חישוב רבעונים ועשירונים מייצוגים שונים

מבוא

בשיעור הקודם הבנו מה מייצגים הרבעונים והעשירונים. עכשיו נלמד לחשב אותם — מתוך רשימת נתונים, טבלת שכיחויות וטבלת שכיחות מצטברת. החדשות הטובות: יש מוסכמה אחת ברורה שמתאימה לכל הייצוגים.

מטרות השיעור

לסדר נתונים ולמצוא את מיקום הרבעון/העשירון.
ליישם את מוסכמת החישוב הבדיד במדויק.
לחשב מדדים מתוך רשימה, טבלת שכיחויות וטבלת שכיחות מצטברת.

הרעיון המרכזי

מוסכמת החישוב הבדיד

מסדרים את n הנתונים בסדר עולה. כדי למצוא רבעון או עשירון, מחשבים את המיקום s:

עבור רבעון j (כאשר j=1,2,3): $s = \frac{j \cdot n}{4}$
עבור עשירון j (כאשר $j = 1, \dots, 9$ ): $s = \frac{j \cdot n}{10}$

ואז:

אם s אינו מספר שלם — מעגלים כלפי מעלה, והמדד הוא האיבר שבמקום זה.
אם s כן מספר שלם — המדד הוא הממוצע של האיברים במקומות k=s ו-k+1.

עבודה עם טבלת שכיחויות

כשהנתונים נתונים בטבלת שכיחויות, בונים תחילה שכיחות מצטברת — כמה נתונים יש עד כל ערך. כך אפשר לדעת איזה ערך נמצא בכל מקום מבלי לכתוב את כל הרשימה. כל המדדים נמדדים באותן יחידות של המשתנה (₪, חדרים, נפשות).

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: Q1 מרשימה כשהמיקום שלם

שכר 8 מהנדסים (אלפי ₪): 9, 11, 12, 14, 15, 17, 19, 22. חשבו $Q_{1}$ .

s = \frac{1 \cdot 8}{4} = 2 \Rightarrow Q_{1} = \frac{11 + 12}{2} = 11.5

שלב 1 — סדר

הנתונים כבר מסודרים בסדר עולה

. n=8

תשובה מספרית

שכר חודשי (באלפי ₪) של 8 מהנדסים, מסודר בסדר עולה: 9, 11, 12, 14, 15, 17, 19, 22. חשבו את הרבעון הראשון Q1 (באלפי ₪). מוסכמה: מיקום $s=j \cdot \frac{n}{4}$ ; אם s שלם — ממוצע האיברים במקומות s ו- $s+1$ .

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: חציון מרשימה כשהמיקום אינו שלם

שכר דירה (₪) של 9 דירות: 2800, 3100, 3400, 3600, 3900, 4200, 4500, 4800, 5200. חשבו את החציון $Q_{2}$ .

s = \frac{2 \cdot 9}{4} = 4.5 \to 5 \Rightarrow Q_{2} = 3900

שלב 1 — סדר

מסודר

. n=9

בדיקה מהירה

שכר דירה חודשי (ב-₪) של 9 דירות בסדר עולה: 2800, 3100, 3400, 3600, 3900, 4200, 4500, 4800, 5200. מהו החציון (Q2)?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: Q3 מטבלת שכיחויות

מספר חדרים ב-20 דירות — 2:3, 3:5, 4:8, 5:4. חשבו $Q_{3}$ .

s = \frac{3 \cdot 20}{4} = 15 \Rightarrow Q_{3} = \frac{4 + 4}{2} = 4

שלב 1 — שכיחות מצטברת

עד 2 חדרים: 3. עד 3: 8. עד 4: 16. עד

5: 20. (n=20)

תשובה מספרית

טבלת שכיחויות של מספר חדרים ב-20 דירות: 2 חדרים — 3 דירות; 3 חדרים — 5 דירות; 4 חדרים — 8 דירות; 5 חדרים — 4 דירות. חשבו את הרבעון השלישי Q3 (מספר חדרים).

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: עשירון כשהמיקום שלם

נתונים: $10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 22, 25, 30 (n=10)$ . חשבו $D_{8}$ .

s = \frac{8 \cdot 10}{10} = 8 \Rightarrow D_{8} = \frac{22 + 25}{2} = 23.5

שלב 1 — מיקום

s = 8 \cdot \frac{10}{10} = 8

— מספר שלם.

תשובה מספרית

נתונים מסודרים: $10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 22, 25, 30 (n=10)$ . חשבו את העשירון השמיני D8.

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מעגלים כלפי מטה כשהמיקום אינו שלם

טעות: ל-Q₁ עם s = 2.25 לוקחים את האיבר השני.

נכון: מעגלים כלפי מעלה — האיבר השלישי.

למה זה קורה?

תלמידים לוקחים את האיבר k (החלק השלם של s) במקום את האיבר

k+1

איך מתקנים?

כשהמיקום s אינו שלם, מעגלים תמיד כלפי מעלה: המדד הוא האיבר במקום

k+1

, לא k.

טעות נפוצה: לוקחים איבר בודד כשהמיקום שלם

טעות: D₃ עם s = 3 שווה לאיבר השלישי, 14.

נכון: $D_{3} = \frac{14 + 15}{2} = 14.5$

למה זה קורה?

תלמידים מתייחסים ל-s כאל 'מקום' ולוקחים רק את האיבר במקום s.

איך מתקנים?

כשהמיקום s שלם, המדד הוא הממוצע של שני האיברים במקומות s ו-

s+1

— לא איבר בודד.

טעות נפוצה: לא בונים שכיחות מצטברת בטבלה

שכיחות מצטברת לדוגמה: עד 2 חדרים: 3 → עד 3: 8 → עד 4: 16 → עד 5: 20.

למה זה קורה?

מנסים לאתר מיקום בטבלת שכיחויות ישירות, ומתבלבלים.

איך מתקנים?

בטבלת שכיחויות תמיד בונים תחילה שכיחות מצטברת, ובעזרתה מאתרים איזה ערך נמצא בכל מקום.

סיכום

מה למדנו?

אלגוריתם לחישוב רבעון/עשירון:

סדרו את הנתונים בסדר עולה (או בנו שכיחות מצטברת).
חשבו מיקום: $s = \frac{j \cdot n}{4}$ (רבעון) או $s = \frac{j \cdot n}{10}$ (עשירון).
אם s אינו שלם — עגלו כלפי מעלה, קחו את האיבר שם.
אם s שלם — קחו את ממוצע האיברים במקומות s ו-s+1.

זכרו: המדדים נמדדים ביחידות של המשתנה. בשיעור הבא נחזק את סטיית התקן.

חישוב רבעונים ועשירונים מייצוגים שונים

חישוב רבעונים ועשירונים מייצוגים שונים

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: Q1 מרשימה כשהמיקום שלם

שכר 8 מהנדסים (אלפי ₪): 9, 11, 12, 14, 15, 17, 19, 22. חשבו Q1Q_{1}Q1​.

דוגמה 2: חציון מרשימה כשהמיקום אינו שלם

שכר דירה (₪) של 9 דירות: 2800, 3100, 3400, 3600, 3900, 4200, 4500, 4800, 5200. חשבו את החציון Q2Q_{2}Q2​.

דוגמה 3: Q3 מטבלת שכיחויות

מספר חדרים ב-20 דירות — 2:3, 3:5, 4:8, 5:4. חשבו Q3Q_{3}Q3​.

דוגמה 4: עשירון כשהמיקום שלם

נתונים: 10,12,14,15,16,18,20,22,25,30(n=10)10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 22, 25, 30 (n=10)10,12,14,15,16,18,20,22,25,30(n=10). חשבו D8D_{8}D8​.

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: מעגלים כלפי מטה כשהמיקום אינו שלם

טעות נפוצה: לוקחים איבר בודד כשהמיקום שלם

טעות נפוצה: לא בונים שכיחות מצטברת בטבלה

סיכום

שכר 8 מהנדסים (אלפי ₪): 9, 11, 12, 14, 15, 17, 19, 22. חשבו $Q_{1}$ .

שכר דירה (₪) של 9 דירות: 2800, 3100, 3400, 3600, 3900, 4200, 4500, 4800, 5200. חשבו את החציון $Q_{2}$ .

מספר חדרים ב-20 דירות — 2:3, 3:5, 4:8, 5:4. חשבו $Q_{3}$ .

נתונים: $10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 22, 25, 30 (n=10)$ . חשבו $D_{8}$ .