יחסי היקפים, שטחים וקטעים מתאימים בצורות דומות

מבוא

מטרות השיעור

להבין שבצורות דומות היחס בין ההיקפים שווה ליחס הדמיון k.
להבין שהיחס בין השטחים שווה לריבוע יחס הדמיון, $k^{2}$ .
לדעת שהיחס בין קטעים מתאימים — תיכונים, חוצי זווית, גבהים, ורדיוסי המעגל החוסם והחסום — שווה ליחס הדמיון k.
ליישם את היחסים האלה לחישוב היקפים, שטחים וקטעים בצורות דומות.

הרעיון המרכזי

כשאומרים ששתי צורות דומות, הכוונה שיש ביניהן יחס דמיון קבוע k: כל אורך בצורה האחת גדול (או קטן) פי k מהאורך המתאים בצורה השנייה.

שלושת הכללים של יחסי הדמיון

נסמן ב-k את יחס הדמיון בין שתי צורות דומות.

1. היקפים — יחס ליניארי: $\frac{P _{1}}{P _{2}} = k$

2. שטחים — ריבוע היחס: $\frac{S _{1}}{S _{2}} = k^{2}$

3. קטעים מתאימים — יחס ליניארי: היחס בין תיכונים מתאימים, חוצי זווית מתאימים, גבהים מתאימים, וכן רדיוסי המעגל החוסם והמעגל החסום, שווה אף הוא ל-k.

מדוע ההיקף מתנהג כמו אורך? ההיקף הוא סכום של צלעות, וכל צלע גדלה פי k, ולכן גם הסכום גדל פי k. אותו נימוק עובד לכל קטע "מתאים" בצורה: גובה, תיכון, חוצה זווית, או רדיוס המעגל החוסם/החסום — כולם אורכים, וכולם גדלים פי k.

ולמה השטח גדל פי $k^{2}$ ? שטח הוא גודל דו-ממדי (אורך כפול אורך). כשכל אורך גדל פי k, השטח גדל פי $k \cdot k = k^{2}$ .

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: יחס היקפים

משולש ABC דומה ל- $DEF, AB=6, DE=9$ . היקף ABC הוא 20. מהו היקף DEF?

\frac{P _{D EF}}{P _{A BC}} = k = \frac{3}{2} \Rightarrow P_{D EF} = \frac{3}{2} \cdot 20 = 30

שלב 1 — יחס הדמיון

k = \frac{DE}{AB} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} (DEF

גדול יותר)

בדיקה מהירה

שני משולשים דומים, ויחס הדמיון ביניהם (הגדול לקטן) הוא 5:3. מהו היחס בין היקפיהם (ההיקף של הגדול להיקף של הקטן)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: יחס שטחים

שני משולשים דומים ביחס דמיון 2:5. שטח הקטן 8 סמ״ר. מהו שטח הגדול?

\frac{S _{גדול}}{S _{קטן}} = k^{2} = \frac{25}{4} \Rightarrow S_{גדול} = \frac{25}{4} \cdot 8 = 50

שלב 1 — יחס הדמיון

k = \frac{5}{2} (

הגדול לקטן)

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: בשני מצולעים דומים, היחס בין השטחים שווה לריבוע יחס הדמיון.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

שני משולשים דומים. יחס הדמיון של הגדול לקטן הוא 3. שטח המשולש הקטן הוא 12 סמ"ר. מהו שטח המשולש הגדול (בסמ"ר)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: מהשטח אל יחס הדמיון

שני מצולעים דומים. שטחיהם 50 סמ״ר ו-72 סמ״ר. מהו יחס הדמיון?

k^{2} = \frac{50}{72} = \frac{25}{36} \Rightarrow k = \frac{25}{36} = \frac{5}{6}

שלב 1 — יחס השטחים הוא $k^{2}$

k^{2} = \frac{50}{72} = \frac{25}{36}

דוגמה 4: קטעים מתאימים — גובה

שני משולשים דומים ביחס דמיון 4:3 (גדול לקטן). הגובה במשולש הגדול הוא 12. מהו הגובה המתאים בקטן?

\frac{h _{גדול}}{h _{קטן}} = k = \frac{4}{3} \Rightarrow \frac{12}{h} = \frac{4}{3} \Rightarrow h = 9

שלב 1 — גובה הוא קטע מתאים

היחס בין גבהים מתאימים שווה ל-k (לא ל-

k^{2})

דוגמה 5: רדיוס המעגל החוסם והשילוב בין יחסים

שני משולשים דומים. רדיוסי המעגלים החוסמים 4 ו-10. מהו יחס השטחים (הקטן לגדול)?

k = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} \Rightarrow \frac{S _{קטן}}{S _{גדול}} = k^{2} = \frac{4}{25}

שלב 1 — רדיוס חוסם הוא קטע מתאים

היחס בין הרדיוסים שווה ל-

k: k = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}

בדיקה מהירה

שני משולשים דומים. רדיוס המעגל החוסם את הראשון הוא 6 ס"מ, ורדיוס המעגל החוסם את השני הוא 9 ס"מ. מהו היחס בין שטחי המשולשים (הראשון לשני)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: משתמשים ב-k גם לשטח

אם k = 3: יחס ההיקפים הוא 3, אבל יחס השטחים הוא $3^{2} = 9$ .

טעות: שטח גדול $= 3 \cdot$ שטח קטן

נכון: שטח גדול $= 9 \cdot$ שטח קטן

למה זה קורה?

תלמידים מכפילים את השטח ביחס הדמיון k במקום ב-

k^{2}

איך מתקנים?

לשטח (גודל דו-ממדי) מכפילים ב-

k^{2}

. רק להיקף ולקטעים מתאימים מכפילים ב-k.

טעות נפוצה: מעלים בריבוע גם את ההיקף או את הקטעים

$\frac{P _{1}}{P _{2}} = k$ וגם $\frac{h _{1}}{h _{2}} = k$ — בלי ריבוע.

רק $\frac{S _{1}}{S _{2}} = k^{2}$ .

למה זה קורה?

אחרי שלומדים ש-

k^{2}{}'

שייך לשטח, מתחילים לרבע גם היקפים, גבהים ורדיוסים.

איך מתקנים?

היקף, גובה, תיכון, חוצה זווית ורדיוס הם אורכים — היחס ביניהם שווה ל-k בלבד.

טעות נפוצה: שוכחים להוציא שורש כשנתון יחס שטחים

אם יחס השטחים הוא $\frac{16}{25}$ , אז יחס הדמיון הוא $\frac{16}{25} = \frac{4}{5}$ , ולא $\frac{16}{25}$ .

למה זה קורה?

כשנתון יחס השטחים ומבקשים יחס דמיון או יחס היקפים, משתמשים ביחס השטחים כמו שהוא.

איך מתקנים?

יחס השטחים הוא

k^{2}

. כדי לקבל את יחס הדמיון (וגם את יחס ההיקפים) צריך להוציא שורש.

טעות נפוצה: מבלבלים את כיוון היחס

אם מבקשים את היחס "הגדול לקטן", הצבה כמו $\frac{קטן}{גדול}$ תיתן תשובה הפוכה.

למה זה קורה?

לא שמים לב מי במונה ומי במכנה — הגדול לקטן או הקטן לגדול.

איך מתקנים?

קבעו מראש איזו צורה במונה, והקפידו על אותו כיוון לכל אורך הפתרון.

סיכום

מה למדנו?

בצורות דומות עם יחס דמיון k:

היקפים: $\frac{P _{1}}{P _{2}} = k$
שטחים: $\frac{S _{1}}{S _{2}} = k^{2}$
קטעים מתאימים (תיכונים, חוצי זווית, גבהים, רדיוסי מעגל חוסם וחסום): היחס שווה ל-k.

טיפים:

היקף וקטעים — אורכים, ולכן יחס k.
שטח — דו-ממדי, ולכן יחס $k^{2}$ .
נתון יחס שטחים ומבקשים יחס דמיון? הוציאו שורש.
קבעו מראש את כיוון היחס ושמרו עליו.

כל הכבוד! עכשיו אתם יודעים לעבור בין יחסי הדמיון, ההיקפים, השטחים והקטעים בצורות דומות.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על יחסי דמיון בהיקפים, שטחים וקטעים מתאימים!

יחסי היקפים, שטחים וקטעים מתאימים בצורות דומות

יחסי היקפים, שטחים וקטעים מתאימים בצורות דומות

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: יחס היקפים

משולש ABC דומה ל-DEF,AB=6,DE=9DEF, AB=6, DE=9DEF,AB=6,DE=9. היקף ABC הוא 20. מהו היקף DEF?

דוגמה 2: יחס שטחים

שני משולשים דומים ביחס דמיון 2:5. שטח הקטן 8 סמ״ר. מהו שטח הגדול?

דוגמה 3: מהשטח אל יחס הדמיון

שני מצולעים דומים. שטחיהם 50 סמ״ר ו-72 סמ״ר. מהו יחס הדמיון?

דוגמה 4: קטעים מתאימים — גובה

שני משולשים דומים ביחס דמיון 4:3 (גדול לקטן). הגובה במשולש הגדול הוא 12. מהו הגובה המתאים בקטן?

דוגמה 5: רדיוס המעגל החוסם והשילוב בין יחסים

שני משולשים דומים. רדיוסי המעגלים החוסמים 4 ו-10. מהו יחס השטחים (הקטן לגדול)?

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: משתמשים ב-k גם לשטח

טעות נפוצה: מעלים בריבוע גם את ההיקף או את הקטעים

טעות נפוצה: שוכחים להוציא שורש כשנתון יחס שטחים

טעות נפוצה: מבלבלים את כיוון היחס

סיכום

תרגול נוסף

משולש ABC דומה ל- $DEF, AB=6, DE=9$ . היקף ABC הוא 20. מהו היקף DEF?