הישר המשיק למעגל היחידה בנקודה (1,0) הוא הישר האנכי x = 1.

נתון מספר x שנקודתו על המעגל היא $P=(\cos x,\sin x)$. נעביר את הקרן מהמרכז O דרך P ונאריך אותה עד שתפגוש את הישר x=1 בנקודה T=(1,\,t).

ההגדרה: $\tan (x)=t$ — שיעור ה-y של נקודת המפגש על המשיק.

כאשר $\cos x=0$ (בנקודות (0,1) ו-(0,-1)), הקרן מהמרכז אנכית — מקבילה לישר x=1 — ולכן אינה פוגשת אותו. שם הטנגנס אינו מוגדר: $x=\frac{\pi }{2}+\pi k(k\in \mathbb{Z}).$ בגרף הטנגנס יש שם אסימפטוטות אנכיות.

הוספת $\pi$ שולחת את $P=(\cos x,\sin x)$ לנקודה הנגדית $(-\cos x,-\sin x)$. היחס לא משתנה: $\tan (x+\pi )=\frac{-\sin x}{-\cos x}=\frac{\sin x}{\cos x}=\tan x.$ לכן מחזור הטנגנס הוא $\pi$ — חצי מהמחזור של הסינוס והקוסינוס.

נתבונן בשני משולשים ישרי-זווית בעלי קודקוד משותף במרכז O:

• המשולש הקטן — מ-O אל $P=(\cos x,\sin x)$: ניצב אופקי $\cos x$ וניצב אנכי $\sin x$.
• המשולש הגדול — מ-O אל $T=(1,\tan x)$: ניצב אופקי 1 וניצב אנכי $\tan x$.

שני המשולשים חולקים את הזווית ב-O ושניהם ישרי-זווית, ולכן הם דומים. היחס בין הניצב האנכי לאופקי שווה בשניהם.