קריאת תהליך מעריכי מגרף והשוואת תהליכים

מבוא

מטרות השיעור

לקרוא מגרף את הסכום ההתחלתי $A_{0}$ , את הסכום אחרי מספר תקופות ואת יחידת הזמן.
לחשב מהנתונים שבגרף את המקדם q ואת אחוז הריבית/הפיחות.
להבחין בין צורת גרף מעריכי לצורת גרף לינארי.
להשוות בין תוכניות חיסכון ובין ערכי נכסים, ולקבוע מה קורה להפרש לאורך זמן.

הרעיון המרכזי

קריאה מגרף והשוואה

קריאה מגרף: מאתרים שתי נקודות $(t_{1}, A_{1})$ ו- $(t_{2}, A_{2})$ . הסכום ההתחלתי הוא ערך ה-y בנקודת ההתחלה (החיתוך עם ציר ה-y). למציאת המקדם משתמשים ב- $A_{t} = A_{0} \cdot q^{t}$ ובשינוי נושא.

צורת הגרף:

גרף מעריכי: עקומה. בגדילה (ריבית) הוא נעשה תלול יותר ויותר; בדעיכה (פיחות) הוא יורד מהר בהתחלה ואז מתמתן ומתקרב לאפס.
גרף לינארי: קו ישר בשיפוע קבוע.

השוואות פיננסיות:

בהשוואת תוכניות חיסכון משווים את הסכום שמתקבל בתום אותה תקופה — שימו לב ליחידות זמן שונות (שנה מול שנתיים).
בהשוואת שתי דעיכות: בודקים את ההפרש בין הסכומים אחרי מספר תקופות — הוא יכול לגדול, להישאר, או לקטון.

בדיקה מהירה

גרף מתאר את סכום החיסכון של מר לוי לאורך השנים. נקודת ההתחלה של הגרף (בשנה 0) נמצאת בגובה 100,000 ₪. מהו הסכום ההתחלתי $A_0$ ?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: מציאת אחוז הריבית מגרף

מהגרף: $(2000, 100{,}000)$ ו- $(2002, 112{,}360) ₪$ . בכמה אחוזים גדל החיסכון בשנה?

q = \frac{112360}{100000} = 1.1236 = 1.06

שלב 1 — נקודות

A_0 = 100{,}000 (2000), A_2 = 112{,}360 (2002)

תשובה מספרית

מהגרף של תוכנית חיסכון קוראים שתי נקודות: בשנת 2000 היו 100,000 ₪, ובשנת 2002 היו 112,360 ₪. בכמה אחוזים גדל החיסכון בכל שנה?

סטייה מותרת: ±0.1

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: השוואת שתי תוכניות חיסכון

100,000 ₪ ל-4 שנים: תוכנית א 6% לשנה מול תוכנית ב 12% לשנתיים. מי עדיפה?

100000 \cdot 1.0 6^{4} \approx 126248 > 100000 \cdot 1.1 2^{2} = 125440

שלב 1 — תוכנית א

4 שנים

= 4

הכפלות ב-

1.06: 100{,}000 \times 1.06^{4} ≈ 126{,}248 ₪

בדיקה מהירה

בבנק שתי תוכניות חיסכון להשקעה של 100,000 ₪ למשך 4 שנים: תוכנית א — ריבית שנתית 6% (יחידת זמן: שנה). תוכנית ב — ריבית דו-שנתית 12% (יחידת זמן: שנתיים). באיזו תוכנית יתקבל סכום גדול יותר בתום 4 שנים?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: השוואת שתי דעיכות (ההפרש)

מכונית א $150{,}000 ₪ (-10\%/$ שנה), מכונית ב $110{,}000 ₪ (-8\%/$ שנה). מה קורה להפרש?

מכונית עם שיעור פיחות גדול יותר יורדת מהר יותר ומצמצמת את הפער.

שלב 1 — היום

=150{,}000

, ב

=110{,}000

, הפרש 40,000.

בדיקה מהירה

ערך מכונית א היום 150,000 ₪ ויורד ב-10% בכל שנה; ערך מכונית ב היום 110,000 ₪ ויורד ב-8% בכל שנה. מה קורה להפרש בין מחירי שתי המכוניות במשך השנים?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: מספר שנים מגרף (ניסוי וטעייה)

מהגרף: מכונית $150{,}000 ₪, -10\%/$ שנה. מתי תגיע ל-98,415 ₪?

150000 \cdot 0. 9^{4} = 98415

שלב 1 — מקדם

q = 0.9

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מודדים קצב לפי שיפוע ישר

$q^{t} = \frac{A _{2}}{A _{1}}$ , ולא שיפוע קבוע.

למה זה קורה?

תלמידים מחשבים שיפוע קבוע כמו בקו ישר.

איך מתקנים?

בגרף מעריכי הקצב משתנה. מזהים שתי נקודות ומחשבים את היחס q ביניהן בעזרת הנוסחה.

טעות נפוצה: התוכנית עם האחוז הגדול תמיד עדיפה

1.0 6^{4} \approx 1.2625 > 1.1 2^{2} = 1.2544

למה זה קורה?

תלמידים משווים אחוזים בלי לשים לב ליחידת הזמן.

איך מתקנים?

12% לשנתיים אינם זהים ל-6% לשנה. השוו את הסכום הסופי בתום אותה תקופה.

טעות נפוצה: ההפרש בין שני נכסים נשאר קבוע

הפרש: 40,000 → 33,800 → 28,396 — קָטֵן.

למה זה קורה?

תלמידים מניחים שאם שניהם יורדים, הפער נשמר.

איך מתקנים?

ההפרש משתנה. בדקו אחרי מספר שנים: מי שיורד מהר יותר מצמצם או מגדיל את הפער.

טעות נפוצה: ספירה שגויה של יחידות הזמן מהגרף

t = 2002 - 2000 = 2

למה זה קורה?

מבלבלים בין שנות-לוח לבין מספר התקופות.

איך מתקנים?

מספר התקופות = זמן סופי פחות זמן התחלה. מ-2000 ל-2002 עברו 2 שנים, לא 3.

סיכום

מה למדנו?

מגרף קוראים $A_{0}$ (החיתוך עם ציר y), נקודות נוספות ויחידת הזמן, ומחשבים את q.
גרף מעריכי הוא עקומה; גרף לינארי הוא קו ישר.
בהשוואת תוכניות חיסכון משווים את הסכום הסופי, ושמים לב ליחידות זמן שונות.
ההפרש בין שני תהליכים מעריכיים יכול לגדול או לקטון — בודקים אחרי מספר תקופות.

סיימתם את היחידה — עכשיו אתם שולטים בתהליכים מעריכיים פיננסיים!

קריאת תהליך מעריכי מגרף והשוואת תהליכים

קריאת תהליך מעריכי מגרף והשוואת תהליכים

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: מציאת אחוז הריבית מגרף

מהגרף: (2000,100,000)(2000, 100{,}000)(2000,100,000) ו-(2002,112,360)₪(2002, 112{,}360) ₪(2002,112,360)₪. בכמה אחוזים גדל החיסכון בשנה?

דוגמה 2: השוואת שתי תוכניות חיסכון

100,000 ₪ ל-4 שנים: תוכנית א 6% לשנה מול תוכנית ב 12% לשנתיים. מי עדיפה?

דוגמה 3: השוואת שתי דעיכות (ההפרש)

מכונית א 150,000₪(−10%/150{,}000 ₪ (-10\%/150,000₪(−10%/שנה), מכונית ב 110,000₪(−8%/110{,}000 ₪ (-8\%/110,000₪(−8%/שנה). מה קורה להפרש?

דוגמה 4: מספר שנים מגרף (ניסוי וטעייה)

מהגרף: מכונית 150,000₪,−10%/150{,}000 ₪, -10\%/150,000₪,−10%/שנה. מתי תגיע ל-98,415 ₪?

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מודדים קצב לפי שיפוע ישר

טעות נפוצה: התוכנית עם האחוז הגדול תמיד עדיפה

טעות נפוצה: ההפרש בין שני נכסים נשאר קבוע

טעות נפוצה: ספירה שגויה של יחידות הזמן מהגרף

סיכום

מהגרף: $(2000, 100{,}000)$ ו- $(2002, 112{,}360) ₪$ . בכמה אחוזים גדל החיסכון בשנה?

מכונית א $150{,}000 ₪ (-10\%/$ שנה), מכונית ב $110{,}000 ₪ (-8\%/$ שנה). מה קורה להפרש?

מהגרף: מכונית $150{,}000 ₪, -10\%/$ שנה. מתי תגיע ל-98,415 ₪?