מידול תופעות מחזוריות

מבוא

מטרות השיעור

לזהות תופעות מחזוריות בחיי היום-יום ולתאר אותן בעזרת פונקציה מהצורה $f (t) = A sin (ω t + φ) + D$ (או cos).
לקרוא מתוך המודל את המשרעת |A|, את קו האמצע D ואת זמן המחזור $T = \frac{2 π}{ω}$ .
לפתור משוואה טריגונומטרית כדי למצוא מתי מתקבל ערך נתון.

תופעות רבות חוזרות על עצמן באופן מחזורי: סיבוב גלגל ענק, גאות ושפל בים, אורך היום לאורך השנה, ומתח זרם החילופין בשקע החשמל. את כולן אפשר לתאר בעזרת סינוס או קוסינוס.

הרעיון המרכזי

קריאת פרמטרים מהמודל

עבור $f (t) = A sin (ω t + φ) + D$ :

משרעת (סטייה מרבית מקו האמצע): |A|.
קו אמצע (הערך הממוצע): D.
ערך מרבי: D + |A| (כאשר הסינוס שווה 1). ערך מזערי: D - |A| (כאשר הסינוס שווה -1).
זמן מחזור: $T = \frac{2 π}{ω}$ — שימו לב, מחלקים את $2 π$ במקדם, לא להפך!

כדי למצוא מתי הפונקציה מקבלת ערך מסוים, מציבים את הערך ופותרים משוואה טריגונומטרית — בדיוק כמו שלמדנו ביחידה.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: קריאת פרמטרים

גלגל ענק: $h(t) = 15 - 13 \cdot \cos ((\frac{\pi }{30})t)$ . מצאו מחזור, קו אמצע, גובה מרבי ומזערי.

T = \frac{2 π}{π /30} = 60, max = 28, min = 2

שלב 1 — קו האמצע

D = 15

מטרים (האיבר החופשי).

תשובה מספרית

גובהו של תא בגלגל ענק (במטרים) מתואר על-ידי $h(t) = 15 - 13 \cdot \cos ((\frac{\pi }{30}) \cdot t)$ , כאשר t נמדד בשניות. מהו זמן המחזור של הסיבוב, בשניות?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

באותו גלגל ענק $, h(t) = 15 - 13 \cdot \cos ((\frac{\pi }{30}) \cdot t) ($ במטרים). מהו הגובה המרבי של תא בגלגל?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: מתי מתקבל הגובה המרבי?

מתי לראשונה $(t > 0)$ התא בגלגל מגיע לגובה 28 מ'?

cos (\frac{π}{30} t) = - 1 \Rightarrow \frac{π}{30} t = π \Rightarrow t = 30

שלב 1 — תנאי למרבי

h מרבי כאשר

\cos ((\frac{\pi }{30})t) = -1

תשובה מספרית

בגלגל הענק $h(t) = 15 - 13 \cdot \cos ((\frac{\pi }{30}) \cdot t) ($ במטרים, t בשניות). מהו הזמן הראשון $t > 0$ שבו התא מגיע לגובה המרבי? תנו את התשובה בשניות.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: גאות ושפל

עומק מים: $D(t) = 5 + 3 \cdot \sin ((\frac{\pi }{6})t)$ . מצאו מחזור, וכמה גבוה ונמוך מגיע העומק.

T = 12, max = 8 m, min = 2 m

שלב 1 — מחזור

T = \frac{2\pi }{\frac{\pi }{6}} = 12

שעות.

דוגמה 4: כמה פעמים מתקבל ערך נתון?

בכמה רגעים t בתחום [0, 12) העומק שווה 6.5 מ'?

sin (\frac{π}{6} t) = 0.5, θ \in [0, 2 π) \Rightarrow 2 פתרונות

שלב 1 — מציבים

5 + 3 \cdot \sin ((\frac{\pi }{6})t) = 6.5 ⟹ \sin ((\frac{\pi }{6})t) = 0.5

תשובה מספרית

עומק המים $D(t) = 5 + 3 \cdot \sin ((\frac{\pi }{6}) \cdot t) ($ מטרים, t בשעות). בכמה רגעי זמן t בתחום $0 \le t < 12$ עומק המים שווה בדיוק 6.5 מטרים?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 5: אורך היום לאורך השנה

$L(t) = 12 + 2 \cdot \sin ((\frac{2\pi }{365})(t - 80))$ . מצאו אורך יום מרבי, מזערי ומחזור.

max = 14, min = 10, T = 365

שלב 1 — קו אמצע ומשרעת

D = 12

שעות

, |A| = 2

שעות.

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מבלבלים בין משרעת לזמן מחזור

ב- $h (t) = 15 - 13 cos (\frac{π}{30} t)$ :

המשרעת היא 13, אבל המחזור הוא $\frac{2 π}{π /30} = 60$ — לא 13 ולא $\frac{π}{30}$ .

למה זה קורה?

גם המשרעת וגם המחזור הם 'מספרים שמתארים את הגל', וקל להחליף ביניהם.

איך מתקנים?

המשרעת היא המקדם A שלפני הסינוס/קוסינוס. זמן המחזור תלוי במקדם

\omega

שבתוך הארגומנט, לפי

T = \frac{2\pi }{\omega }

. אלה שני דברים שונים לגמרי.

טעות נפוצה: מחשבים את המחזור כ- $\omega$ במקום $\frac{2\pi }{\omega }$

טעות: מחזור $= \frac{π}{30}$

נכון: מחזור $= \frac{2 π}{π /30} = 60$

למה זה קורה?

רואים את המקדם

\frac{\pi }{30}

בארגומנט וחושבים שזה המחזור.

איך מתקנים?

המחזור הוא

T = \frac{2\pi }{\omega }

. כאן

\omega = \frac{\pi }{30}

, ולכן

T = 2\pi \div (\frac{\pi }{30}) = 60

. המקדם בארגומנט הוא ההפך מהמחזור (עד כדי

2\pi )

טעות נפוצה: מחפשים מרבי כאשר הסינוס שווה 0

עבור $D (t) = 5 + 3 sin (\frac{π}{6} t)$ :

מרבי כאשר $sin = 1$ (ערך 8); קו אמצע 5 כאשר $sin = 0$ .

למה זה קורה?

מבלבלים בין הערך שבו הפונקציה מתאפסת לבין הערך המרבי שלה.

איך מתקנים?

הערך המרבי מתקבל כאשר הסינוס/קוסינוס שווה

\pm 1 (

לא 0). כאשר הסינוס שווה 0, הפונקציה נמצאת בקו האמצע D.

טעות נפוצה: שוכחים שגם בתופעה פיזיקלית הערך מוגבל ל-[−1,1] בתוך הסינוס

ל- $D (t) = 5 + 3 sin (\dots) = 9$ אין פתרון, כי זה דורש $sin (\dots) = \frac{4}{3} > 1$ .

למה זה קורה?

מנסים למצוא זמן שבו, למשל, העומק עולה מעל המרבי האפשרי.

איך מתקנים?

אם מציבים ערך גדול מהמרבי (או קטן מהמזערי) של המודל, מקבלים

\sin (\ldots)

מחוץ ל-[−1,1] — כלומר אין פתרון, והתופעה לעולם לא מגיעה לערך הזה.

סיכום

מה למדנו?

תופעות מחזוריות מתוארות בעזרת $f (t) = A sin (ω t + φ) + D$ (או cos).
משרעת = |A|, קו אמצע = D, מרבי = D+|A|, מזערי = D-|A|.
זמן מחזור $T = \frac{2 π}{ω}$ — תמיד מחלקים את $2 π$ במקדם.
כדי למצוא מתי מתקבל ערך מסוים, מציבים אותו ופותרים משוואה טריגונומטרית; ערך מחוץ לטווח [D-|A|,\,D+|A|] לא יתקבל לעולם.

עכשיו אתם יכולים לחבר בין המתמטיקה לבין העולם האמיתי!

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי לתרגל זיהוי פרמטרים ופתרון משוואות במודלים מחזוריים.

מידול תופעות מחזוריות

מידול תופעות מחזוריות

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: קריאת פרמטרים

גלגל ענק: h(t)=15−13⋅cos⁡((π30)t)h(t) = 15 - 13 \cdot \cos ((\frac{\pi }{30})t)h(t)=15−13⋅cos((30π​)t). מצאו מחזור, קו אמצע, גובה מרבי ומזערי.

דוגמה 2: מתי מתקבל הגובה המרבי?

מתי לראשונה (t>0)(t > 0)(t>0) התא בגלגל מגיע לגובה 28 מ'?

דוגמה 3: גאות ושפל

עומק מים: D(t)=5+3⋅sin⁡((π6)t)D(t) = 5 + 3 \cdot \sin ((\frac{\pi }{6})t)D(t)=5+3⋅sin((6π​)t). מצאו מחזור, וכמה גבוה ונמוך מגיע העומק.

דוגמה 4: כמה פעמים מתקבל ערך נתון?

בכמה רגעים t בתחום [0, 12) העומק שווה 6.5 מ'?

דוגמה 5: אורך היום לאורך השנה

L(t)=12+2⋅sin⁡((2π365)(t−80))L(t) = 12 + 2 \cdot \sin ((\frac{2\pi }{365})(t - 80))L(t)=12+2⋅sin((3652π​)(t−80)). מצאו אורך יום מרבי, מזערי ומחזור.

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מבלבלים בין משרעת לזמן מחזור

טעות נפוצה: מחשבים את המחזור כ-ω\omegaω במקום 2πω\frac{2\pi }{\omega }ω2π​

טעות נפוצה: מחפשים מרבי כאשר הסינוס שווה 0

טעות נפוצה: שוכחים שגם בתופעה פיזיקלית הערך מוגבל ל-[−1,1] בתוך הסינוס

סיכום

תרגול נוסף

גלגל ענק: $h(t) = 15 - 13 \cdot \cos ((\frac{\pi }{30})t)$ . מצאו מחזור, קו אמצע, גובה מרבי ומזערי.

מתי לראשונה $(t > 0)$ התא בגלגל מגיע לגובה 28 מ'?

עומק מים: $D(t) = 5 + 3 \cdot \sin ((\frac{\pi }{6})t)$ . מצאו מחזור, וכמה גבוה ונמוך מגיע העומק.

$L(t) = 12 + 2 \cdot \sin ((\frac{2\pi }{365})(t - 80))$ . מצאו אורך יום מרבי, מזערי ומחזור.

טעות נפוצה: מחשבים את המחזור כ- $\omega$ במקום $\frac{2\pi }{\omega }$