הפונקציות סינוס וקוסינוס: הגדרה, מחזוריות וסימטריה

מבוא

בשיעור הקודם למדנו להתאים כל מספר ממשי x לנקודה P על מעגל היחידה. עכשיו נשתמש בנקודה הזו כדי להגדיר שתי פונקציות חדשות וחשובות: הסינוס והקוסינוס. ההגדרה גאומטרית לחלוטין — היא מבוססת רק על מיקום הנקודה.

מטרות השיעור

להגדיר את $sin (x)$ כשיעור ה-y ואת $cos (x)$ כשיעור ה-x של הנקודה P.
להבין מדוע $- 1 \leq sin (x) \leq 1$ ו- $- 1 \leq cos (x) \leq 1$ .
להסיק מההגדרה את המחזוריות: $sin (x + 2 π) = sin x$ ו- $cos (x + 2 π) = cos x$ .
להסיק את זהויות הסימטריה: $sin (- x) = - sin x$ (אי-זוגית) ו- $cos (- x) = cos x$ (זוגית).
להכיר את גרפי הסינוס והקוסינוס.

הרעיון המרכזי

הגדרת סינוס וקוסינוס

תהי $P = (x_{P}, y_{P})$ הנקודה על מעגל היחידה המתאימה למספר הממשי x. אז:

cos (x) = x_{P} (שיעור ה- x)

sin (x) = y_{P} (שיעור ה- y)

מכיוון שהנקודה נמצאת על מעגל שרדיוסו 1, מתקיים תמיד $- 1 \leq sin x \leq 1$ ו- $- 1 \leq cos x \leq 1$ .

ערכים בנקודות המיוחדות

מהנקודות המיוחדות על המעגל קוראים ישירות את הערכים:

x	הנקודה	$cos x$	$sin x$
0	(1,0)	1	0
$\frac{π}{2}$	(0,1)	0	1
$π$	(-1,0)	-1	0
$\frac{3 π}{2}$	(0,-1)	0	-1
$2 π$	(1,0)	1	0

מחזוריות וסימטריה

מחזוריות: הוספת $2 π$ היא ליפוף שלם נוסף — חוזרים לאותה נקודה. לכן: $sin (x + 2 π) = sin x, cos (x + 2 π) = cos x .$ המחזור של שתי הפונקציות הוא $2 π$ .

סימטריה: הנקודות של x ושל -x משוקפות זו לזו ביחס לציר ה-x. בשיקוף כזה שיעור ה-x נשמר ושיעור ה-y מתהפך. לכן: $cos (- x) = cos x (זוגית), sin (- x) = - sin x (אי-זוגית) .$

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: קריאת ערכים מנקודה

מצאו את $\sin (\frac{3\pi }{2})$ ואת $\cos (\frac{3\pi }{2})$

sin (\frac{3 π}{2}) = - 1, cos (\frac{3 π}{2}) = 0

שלב 1 — איזו נקודה?

\frac{3\pi }{2}

הם שלושה רבעי מעגל בכיוון החיובי, ומגיעים לנקודה

(0,-1)

בדיקה מהירה

נקודה P על מעגל היחידה מתאימה למספר x. כיצד מוגדרים $\sin (x)$ ו- $\cos (x)$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: המספר $\frac{\pi }{2}$ מתאים לנקודה $(0,1)$ , ולכן $\sin (\frac{\pi }{2}) = 1$ .

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: שימוש בסימטריה (אי-זוגיות הסינוס)

ידוע ש- $\sin (x) = 0.6$ . מצאו את $\sin (-x)$

sin (- x) = - sin (x) = - 0.6

שלב 1 — מזהים את הזהות

הסינוס אי-זוגי:

\sin (-x) = -\sin (x)

דוגמה 3: שימוש בסימטריה (זוגיות הקוסינוס)

ידוע ש- $\cos (x) = 0.6$ . מצאו את $\cos (-x)$

cos (- x) = cos (x) = 0.6

שימו לב להבדל מהסינוס: כאן אין סימן מינוס!

שלב 1 — מזהים את הזהות

הקוסינוס זוגי:

\cos (-x) = \cos (x)

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: עבור פונקציית הקוסינוס מתקיים $\cos (-x) = \cos (x) ($ הקוסינוס הוא פונקציה זוגית).

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: שימוש במחזוריות

חשבו את $\cos (\frac{5\pi }{2})$

cos (\frac{5 π}{2}) = cos (\frac{π}{2}) = 0

שלב 1 — מורידים סיבוב שלם

\frac{5\pi }{2} = \frac{\pi }{2} + 2\pi

בדיקה מהירה

ידוע ש- $\sin (x) = 0.4$ . בעזרת תכונת המחזוריות, מהו ערכו של $\sin (x + 2\pi )$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 5: הגרפים

מה אומרים גרפי הסינוס והקוסינוס?

$sin (0) = 0, cos (0) = 1$ — וזה מסביר את נקודת ההתחלה של כל גרף.

שלב 1 — גרף הסינוס

מתחיל ב-

(0,0)

, עולה למקסימום 1 ב-

\frac{\pi }{2}

, יורד ל-0 ב-

\pi

, למינימום

-1

ב-

\frac{3\pi }{2}

, וחוזר ל-0 ב-

2\pi

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מחליפים בין סינוס לקוסינוס

בנקודה (0,1): $sin = 1$ (ה-y), $cos = 0$ (ה-x) — ולא להפך.

למה זה קורה?

תלמידים שוכחים מי משויך ל-y ומי ל-x.

איך מתקנים?

סינוס = שיעור ה-y (הגובה). קוסינוס = שיעור ה-x (הרוחב).

טעות נפוצה: חושבים שגם הקוסינוס אי-זוגי

$cos (- x) = cos (x)$ (אין מינוס), אבל $sin (- x) = - sin (x)$ (יש מינוס).

למה זה קורה?

תלמידים מכלילים מהסינוס וכותבים

\cos (-x)=-\cos x

איך מתקנים?

הקוסינוס זוגי:

\cos (-x)=\cos x

. רק הסינוס אי-זוגי:

\sin (-x)=-\sin x

טעות נפוצה: חושבים שערכי סינוס/קוסינוס יכולים לחרוג מ-[−1,1]

ביטוי כמו $sin x = 1.5$ בלתי אפשרי — אין נקודה על מעגל היחידה שגובהה 1.5.

למה זה קורה?

תלמידים לא מקשרים את הערכים לרדיוס המעגל.

איך מתקנים?

הנקודה על מעגל שרדיוסו 1, ולכן כל שיעור נמצא בין

-1

ל-1. לעולם

\sin

ו-

\cos

לא יוצאים מהתחום הזה.

טעות נפוצה: מבלבלים בין מחזור $2\pi$ למחזור $\pi$

$sin (x + 2 π) = sin x$ , אבל בדרך כלל $sin (x + π) \neq = sin x$ .

למה זה קורה?

תלמידים זוכרים שיש מחזוריות אך לא את גודלה.

איך מתקנים?

המחזור של הסינוס והקוסינוס הוא

2\pi

— היקף שלם. הוספת

2\pi

מחזירה לאותו ערך בדיוק.

סיכום

מה למדנו?

הגדרה: $cos x$ = שיעור ה-x של הנקודה, $sin x$ = שיעור ה-y.
תחום הערכים: שתיהן בין -1 ל-1 (כי הרדיוס 1).
מחזוריות: $sin (x + 2 π) = sin x$ ו- $cos (x + 2 π) = cos x$ — מחזור $2 π$ .
סימטריה: הסינוס אי-זוגי $sin (- x) = - sin x$ ; הקוסינוס זוגי $cos (- x) = cos x$ .
גרפים: שני גרפים גליים בין -1 ל-1 שמחזורם $2 π$ .

כל הכבוד! עכשיו אתם יודעים לקרוא ולחשב ערכי סינוס וקוסינוס ולהשתמש בתכונותיהם.

תרגול נוסף

עברו לתרגול כדי להתאמן על הגדרת הסינוס והקוסינוס, המחזוריות והסימטריה!

הפונקציות סינוס וקוסינוס: הגדרה, מחזוריות וסימטריה

הפונקציות סינוס וקוסינוס: הגדרה, מחזוריות וסימטריה

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: קריאת ערכים מנקודה

מצאו את sin⁡(3π2)\sin (\frac{3\pi }{2})sin(23π​) ואת cos⁡(3π2)\cos (\frac{3\pi }{2})cos(23π​)

דוגמה 2: שימוש בסימטריה (אי-זוגיות הסינוס)

ידוע ש-sin⁡(x)=0.6\sin (x) = 0.6sin(x)=0.6. מצאו את sin⁡(−x)\sin (-x)sin(−x)

דוגמה 3: שימוש בסימטריה (זוגיות הקוסינוס)

ידוע ש-cos⁡(x)=0.6\cos (x) = 0.6cos(x)=0.6. מצאו את cos⁡(−x)\cos (-x)cos(−x)

דוגמה 4: שימוש במחזוריות

חשבו את cos⁡(5π2)\cos (\frac{5\pi }{2})cos(25π​)

דוגמה 5: הגרפים

מה אומרים גרפי הסינוס והקוסינוס?

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מחליפים בין סינוס לקוסינוס

טעות נפוצה: חושבים שגם הקוסינוס אי-זוגי

טעות נפוצה: חושבים שערכי סינוס/קוסינוס יכולים לחרוג מ-[−1,1]

טעות נפוצה: מבלבלים בין מחזור 2π2\pi2π למחזור π\piπ

סיכום

תרגול נוסף

מצאו את $\sin (\frac{3\pi }{2})$ ואת $\cos (\frac{3\pi }{2})$

ידוע ש- $\sin (x) = 0.6$ . מצאו את $\sin (-x)$

ידוע ש- $\cos (x) = 0.6$ . מצאו את $\cos (-x)$

חשבו את $\cos (\frac{5\pi }{2})$

טעות נפוצה: מבלבלים בין מחזור $2\pi$ למחזור $\pi$