פתרון כללי ופתרון בתחום חלקי

מבוא

מטרות השיעור

לפתור משוואות מהצורות $A sin (a x + b) + B = 0$ , $C cos (c x + d) + D = 0$ ו- $E tan (e x + f) + F = 0$ .
לכתוב את הפתרון הכללי, ולסנן ממנו את הפתרונות שבתחום חלקי נתון.
לקשר בין מספר הפתרונות בתחום לבין ההצגה הגרפית של הפונקציה.
לפתור משוואות פשוטות בעזרת הזהויות $sin^{2} x + cos^{2} x = 1$ ו- $tan x = \frac{sin x}{cos x}$ .

הרעיון המרכזי

אסטרטגיית הפתרון בארבעה שלבים

מבודדים את הפונקציה הטריגונומטרית: מעבירים אגפים ומחלקים, עד שמגיעים ל- $sin (ביטוי) = מספר$ (או cos / tan).
בודקים קיום: לסינוס/קוסינוס נדרש שהמספר יהיה בקטע [-1,1].
פותרים עבור הביטוי כולו (למשל ax+b) כמו משתנה אחד, וכותבים את הפתרון הכללי עם $2 πk$ או $πk$ .
מחזירים ומבודדים את x: כאן צריך לחלק את כל המשוואה במקדם — כולל את איבר המחזוריות.

קישור להצגה הגרפית

הפתרונות של המשוואה הם נקודות החיתוך של הגרף עם הישר האופקי המתאים. כדי לספור פתרונות בתחום חלקי, אפשר לתאר את הגרף בתחום ולספור חיתוכים. שינוי המקדם בארגומנט (כמו $sin (2 x)$ ) "מכווץ" את הגרף ומכפיל את מספר החיתוכים.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: צורת A·sin x + B = 0

פתרו: $2 \cdot \sin x - \sqrt{3} = 0$

x = \frac{π}{3} + 2 πk או x = \frac{2 π}{3} + 2 πk

שלב 1 — מבודדים

2 \cdot \sin x = \sqrt{3}

, ולכן

\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}

דוגמה 2: צורת A·sin(ax+b) + B = 0

פתרו: $2 \cdot \sin (x - \frac{\pi }{6}) - 1 = 0$

x = \frac{π}{3} + 2 πk או x = π + 2 πk

שלב 1 — מבודדים

\sin (x - \frac{\pi }{6}) = \frac{1}{2}

דוגמה 3: מקדם בארגומנט — חלוקת המחזור

פתרו: $\tan (2x) = 1$

x = \frac{π}{8} + \frac{π}{2} k

שלב 1 — מסמנים $t = 2x$

\tan t = 1 ⟹ t = \frac{\pi }{4} + \pi k (

מחזור הטנגנס הוא

\pi )

בדיקה מהירה

מהו הפתרון הכללי של המשוואה $2 \cdot \sin x - 1 = 0$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

מהו הפתרון הכללי של המשוואה $\tan (2x) = 1$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: פתרון בתחום חלקי

מצאו את כל הפתרונות של $2 \cdot \cos x + 1 = 0$ בתחום $[0, 2\pi )$

x \in {\frac{2 π}{3}, \frac{4 π}{3}}

שלב 1 — מבודדים

\cos x = -\frac{1}{2}

תשובה קצרה

פתרו את המשוואה $2 \cdot \sin (x - \frac{\pi }{6}) - 1 = 0$ וכתבו את הפתרון הכללי (השתמשו ב-k כמספר שלם).

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

כמה פתרונות יש למשוואה $2 \cdot \sin (2x) - 1 = 0$ בתחום $0 \le x < 2\pi$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 5: שימוש בזהות tan = sin/cos

פתרו: $\sqrt{3} \cdot \cos x - \sin x = 0$

tan x = 3 \Rightarrow x = \frac{π}{3} + πk

שלב 1 — מעבירים אגף

\sqrt{3} \cdot \cos x = \sin x

דוגמה 6: שימוש בזהות sin²+cos²=1

פתרו: $2 \cdot \cos ^{2}x + 3 \cdot \sin x = 3$

2 sin^{2} x - 3 sin x + 1 = 0 \Rightarrow sin x = 1 או sin x = \frac{1}{2}

שלב 1 — מחליפים

\cos ^{2}x = 1 - \sin ^{2}x ⟹ 2(1 - \sin ^{2}x) + 3\sin x = 3

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: שוכחים לחלק את איבר המחזוריות במקדם הארגומנט

טעות: $2 x = \frac{π}{4} + πk \Rightarrow x = \frac{π}{8} + πk$

נכון: $x = \frac{π}{8} + \frac{π}{2} k$

למה זה קורה?

מחלקים את המספר ב-מקדם, אבל משאירים את

2\pi k

או

\pi k

כמו שהוא.

איך מתקנים?

כשמחלקים את שני אגפי המשוואה ב-2, צריך לחלק גם את איבר המחזוריות. למשל

2x = \frac{\pi }{4} + \pi k

הופך ל-

x = \frac{\pi }{8} + (\frac{\pi }{2})k

טעות נפוצה: מסננים לתחום רק את הפתרון הבסיסי

עבור $cos x = - \frac{1}{2}$ בתחום $[0, 2 π)$ :

טעות: רק $x = \frac{2 π}{3}$ .

נכון: גם $x = \frac{4 π}{3}$ (מ- $- \frac{2 π}{3} + 2 π$ ).

למה זה קורה?

בודקים רק את

k=0

ומפספסים פתרונות שמתקבלים מ-k אחרים.

איך מתקנים?

עברו על מספר ערכי k (למשל

k = -1, 0, 1)

וקחו את כל הפתרונות שנופלים בתחום. לעיתים פתרון מ-

k=-1 (

בהוספת

2\pi )

נכנס לתחום.

טעות נפוצה: עוצרים אחרי פתרון אחד של המשוואה הריבועית

2 sin^{2} x - 3 sin x + 1 = 0 \Rightarrow sin x = 1 וגם sin x = \frac{1}{2}

שתי האפשרויות נחוצות!

למה זה קורה?

לאחר ההצבה

\sin ^{2}x = 1 - \cos ^{2}x

מקבלים משוואה ריבועית, ותלמידים לוקחים רק שורש אחד.

איך מתקנים?

משוואה ריבועית בפונקציה הטריגונומטרית עשויה לתת שני ערכים, וכל ערך מוביל למשפחת פתרונות נפרדת. בדקו את שניהם, וגם שכל ערך נמצא ב-[−1,1].

טעות נפוצה: מנסים לפתור בלי לבדוק קיום

טעות: מנסים לפתור $3 sin x + 5 = 0 \Rightarrow sin x = - \frac{5}{3}$ .

נכון: $- \frac{5}{3} > 1$ , ולכן אין פתרון.

למה זה קורה?

קופצים ישר לפתרון בלי לבדוק אם הערך בכלל ב-[−1,1].

איך מתקנים?

אחרי הבידוד בדקו: אם קיבלתם

\sin (\ldots)

או

\cos (\ldots)

ששווה לערך מחוץ ל-[−1,1] — אין פתרון, ואין טעם להמשיך.

סיכום

מה למדנו?

אסטרטגיה: מבודדים → בודקים קיום → פותרים עבור הביטוי כולו → מחזירים ומבודדים את x (כולל חלוקת איבר המחזוריות).
פתרון בתחום חלקי: מסננים מהפתרון הכללי על-ידי מעבר על ערכי k שונים, ומקשרים את מספר הפתרונות לחיתוכי הגרף עם ישר אופקי.
זהויות מקשרות: $tan x = \frac{sin x}{cos x}$ הופכת משוואה כמו $3 cos x = sin x$ למשוואת טנגנס; $sin^{2} x + cos^{2} x = 1$ מאפשרת להפוך משוואה לריבועית בפונקציה אחת.

זכרו: מקדם בארגומנט מחלק גם את צעד המחזוריות, ומכפיל את מספר הפתרונות בתחום.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי לתרגל פתרון כללי, סינון לתחום חלקי ושימוש בזהויות.

פתרון כללי ופתרון בתחום חלקי

פתרון כללי ופתרון בתחום חלקי

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: צורת A·sin x + B = 0

פתרו: 2⋅sin⁡x−3=02 \cdot \sin x - \sqrt{3} = 02⋅sinx−3​=0

דוגמה 2: צורת A·sin(ax+b) + B = 0

פתרו: 2⋅sin⁡(x−π6)−1=02 \cdot \sin (x - \frac{\pi }{6}) - 1 = 02⋅sin(x−6π​)−1=0

דוגמה 3: מקדם בארגומנט — חלוקת המחזור

פתרו: tan⁡(2x)=1\tan (2x) = 1tan(2x)=1

דוגמה 4: פתרון בתחום חלקי

מצאו את כל הפתרונות של 2⋅cos⁡x+1=02 \cdot \cos x + 1 = 02⋅cosx+1=0 בתחום [0,2π)[0, 2\pi )[0,2π)

דוגמה 5: שימוש בזהות tan = sin/cos

פתרו: 3⋅cos⁡x−sin⁡x=0\sqrt{3} \cdot \cos x - \sin x = 03​⋅cosx−sinx=0

דוגמה 6: שימוש בזהות sin²+cos²=1

פתרו: 2⋅cos⁡2x+3⋅sin⁡x=32 \cdot \cos ^{2}x + 3 \cdot \sin x = 32⋅cos2x+3⋅sinx=3

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: שוכחים לחלק את איבר המחזוריות במקדם הארגומנט

טעות נפוצה: מסננים לתחום רק את הפתרון הבסיסי

טעות נפוצה: עוצרים אחרי פתרון אחד של המשוואה הריבועית

טעות נפוצה: מנסים לפתור בלי לבדוק קיום

סיכום

תרגול נוסף

פתרו: $2 \cdot \sin x - \sqrt{3} = 0$

פתרו: $2 \cdot \sin (x - \frac{\pi }{6}) - 1 = 0$

פתרו: $\tan (2x) = 1$

מצאו את כל הפתרונות של $2 \cdot \cos x + 1 = 0$ בתחום $[0, 2\pi )$

פתרו: $\sqrt{3} \cdot \cos x - \sin x = 0$

פתרו: $2 \cdot \cos ^{2}x + 3 \cdot \sin x = 3$