המרת אחוז למקדם ולהיפך, ומציאת מספר התקופות בניסוי וטעייה

מבוא

מטרות השיעור

להמיר אחוז גדילה/דעיכה למקדם q: גדילה $p %$ ⇐ $q = 1 + \frac{p}{100}$ ; דעיכה $p %$ ⇐ $q = 1 - \frac{p}{100}$ .
להמיר מקדם q לאחוז, ולקבוע אם מדובר בגדילה (q>1) או דעיכה (q<1).
למצוא את מספר התקופות בניסוי וטעייה — בהכפלה חוזרת עד הסכום המבוקש (עד 5 תקופות, בלי לוגריתמים).

הרעיון המרכזי

המרות ושיטת ניסוי וטעייה

מאחוז למקדם:

גדילה של $p %$ ⇐ $q = 1 + \frac{p}{100}$ (למשל 5% ⇐ 1.05).
דעיכה של $p %$ ⇐ $q = 1 - \frac{p}{100}$ (למשל 8% ⇐ 0.92).

ממקדם לאחוז:

האחוז הוא $∣ q - 1∣ \cdot 100$ .
q > 1 ⇐ גדילה; q < 1 ⇐ דעיכה.

מציאת מספר התקופות (ניסוי וטעייה): כדי למצוא כמה תקופות נדרשות כדי להגיע מ- $A_{0}$ ל- $A_{t}$ , מכפילים את $A_{0}$ ב-q שוב ושוב, וסופרים כמה הכפלות עד שמגיעים לסכום המבוקש. בתחום זה t קטן (עד 5), ולכן השיטה יעילה — אין צורך בלוגריתמים.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: מאחוז למקדם (גדילה)

ריבית שנתית 8%. מהו q?

q = 1 + \frac{8}{100} = 1.08

שלב 1 — סוג

ריבית ⇐ גדילה.

בדיקה מהירה

ריבית שנתית של 8% מצטברת על חיסכון. מהו המקדם q המתאים לגדילה זו?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: מאחוז למקדם (דעיכה)

פיחות שנתי 8%. מהו q?

q = 1 - \frac{8}{100} = 0.92

שלב 1 — סוג

פיחות ⇐ דעיכה.

תשובה מספרית

מחיר מכונית יורד ב-8% בכל שנה. מהו המקדם q המתאים לדעיכה זו?

סטייה מותרת: ±0.001

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: ממקדם לאחוז

מקדם $q = 0.85$ . מהו אחוז השינוי וכיוונו?

(1 - 0.85) \cdot 100 = 15%

שלב 1 — כיוון

q = 0.85 < 1 ⇐

דעיכה.

דוגמה 4: מספר התקופות בניסוי וטעייה

חיסכון 200,000 ₪, 5% בשנה. כעבור כמה שנים יהיו 231,525 ₪?

200000 \cdot 1.0 5^{3} = 231525

שלב 1 — מכפילים

שנה

1: 200{,}000 \times 1.05 = 210{,}000

תשובה מספרית

בתוכנית חיסכון יש 200,000 ₪, והיא גדלה ב-5% בכל שנה. כעבור כמה שנים יהיו בתוכנית 231,525 ₪? מצאו בניסוי וטעייה.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

תשובה מספרית

מחיר מכונית היום 50,000 ₪, והוא יורד ב-10% בכל שנה $(q = 0.9)$ . כעבור כמה שנים יהיה מחירה 36,450 ₪? מצאו בניסוי וטעייה.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: בדעיכה כותבים $q =$ האחוז עצמו

דעיכה 8% ⇐ q = 0.92, לא 0.08.

למה זה קורה?

תלמידים כותבים

q = 0.08

עבור דעיכה של 8%.

איך מתקנים?

q הוא חלק היתרה שנשאר. דעיכה של 8% ⇐ נשארים

92\% ⇐ q = 1 - 0.08 = 0.92

טעות נפוצה: מבלבלים בין גדילה לדעיכה ממקדם

$q = 1.05 \to + 5%$ , אבל $q = 0.95 \to - 5%$ .

למה זה קורה?

לא משווים את q ל-1.

איך מתקנים?

q > 1 ⇐

גדילה;

q < 1 ⇐

דעיכה. למשל

q = 0.95

הוא דעיכה של 5%, לא גדילה.

טעות נפוצה: מנסים לחלק או להשתמש בלוגריתם למציאת מספר התקופות

מכפילים שוב ושוב עד הסכום המבוקש, וסופרים את ההכפלות.

למה זה קורה?

תלמידים מחפשים נוסחה ישירה למעריך.

איך מתקנים?

בתחום זה

(t \le 5)

מוצאים את מספר התקופות בניסוי וטעייה: מכפילים ב-q שוב ושוב וסופרים.

טעות נפוצה: חושבים שדעיכה של p% היא $q = 1 + \frac{p}{100}$

גדילה 10% \to 1.1, דעיכה 10% \to 0.9

למה זה קורה?

מחילים את כלל הגדילה גם על דעיכה.

איך מתקנים?

גדילה ⇐ מוסיפים

(1 + \frac{p}{100})

; דעיכה ⇐ מחסירים

(1 - \frac{p}{100})

סיכום

מה למדנו?

גדילה $p %$ ⇐ $q = 1 + \frac{p}{100}$ ; דעיכה ⇐ $q = 1 - \frac{p}{100}$ .
ממקדם לאחוז: $∣ q - 1∣ \cdot 100$ ; q>1 גדילה, q<1 דעיכה.
מספר התקופות נמצא בניסוי וטעייה (הכפלה חוזרת), עד 5 תקופות — בלי לוגריתמים.

כל הכבוד! עכשיו אתם יודעים להמיר אחוז ומקדם ולמצוא את מספר התקופות.

המרת אחוז למקדם ולהיפך, ומציאת מספר התקופות בניסוי וטעייה

המרת אחוז למקדם ולהיפך, ומציאת מספר התקופות בניסוי וטעייה

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: מאחוז למקדם (גדילה)

ריבית שנתית 8%. מהו q?

דוגמה 2: מאחוז למקדם (דעיכה)

פיחות שנתי 8%. מהו q?

דוגמה 3: ממקדם לאחוז

מקדם q=0.85q = 0.85q=0.85. מהו אחוז השינוי וכיוונו?

דוגמה 4: מספר התקופות בניסוי וטעייה

חיסכון 200,000 ₪, 5% בשנה. כעבור כמה שנים יהיו 231,525 ₪?

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: בדעיכה כותבים q=q =q= האחוז עצמו

טעות נפוצה: מבלבלים בין גדילה לדעיכה ממקדם

טעות נפוצה: מנסים לחלק או להשתמש בלוגריתם למציאת מספר התקופות

טעות נפוצה: חושבים שדעיכה של p% היא q=1+p100q = 1 + \frac{p}{100}q=1+100p​

סיכום

מקדם $q = 0.85$ . מהו אחוז השינוי וכיוונו?

טעות נפוצה: בדעיכה כותבים $q =$ האחוז עצמו

טעות נפוצה: חושבים שדעיכה של p% היא $q = 1 + \frac{p}{100}$