שימוש בנוסחה A_t = A_0·q^t ושינוי נושא נוסחה

מבוא

מטרות השיעור

להציב בנוסחה $A_{t} = A_{0} \cdot q^{t}$ ולחשב את הסכום הסופי.
לשנות את נושא הנוסחה כדי למצוא את הסכום ההתחלתי: $A_{0} = \frac{A _{t}}{q ^{t}}$ .
לשנות את נושא הנוסחה כדי למצוא את המקדם: $q = t \frac{A _{t}}{A _{0}}$ .

הרעיון המרכזי

הנוסחה ושלושת השימושים

A_{t} = A_{0} \cdot q^{t}

$A_{0}$ — הסכום ההתחלתי (בזמן 0).
q — המקדם (פי כמה מוכפל הסכום בכל תקופה).
t — מספר תקופות הזמן.
$A_{t}$ — הסכום אחרי t תקופות.

מציאת הסכום הסופי: מציבים ומחשבים $A_{0} \cdot q^{t}$ .

מציאת הסכום ההתחלתי: $A_{0} = \frac{A _{t}}{q ^{t}}$ (מחלקים).

מציאת המקדם: $q^{t} = \frac{A _{t}}{A _{0}}$ , ואז $q = t \frac{A _{t}}{A _{0}}$ (מוציאים שורש מסדר t).

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: מציאת הסכום הסופי

קופת גמל: $A_0 = 100{,}000 ₪, q = 1.05$ . מה הסכום אחרי שנתיים?

A_{2} = 100000 \cdot 1.0 5^{2} = 110250

שלב 1 — מציבים

A_2 = 100{,}000 \cdot 1.05^{2}

תשובה מספרית

מר לוי השקיע בקופת גמל 100,000 ₪, והקופה מניבה 5% בכל שנה $(q = 1.05)$ . השתמשו בנוסחה $A_t = A_0 \cdot q^t$ כדי לחשב את הסכום (ב-₪) כעבור שנתיים.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: מציאת הסכום ההתחלתי (חילוק)

משכורת גדלה 5% בשנה, אחרי שנתיים 11,025 ₪. מה הייתה ההתחלתית?

A_{0} = \frac{11025}{1.0 5 ^{2}} = \frac{11025}{1.1025} = 10000

שלב 1 — נוסחה

11{,}025 = A_0 \cdot 1.05^{2}

תשובה מספרית

משכורת גדלה ב-5% בכל שנה $(q = 1.05)$ . כעבור שנתיים היא 11,025 ₪. מה הייתה המשכורת ההתחלתית (ב-₪)? שנו את נושא הנוסחה.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: מציאת המקדם (שורש ריבועי)

חיסכון 200,000 ₪ הפך אחרי שנתיים ל-220,500 ₪. מהו q?

q = \frac{220500}{200000} = 1.1025 = 1.05

שלב 1 — נוסחה

220{,}500 = 200{,}000 \cdot q^{2}

תשובה מספרית

בתוכנית חיסכון היו בהתחלה 200,000 ₪, וכעבור שנתיים היו בה 220,500 ₪. מהו המקדם השנתי q? שנו את נושא הנוסחה.

סטייה מותרת: ±0.001

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: מציאת מקדם דעיכה (שורש שלישי)

מכונית 50,000 ₪ ירדה אחרי 3 שנים ל-36,450 ₪. מהו q?

q = 3 \frac{36450}{50000} = 3 0.729 = 0.9

שלב 1 — נוסחה

36{,}450 = 50{,}000 \cdot q^{3}

תשובה מספרית

מחיר מכונית היה 50,000 ₪, וכעבור שלוש שנים ירד ל-36,450 ₪ בתהליך מעריכי. מהו המקדם השנתי q?

סטייה מותרת: ±0.001

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מכפילים במקום לחלק כשמחפשים את $A_0$

$A_{0} = \frac{A _{t}}{q ^{t}}$ , לא $A_{t} \cdot q^{t}$ .

למה זה קורה?

תלמידים חושבים שכדי למצוא סכום קודם צריך להכפיל ב-q.

איך מתקנים?

מהנוסחה

A_t = A_0 \cdot q^t

מבודדים

A_0

בחלוקה:

A_0 = A_t \div q^t

טעות נפוצה: מחלקים את היחס ב-t במקום להוציא שורש

$q = t \frac{A _{t}}{A _{0}}$ , לא $\frac{A _{t} / A _{0}}{t}$ .

למה זה קורה?

תלמידים מטפלים בחזקה כאילו הייתה מכפלה.

איך מתקנים?

q^t = A\_\frac{t}{A}_0 ⇐

מוציאים שורש מסדר

t: q = (A\_\frac{t}{A}_0)^(\frac{1}{t})

. למשל

q^{2} ⇐

שורש ריבועי

, q^{3} ⇐

שורש שלישי.

טעות נפוצה: מבלבלים בין $A_0$ ל- $A_t$ בהצבה

חיסכון: ההפקדה הראשונית היא $A_{0}$ ; היתרה אחר כך היא $A_{t}$ .

למה זה קורה?

לא מזהים מי הסכום ההתחלתי ומי הסופי.

איך מתקנים?

A_0

הוא בזמן 0 (תחילת התהליך)

, A_t

אחרי t תקופות. סמנו אותם לפני ההצבה.

טעות נפוצה: שוכחים לחשב את $q^t$ לפני החלוקה

$A_{0} = \frac{11025}{1.0 5 ^{2}} = \frac{11025}{1.1025}$ , ולא $\frac{11025}{1.05}$ .

למה זה קורה?

מחלקים ב-q במקום ב-

q^t

איך מתקנים?

קודם מחשבים את

q^t (

למשל

1.05^{2} = 1.1025)

, ורק אז מחלקים.

סיכום

מה למדנו?

הנוסחה: $A_{t} = A_{0} \cdot q^{t}$ .
סכום סופי: מציבים ומחשבים.
סכום התחלתי: $A_{0} = \frac{A _{t}}{q ^{t}}$ (מחלקים).
מקדם: $q = t \frac{A _{t}}{A _{0}}$ (שורש מסדר t).
תמיד אפשר לבדוק: הציבו את התשובה חזרה בנוסחה.

כל הכבוד! עכשיו אתם שולטים בנוסחה ובשינוי נושא הנוסחה.

שימוש בנוסחה A_t = A_0·q^t ושינוי נושא נוסחה

שימוש בנוסחה A_t = A_0·q^t ושינוי נושא נוסחה

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: מציאת הסכום הסופי

קופת גמל: A0=100,000₪,q=1.05A_0 = 100{,}000 ₪, q = 1.05A0​=100,000₪,q=1.05. מה הסכום אחרי שנתיים?

דוגמה 2: מציאת הסכום ההתחלתי (חילוק)

משכורת גדלה 5% בשנה, אחרי שנתיים 11,025 ₪. מה הייתה ההתחלתית?

דוגמה 3: מציאת המקדם (שורש ריבועי)

חיסכון 200,000 ₪ הפך אחרי שנתיים ל-220,500 ₪. מהו q?

דוגמה 4: מציאת מקדם דעיכה (שורש שלישי)

מכונית 50,000 ₪ ירדה אחרי 3 שנים ל-36,450 ₪. מהו q?

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מכפילים במקום לחלק כשמחפשים את A0A_0A0​

טעות נפוצה: מחלקים את היחס ב-t במקום להוציא שורש

טעות נפוצה: מבלבלים בין A0A_0A0​ ל-AtA_tAt​ בהצבה

טעות נפוצה: שוכחים לחשב את qtq^tqt לפני החלוקה

סיכום

קופת גמל: $A_0 = 100{,}000 ₪, q = 1.05$ . מה הסכום אחרי שנתיים?

טעות נפוצה: מכפילים במקום לחלק כשמחפשים את $A_0$

טעות נפוצה: מבלבלים בין $A_0$ ל- $A_t$ בהצבה

טעות נפוצה: שוכחים לחשב את $q^t$ לפני החלוקה