

טעות נפוצה: שוכחים את הריבוע על המשיק

$P T^{2} = P A \cdot PB$ , לכן $PT = P A \cdot PB$ .

אם $P A \cdot PB = 64$ אז PT = 8, ולא 64.

למה זה קורה?

כותבים

PT = PA \cdot PB

במקום

PT^{2} = PA \cdot PB

איך מתקנים?

המשיק מופיע פעמיים בדמיון

(\frac{PT}{PB} = \frac{PA}{PT})

, ולכן מקבלים

PT^{2} = PA \cdot PB

. אל תשכחו להוציא שורש בסוף.

טעות נפוצה: התאמת קודקודים שגויה בדמיון

היחס הנכון במיתרים נחתכים: $\frac{P A}{P D} = \frac{PC}{PB}$ , וממנו $P A \cdot PB = PC \cdot P D$ .

למה זה קורה?

כותבים את היחס בין צלעות לא-מתאימות, ומקבלים מכפלה הפוכה.

איך מתקנים?

עקבו אחרי הזוויות השוות כדי לקבוע אילו צלעות מתאימות. במיתרים נחתכים: △APC ∼ △DPB נותן

\frac{PA}{PD} = \frac{PC}{PB}

טעות נפוצה: חושבים שהמכפלות הן 'נוסחאות קסם' לשינון

הדרך: זוויות שוות במעגל ⟶ דמיון (זווית-זווית) ⟶ יחס צלעות ⟶ מכפלה הצולבת.

למה זה קורה?

לומדים את הקשר כנוסחה מנותקת בלי להבין מאיפה הוא בא.

איך מתקנים?

כל מכפלה נובעת מדמיון משולשים שמקורו בזוויות במעגל. אם שוכחים את הנוסחה — אפשר לשחזר אותה דרך הדמיון.

סיכום

מה למדנו?

זיהינו משולשים דומים מתוך זוויות במעגל וגזרנו מהם שלושה קשרים:

מיתרים נחתכים: $P A \cdot PB = PC \cdot P D$
משיק וחותך: $P T^{2} = P A \cdot PB$
שני חותכים: $P A \cdot PB = PC \cdot P D$

עקרונות:

כל קשר נובע מדמיון משולשים — לא נוסחה מנותקת.
בחותכים: מקטע חיצוני × חותך שלם.
במשיק: PT בריבוע (אל תשכחו שורש).
התאימו קודקודים לפי הזוויות השוות.

כל הכבוד! עכשיו אתם יודעים לזהות דמיון במעגל ולהשתמש בו בתרגילי מיתרים, חותכים ומשיק.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על דמיון משולשים במעגל!

דמיון משולשים במעגל: מיתרים, חותכים ומשיק

דמיון משולשים במעגל: מיתרים, חותכים ומשיק

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: זיהוי המשולשים הדומים במיתרים נחתכים

שני מיתרים AB ו-CD נחתכים ב-P. מצאו זוג משולשים דומים והסבירו.

דוגמה 2: חישוב במיתרים נחתכים

מיתרים נחתכים ב-P:PA=4,PB=6,PC=3P: PA=4, PB=6, PC=3P:PA=4,PB=6,PC=3. מצאו PD.

דוגמה 3: משיק וחותך — הדמיון והחישוב

מ-P משיק PT=6PT=6PT=6 וחותך עם PA=4(PA=4 (PA=4(חיצוני). מצאו את החותך השלם PB.

דוגמה 4: שני חותכים

מ-P שני חותכים: PA=5,PB=15(PA=5, PB=15 (PA=5,PB=15(ראשון),PC=6(, PC=6 (,PC=6(חיצוני בשני). מצאו PD.

דוגמה 5: משיק וחותך כשנתון המיתר הפנימי

מ-P משיק PT וחותך עם PA=4(PA=4 (PA=4(חיצוני) ומיתר AB=12AB=12AB=12. מצאו PT.

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מכפילים במקטע החיצוני בלבד

טעות נפוצה: שוכחים את הריבוע על המשיק

טעות נפוצה: התאמת קודקודים שגויה בדמיון

טעות נפוצה: חושבים שהמכפלות הן 'נוסחאות קסם' לשינון

סיכום

תרגול נוסף

מיתרים נחתכים ב- $P: PA=4, PB=6, PC=3$ . מצאו PD.

מ-P משיק $PT=6$ וחותך עם $PA=4 ($ חיצוני). מצאו את החותך השלם PB.

מ-P שני חותכים: $PA=5, PB=15 ($ ראשון) $, PC=6 ($ חיצוני בשני). מצאו PD.

מ-P משיק PT וחותך עם $PA=4 ($ חיצוני) ומיתר $AB=12$ . מצאו PT.