משמעות מדדי המיקום היחסי — רבעונים ועשירונים

מבוא

עד עכשיו תיארנו התפלגות בעזרת מדדי מרכז — ממוצע, חציון ושכיח. אבל מדדי המרכז לא מספרים את כל הסיפור: שני אנשים יכולים לדעת שהשכר החודשי הממוצע בענף הוא 14,000 ₪, ועדיין לא לדעת אם השכר שלהם גבוה או נמוך ביחס לשאר. לשם כך נשתמש במדדי מיקום יחסי — רבעונים ועשירונים — שמספרים לנו היכן ממוקם ערך מסוים בתוך ההתפלגות.

מטרות השיעור

להבין מה מייצג כל אחד מן הרבעונים $Q_{1}, Q_{2}, Q_{3}$ .
להבין מה מייצג כל אחד מן העשירונים $D_{1}, D_{2}, \dots, D_{9}$ .
לזהות שהחציון הוא בדיוק $Q_{2}$ וגם $D_{5}$ .
לפרש מיקום יחסי של ערך פיננסי (שכר, שכר דירה, גודל משק בית) ללא חישוב.

הרעיון המרכזי

רבעונים ועשירונים

מסדרים את כל הנתונים בסדר עולה, ואז:

רבעונים מחלקים את הנתונים לארבעה חלקים שווים (כל חלק = 25% מן הנתונים):

$Q_{1}$ (הרבעון התחתון): מתחתיו נמצאים 25% מן הנתונים.
$Q_{2}$ (הרבעון השני): מתחתיו נמצאים 50% — זהו החציון.
$Q_{3}$ (הרבעון העליון): מתחתיו נמצאים 75% מן הנתונים.

עשירונים מחלקים את הנתונים לעשרה חלקים שווים (כל חלק = 10% מן הנתונים):

$D_{1}$ : מתחתיו 10%. $D_{2}$ : מתחתיו 20%. וכן הלאה.
$D_{5}$ : מתחתיו 50% — גם הוא החציון.
$D_{9}$ : מתחתיו 90%, ומעליו 10% הגבוהים ביותר.

שתי תובנות חשובות

החציון = Q2 = D5. שלושתם אותו ערך — הוא מחלק את הנתונים לשני חצאים שווים.
המדדים נמדדים ביחידות של המשתנה. אם המשתנה הוא שכר בשקלים, אז גם $Q_{1}, Q_{3}, D_{8}$ הם בשקלים — לא אחוזים. האחוז מתאר כמה נתונים נמצאים מתחת למדד, לא את ערך המדד עצמו.

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: פירוש הרבעון העליון בשכר מהנדסים

במחקר שכר נמצא ש- $Q_{3}$ של שכר מהנדסים הוא 19,000 ₪. מה זה אומר?

Q_{3} = 19, 000 ₪ \Rightarrow 75% עד 19, 000, 25% מעל

שלב 1 — מזהים את המדד

Q_{3}

הוא הרבעון העליון.

בדיקה מהירה

במחקר שכר נמצא שהרבעון השלישי (Q3) של השכר החודשי של מהנדסים הוא 19,000 ₪. מה משמעות הנתון?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 2: זיהוי שהחציון = Q2 = D5

מדוע החציון $, Q_{2}$ ו- $D_{5}$ הם אותו ערך?

חציון = Q_{2} = D_{5}

שלב 1 — החציון

החציון מחלק את הנתונים לשני חצאים: 50% מתחתיו ו-50% מעליו.

נכון או לא נכון

נכון או לא נכון: החציון של התפלגות שכר הוא בדיוק הרבעון השני (Q2) וגם העשירון החמישי (D5).

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 3: עשירון עליון והחלטה עירונית

העירייה מעניקה הטבה ל-10% ממשקי הבית הגדולים ביותר. לאיזה מדד זה מתאים?

D_{9} \Rightarrow 90% מתחת, 10% מעל (הגדולים ביותר)

שלב 1 — מהי הקבוצה?

10% הגדולים ביותר — כלומר 10% העליונים בהתפלגות גודל משק הבית.

בדיקה מהירה

עיריית אשדוד מעניקה חוגי העשרה חינם ל-10% ממשקי הבית הגדולים ביותר (לפי מספר נפשות). לאיזה מדד מיקום יחסי מתאימה ההחלטה הזו?

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

דוגמה 4: אזהרה — עשירונים אינם מחלקים את הטווח

בשכר דירה: מינימום 2,000 ₪, מקסימום 12,000 ₪. האם $D_{2}-D_{1} = \frac{12{,}000-2{,}000}{10}$ ?

D_{j + 1} - D_{j} \neq = \frac{מקסימום - מינימום}{10}

שלב 1 — מה מחלקים העשירונים?

העשירונים מחלקים את מספר הנתונים לעשרה חלקים שווים

(10\%

דירות בכל חלק) — לא את טווח הערכים.

סידור

סדרו את מדדי המיקום היחסי הבאים בסדר עולה של אחוז הנתונים שנמצא מתחתיהם (מהקטן לגדול): D9, Q1, Q2, D1

גררו את הפריטים לסדר הנכון

כדי לבדוק, סמנו או הקלידו תשובה קודם

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: ההפרש בין עשירונים שווה לעשירית הטווח

טעות: $D_{2} - D_{1} = \frac{מקסימום - מינימום}{10}$

נכון: בכל קטע בין שני עשירונים עוקבים נמצאים 10% מן הנתונים, אך ההפרש בערכים תלוי בצפיפות הנתונים שם.

למה זה קורה?

תלמידים מבלבלים בין חלוקת מספר הנתונים לבין חלוקת טווח הערכים.

איך מתקנים?

העשירונים מחלקים את מספר הנתונים לעשרה חלקים שווים של 10% כל אחד, ולא את הטווח (מקסימום−מינימום). ההפרשים בין עשירונים אינם שווים זה לזה.

טעות נפוצה: החציון הוא מדד נפרד מהרבעונים והעשירונים

חציון = Q_{2} = D_{5}

למה זה קורה?

תלמידים לומדים את החציון בנפרד ולא מקשרים אותו למדדי המיקום החדשים.

איך מתקנים?

החציון הוא בדיוק

Q_{2}

וגם

D_{5}

— שלושתם הערך שמתחתיו 50% מן הנתונים.

טעות נפוצה: מדד מיקום הוא אחוז

טעות: $Q_{1} = 25$

נכון: $Q_{1} = 11, 500 ₪$ , ומתחתיו נמצאים 25% מן הנתונים.

למה זה קורה?

מבלבלים בין הערך של המדד לבין אחוז הנתונים שמתחתיו.

איך מתקנים?

Q_{1}

של שכר הוא ערך בשקלים (למשל 11,500 ₪), לא 25. האחוז

(25\%)

מתאר כמה נתונים נמצאים מתחת ל-

Q_{1}

, לא את ערכו.

סיכום

מה למדנו?

מדדי מיקום יחסי אומרים לנו היכן ממוקם ערך בתוך התפלגות:

רבעונים: $Q_{1}$ (25% מתחת), $Q_{2}$ (50% = חציון), $Q_{3}$ (75% מתחת).
עשירונים: $D_{1}$ (10%), ..., $D_{5}$ (50% = חציון), ..., $D_{9}$ (90%, ומעל = 10% הגבוהים).
חציון = Q₂ = D₅.
המדדים נמדדים ביחידות של המשתנה (₪, חדרים, נפשות) — לא באחוזים.
העשירונים מחלקים את מספר הנתונים לעשרה חלקים שווים, לא את טווח הערכים.

עכשיו אתם יודעים לקרוא את הסיפור שמאחורי הנתונים — בשיעור הבא נלמד לחשב את המדדים האלה.

משמעות מדדי המיקום היחסי — רבעונים ועשירונים

משמעות מדדי המיקום היחסי — רבעונים ועשירונים

מבוא

הרעיון המרכזי

דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: פירוש הרבעון העליון בשכר מהנדסים

במחקר שכר נמצא ש-Q3Q_{3}Q3​ של שכר מהנדסים הוא 19,000 ₪. מה זה אומר?

דוגמה 2: זיהוי שהחציון = Q2 = D5

מדוע החציון,Q2, Q_{2},Q2​ ו-D5D_{5}D5​ הם אותו ערך?

דוגמה 3: עשירון עליון והחלטה עירונית

העירייה מעניקה הטבה ל-10% ממשקי הבית הגדולים ביותר. לאיזה מדד זה מתאים?

דוגמה 4: אזהרה — עשירונים אינם מחלקים את הטווח

בשכר דירה: מינימום 2,000 ₪, מקסימום 12,000 ₪. האם D2−D1=12,000−2,00010D_{2}-D_{1} = \frac{12{,}000-2{,}000}{10}D2​−D1​=1012,000−2,000​?

טעויות נפוצות

טעות נפוצה: ההפרש בין עשירונים שווה לעשירית הטווח

טעות נפוצה: החציון הוא מדד נפרד מהרבעונים והעשירונים

טעות נפוצה: מדד מיקום הוא אחוז

סיכום

במחקר שכר נמצא ש- $Q_{3}$ של שכר מהנדסים הוא 19,000 ₪. מה זה אומר?

מדוע החציון $, Q_{2}$ ו- $D_{5}$ הם אותו ערך?

בשכר דירה: מינימום 2,000 ₪, מקסימום 12,000 ₪. האם $D_{2}-D_{1} = \frac{12{,}000-2{,}000}{10}$ ?