חישוב סכומים בתהליך מעריכי ללא נוסחה

מבוא

מטרות השיעור

לחשב סכומים אחרי מספר קטן של תקופות בתהליך מעריכי פיננסי, על ידי הכפלה חוזרת במקדם q.
לחשב סכומים לפני מספר תקופות, על ידי חילוק חוזר במקדם.
להמיר אחוז גדילה/דעיכה למקדם: גדילה של $p %$ ⇐ $q = 1 + \frac{p}{100}$ ; דעיכה של $p %$ ⇐ $q = 1 - \frac{p}{100}$ .

הרעיון המרכזי

הכפלה וחילוק חוזרים

בכל תקופת זמן הסכום מוכפל באותו מקדם q:

קדימה בזמן (אחרי t תקופות): מכפילים ב-q סך הכול t פעמים.
אחורה בזמן (לפני t תקופות): מחלקים ב-q סך הכול t פעמים.

מהמרה אחוז למקדם:

גדילה של 5% ⇐ q = 1.05.
דעיכה של 10% ⇐ q = 0.9.

זהירות: האחוז מחושב בכל תקופה מהיתרה החדשה, ולכן 10% בכל שנה במשך 3 שנים אינם 30% בבת אחת!

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: חוב הלוואה אחרי שנתיים

הלוואה 200,000 ₪, מקטינים 10% בכל שנה. מה החוב אחרי שנתיים?

200000 \cdot 0.9 \cdot 0.9 = 200000 \cdot 0.81 = 162000

שלב 1 — מקדם

ירידה 10% ⇐ נשארים

90\% ⇐ q = 0.9

תשובה מספרית

דורון לקח הלוואה בסך 200,000 ₪ ומקטין את חובו לבנק ב-10% בכל שנה. מה יהיה חובו (ב-₪) בתום שנה אחת?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: פיחות מכונית קדימה בזמן

מכונית 50,000 ₪, יורדת 10% בכל שנה. מה המחיר בעוד 3 שנים?

50000 \cdot 0. 9^{3} = 50000 \cdot 0.729 = 36450

שלב 1 — מקדם

q = 0.9 (

דעיכה של 10%).

תשובה מספרית

מחיר מכונית משומשת יורד ב-10% בכל שנה. מחירה היום הוא 50,000 ₪. מה יהיה מחירה (ב-₪) בעוד שלוש שנים?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: כמה שילמתי? (אחורה בזמן)

מכונית שווה היום 50,000 ₪ (אחרי 3 שנים, −10% בשנה). מה שילמתי בקנייה?

\frac{50000}{0. 9 ^{3}} = \frac{50000}{0.729} \approx 68587

שלב 1 — כיוון

מחפשים את העבר ⇐ מחלקים ב-

q = 0.9

תשובה מספרית

מחיר מכונית משומשת יורד ב-10% בכל שנה. ברשותי מכונית בדיוק שלוש שנים, ומחירה היום הוא 50,000 ₪. מהו הסכום (ב-₪) ששילמתי עבור המכונית כשקניתי אותה? עגלו לשקלים שלמים.

סטייה מותרת: ±1

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: חיסכון קדימה בזמן

חיסכון 200,000 ₪, רווח 5% בשנה. מה הסכום אחרי שנתיים?

200000 \cdot 1.0 5^{2} = 200000 \cdot 1.1025 = 220500

שלב 1 — מקדם

גדילה

5\% ⇐ q = 1.05

תשובה מספרית

בתוכנית חיסכון מצטבר רווח של 5% בכל שנה. כיום יש 200,000 ₪. מה יהיה הסכום (ב-₪) כעבור שנתיים?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מחשבים אחוז של הסכום ההתחלתי כפול מספר השנים

10% בשנה במשך 3 שנים ⇐ $\times 0. 9^{3} = \times 0.729$ , ולא 30% בבת אחת.

למה זה קורה?

תלמידים מחילים את האחוז על הסכום ההתחלתי ומכפילים במספר השנים (כמו ריבית פשוטה).

איך מתקנים?

בתהליך מעריכי האחוז מחושב בכל שנה מהיתרה החדשה. מכפילים במקדם q בכל שנה מחדש.

טעות נפוצה: מכפילים כשצריך לחלק (אחורה בזמן)

מחיר עבר: $\frac{50000}{0. 9 ^{3}}$ , ולא $50000 \cdot 0. 9^{3}$ .

למה זה קורה?

תלמידים תמיד מכפילים במקדם.

איך מתקנים?

קדימה בזמן ⇐ מכפילים ב-q. אחורה בזמן ⇐ מחלקים ב-q.

טעות נפוצה: מבלבלים בין זמן שעבר למספר התקופות

תוכנית ריבית דו-שנתית במשך 6 שנים ⇐ 3 תקופות, לא 6.

למה זה קורה?

סופרים שנים/חודשים במקום מספר תקופות הזמן.

איך מתקנים?

חלקו את הזמן שעבר באורך התקופה. אם תקופה = שנתיים, אז 6 שנים

= 3

תקופות

(3

הכפלות).

טעות נפוצה: מורידים 20% במקום פעמיים 10%

$0.9 \cdot 0.9 = 0.81$ ⇐ ירדנו 19%, לא 20%.

למה זה קורה?

חושבים ש-10% פעמיים

= 20\%

איך מתקנים?

פעמיים

\times 0.9 = \times 0.81

, כלומר ירידה של 19% בלבד מהסכום ההתחלתי, לא 20%.

סיכום

מה למדנו?

קדימה בזמן: מכפילים ב-q פעם אחת לכל תקופה.
אחורה בזמן: מחלקים ב-q פעם אחת לכל תקופה.
גדילה של $p %$ ⇐ $q = 1 + \frac{p}{100}$ ; דעיכה ⇐ $q = 1 - \frac{p}{100}$ .
האחוז מחושב בכל פעם מהיתרה החדשה — לא מהסכום ההתחלתי.

כל הכבוד! עכשיו אתם יכולים לחשב סכומים בתהליך מעריכי בלי נוסחה.