ערכי הפונקציות הטריגונומטריות במספרים מיוחדים

מבוא

מטרות השיעור

לזכור את ערכי $sin x$ , $cos x$ ו- $tan x$ במספרים המיוחדים $0, \frac{π}{6}, \frac{π}{4}, \frac{π}{3}, \frac{π}{2}$ .
להבין מאיפה מגיעים הערכים האלה מתוך מעגל היחידה, ולא רק לשנן אותם.
לחשב ערך של $tan x$ מתוך הקשר $tan x = \frac{sin x}{cos x}$ .
להבין מדוע $tan (\frac{π}{2})$ אינו מוגדר.

המספרים האלה אינם "סתם זוויות" — הם המספרים שיחזרו שוב ושוב בכל משוואה טריגונומטרית שנפתור ביחידה הזו. שליטה מהירה בהם תחסוך לכם זמן יקר.

הרעיון המרכזי

טבלת הערכים המיוחדים

כל המספרים נמדדים ברדיאנים (כפולות של $π$ ).

x	0	$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{4}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{π}{2}$
$sin x$	0	$\frac{1}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{3}{2}$	1
$cos x$	1	$\frac{3}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{1}{2}$	0
$tan x$	0	$\frac{1}{3}$	1	$3$	אינו מוגדר

טריק זיכרון לסינוס: הערכים הם $\frac{0}{2}, \frac{1}{2}, \frac{2}{2}, \frac{3}{2}, \frac{4}{2}$ — כלומר $\frac{n}{2}$ כאשר n=0,1,2,3,4. הקוסינוס הוא אותה רשימה בדיוק, אבל הפוכה.

על מעגל היחידה, למספר ממשי x מתאימה נקודה P. שיעור ה-y שלה הוא $sin x$ ושיעור ה-x שלה הוא $cos x$ . ככל ש-x גדל מ-0 ל- $\frac{π}{2}$ , הנקודה עולה מימין למעלה: הסינוס גדל מ-0 ל-1, והקוסינוס יורד מ-1 ל-0.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: קריאת ערך מהטבלה

מצאו את $\sin (\frac{\pi }{3})$ ואת $\cos (\frac{\pi }{6})$

sin (\frac{π}{3}) = \frac{3}{2}, cos (\frac{π}{6}) = \frac{3}{2}

שלב 1 — מאתרים בטבלה

\sin (\frac{\pi }{3})

הוא הערך של הסינוס במספר

\frac{\pi }{3}

בדיקה מהירה

מהו הערך של $\sin (\frac{\pi }{6})$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

בדיקה מהירה

מהו הערך של $\cos (\frac{\pi }{3})$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: חישוב טנגנס דרך sin/cos

חשבו את $\tan (\frac{\pi }{6})$

tan (\frac{π}{6}) = \frac{sin ( π /6 )}{cos ( π /6 )} = \frac{1/2}{3 /2} = \frac{1}{3} = \frac{3}{3}

שלב 1 — הקשר המקשר

\tan x = \sin \frac{x}{\cos } x

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: $\tan (\frac{\pi }{4}) = 1$

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: מדוע tan(π/2) אינו מוגדר

מהו $\tan (\frac{\pi }{2})$ ?

tan (\frac{π}{2}) = \frac{sin ( π /2 )}{cos ( π /2 )} = \frac{1}{0} \Rightarrow לא מוגדר

שלב 1 — כותבים כמנה

\tan (\frac{\pi }{2}) = \frac{\sin (\frac{\pi }{2})}{\cos (\frac{\pi }{2})}

דוגמה 4: צירוף ערכים מיוחדים

חשבו את הערך המדויק של $\sin ^{2}(\frac{\pi }{3}) + \cos ^{2}(\frac{\pi }{3})$

(\frac{3}{2})^{2} + (\frac{1}{2})^{2} = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1

שלב 1 — מציבים ערכים

\sin (\frac{\pi }{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2,} \cos (\frac{\pi }{3}) = \frac{1}{2}

דוגמה 5: צירוף עם הזהות tan = sin/cos

חשבו את הערך המדויק של $\tan (\frac{\pi }{4}) \cdot \cos (\frac{\pi }{3})$

tan (\frac{π}{4}) \cdot cos (\frac{π}{3}) = 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

שלב 1 — ערך הטנגנס

\tan (\frac{\pi }{4}) = 1 (

כי

\sin (\frac{\pi }{4}) = \cos (\frac{\pi }{4}))

תשובה מספרית

חשבו את הערך המדויק של $\tan (\frac{\pi }{3}) \cdot \tan (\frac{\pi }{6})$ .

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מחליפים בין ערכי הסינוס לקוסינוס

טעות: $sin (\frac{π}{3}) = \frac{1}{2}$

נכון: $sin (\frac{π}{3}) = \frac{3}{2}$

למה זה קורה?

גם

\sin (\frac{\pi }{3})

וגם

\cos (\frac{\pi }{6})

שווים

\frac{\sqrt{3}}{2}

, אבל

\sin (\frac{\pi }{3}) \ne \cos (\frac{\pi }{3})

איך מתקנים?

זכרו: סינוס גדל מ-0 ל-1 כאשר x גדל מ-0 ל-

\frac{\pi }{2}

; קוסינוס יורד מ-1 ל-0. לכן

\sin (\frac{\pi }{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} (

קרוב ל-1) ו-

\cos (\frac{\pi }{3}) = \frac{1}{2}

טעות נפוצה: חושבים ש- $\tan (\frac{\pi }{2})$ שווה למספר כלשהו

טעות: $tan (\frac{π}{2}) = 1$

נכון: $tan (\frac{π}{2})$ אינו מוגדר.

למה זה קורה?

תלמידים מנסים לחשב

\frac{1}{0}

ומקבלים 'מספר גדול' או טועים וכותבים 1.

איך מתקנים?

\tan (\frac{\pi }{2}) = \frac{\sin (\frac{\pi }{2})}{\cos (\frac{\pi }{2})} = \frac{1}{0}

, וחלוקה ב-0 אינה מוגדרת. בגרף יש שם אסימפטוטה אנכית.

טעות נפוצה: מבלבלים בין מעלות לרדיאנים במחשבון

\frac{π}{6} \approx 0.52 (ולא 30)

למה זה קורה?

כותבים 30 במקום

\frac{\pi }{6}

, או משאירים את המחשבון במצב DEG כשעובדים ברדיאנים.

איך מתקנים?

כאן כל המספרים הם ברדיאנים

. \frac{\pi }{6}

הוא מספר ממשי (בערך 0.52), לא 30. ודאו שהמחשבון במצב RAD.

טעות נפוצה: חושבים ש- $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ו- $\frac{1}{\sqrt{2}}$ הם ערכים שונים

\frac{1}{2} = \frac{2}{2} \approx 0.707

למה זה קורה?

שתי הצורות נראות שונה, ולכן נראה שאחת מהן שגויה.

איך מתקנים?

הן זהות:

\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}

. שתיהן נכונות עבור

\sin (\frac{\pi }{4})

ו-

\cos (\frac{\pi }{4})

טעות נפוצה: שוכחים ש- $\sin (0) = 0$ אבל $\cos (0) = 1$

sin (0) = 0, cos (0) = 1

למה זה קורה?

מניחים שבמספר 0 שתי הפונקציות מתאפסות.

איך מתקנים?

המספר 0 מתאים לנקודה

(1,0):

שיעור ה-y הוא 0 (ולכן

\sin (0)=0)

, אבל שיעור ה-x הוא 1 (ולכן

\cos (0)=1)

סיכום

מה למדנו?

ערכי הסינוס במספרים $0, \frac{π}{6}, \frac{π}{4}, \frac{π}{3}, \frac{π}{2}$ הם $0, \frac{1}{2}, \frac{2}{2}, \frac{3}{2}, 1$ .
ערכי הקוסינוס הם אותה רשימה בסדר הפוך: $1, \frac{3}{2}, \frac{2}{2}, \frac{1}{2}, 0$ .
את הטנגנס מחשבים תמיד דרך $tan x = \frac{sin x}{cos x}$ .
$tan (\frac{π}{2})$ אינו מוגדר כי הקוסינוס שם מתאפס.

עכשיו, כשהערכים האלה בראש שלכם, אתם מוכנים להתחיל לפתור משוואות טריגונומטריות!

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי לקבע את ערכי המספרים המיוחדים — הם הבסיס לכל היחידה.

ערכי הפונקציות הטריגונומטריות במספרים מיוחדים

ערכי הפונקציות הטריגונומטריות במספרים מיוחדים

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: קריאת ערך מהטבלה

מצאו את sin⁡(π3)\sin (\frac{\pi }{3})sin(3π​) ואת cos⁡(π6)\cos (\frac{\pi }{6})cos(6π​)

דוגמה 2: חישוב טנגנס דרך sin/cos

חשבו את tan⁡(π6)\tan (\frac{\pi }{6})tan(6π​)

דוגמה 3: מדוע tan(π/2) אינו מוגדר

מהו tan⁡(π2)\tan (\frac{\pi }{2})tan(2π​)?

דוגמה 4: צירוף ערכים מיוחדים

חשבו את הערך המדויק של sin⁡2(π3)+cos⁡2(π3)\sin ^{2}(\frac{\pi }{3}) + \cos ^{2}(\frac{\pi }{3})sin2(3π​)+cos2(3π​)

דוגמה 5: צירוף עם הזהות tan = sin/cos

חשבו את הערך המדויק של tan⁡(π4)⋅cos⁡(π3)\tan (\frac{\pi }{4}) \cdot \cos (\frac{\pi }{3})tan(4π​)⋅cos(3π​)

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מחליפים בין ערכי הסינוס לקוסינוס

טעות נפוצה: חושבים ש-tan⁡(π2)\tan (\frac{\pi }{2})tan(2π​) שווה למספר כלשהו

טעות נפוצה: מבלבלים בין מעלות לרדיאנים במחשבון

טעות נפוצה: חושבים ש-22\frac{\sqrt{2}}{2}22​​ ו-12\frac{1}{\sqrt{2}}2​1​ הם ערכים שונים

טעות נפוצה: שוכחים ש-sin⁡(0)=0\sin (0) = 0sin(0)=0 אבל cos⁡(0)=1\cos (0) = 1cos(0)=1

סיכום

תרגול נוסף

מצאו את $\sin (\frac{\pi }{3})$ ואת $\cos (\frac{\pi }{6})$

חשבו את $\tan (\frac{\pi }{6})$

מהו $\tan (\frac{\pi }{2})$ ?

חשבו את הערך המדויק של $\sin ^{2}(\frac{\pi }{3}) + \cos ^{2}(\frac{\pi }{3})$

חשבו את הערך המדויק של $\tan (\frac{\pi }{4}) \cdot \cos (\frac{\pi }{3})$

טעות נפוצה: חושבים ש- $\tan (\frac{\pi }{2})$ שווה למספר כלשהו

טעות נפוצה: חושבים ש- $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ו- $\frac{1}{\sqrt{2}}$ הם ערכים שונים

טעות נפוצה: שוכחים ש- $\sin (0) = 0$ אבל $\cos (0) = 1$